Lie algebra representasjon

Denne artikkelen er en oversikt over algebra .

Du kan dele din kunnskap ved å forbedre den ( hvordan? ) I henhold til anbefalingene fra de tilsvarende prosjektene .

I matematikk er en fremstilling av en Lie-algebra en måte å skrive denne algebraen på som en algebra av matriser , eller mer generelt av endomorfismer i et vektorrom , med Lie-braketten gitt av kommutatoren .

Ligg algebraer

La K være et kommutativt felt med karakteristisk forskjellig fra 2. En Ligg algebra på K er et vektorrom utrustet med en bilineær kart over i som tilfredsstiller de følgende egenskaper: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(x,y)↦[x,y]{\ displaystyle (x, y) \ mapsto [x, y]}g×g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

1. ∀x∈g, [x,x]=0{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0} ;
2. ∀x,y,z∈g, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.{\ displaystyle \ forall x, y, z \ i {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.}

Ethvert vektorrom kan være utstyrt med en struktur av Lie algebra, ved å posere . En slik Lie-algebra, der Lie-braketten er identisk null, kalles abelian . Et annet eksempel, grunnleggende for det som følger, er følgende. La V et vektorrom løpet K . Vektoren plass End (V) av endomorphism av V kan være forsynt med et Lie algebra struktur, ved innstilling: . Vi betegner også den altså oppnådde Lie-algebraen. Når V er endelig dimensjon n , identifiserer størrelsen av matriser med koeffisienter i K . Det bemerkes da .V{\ displaystyle V}∀x,y∈V, [x,y]=0{\ displaystyle \ forall x, y \ i V, \ [x, y] = 0}[u,v]=u∘v-v∘u{\ displaystyle [u, v] = u \ circ vv \ circ u}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}ikke×ikke{\ displaystyle n \ times n}gl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

En sub-Lie-algebra av er et vektorunderområde for stabil Lie-parentes, dvs. slik at . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x,y∈h, [x,y]∈h{\ displaystyle \ forall x, y \ i {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ i {\ mathfrak {h}}}

Eksempler

• Hvis er en abelisk Lie-algebra, er ethvert vektors underområde automatisk en Lie-subalgebra.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Den underrom av utdannede sporløs matriser er en sub-Lie algebra fordi for alle matriser A og B . Denne subalgebraen er notert .gl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}gl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}tr(PÅB)=tr(BPÅ){\ displaystyle tr (AB) = tr (BA)}sl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}

Et ideal for en Lie-algebra er et vektorunderrom av slik at . Ethvert ideal for en Lie-algebra er spesielt en Lie-subalgebra (men det omvendte er falskt). g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g,y∈h, [x,y]∈h{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, y \ i {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ i {\ mathfrak {h}}}

Eksempler

• Hvis er en abelisk Lie-algebra, er ethvert vektorunderområde automatisk et ideal.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Lie subalgebra av er et ideal.sl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}gl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

En morfisme mellom to Lie-algebraer og er et lineært kart slik at . Kjernen til en Lie algebra morfisme er da et ideal for kilden Lie algebra og bildet en Lie subalgebra av målet Lie algebra. En isomorfisme mellom to Lie-algebraer er en morfisme av Lie-algebraer som er en isomorfisme av vektorrom. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}φ:g→h{\ displaystyle \ varphi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}∀x,y∈g, φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]{\ displaystyle \ forall x, y \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi ([x, y]) = [\ varphi (x), \ varphi (y)]}

Eksempler

• Hvis er en Lie-subalgebra av , er inkluderingen av i en morfisme av Lie-algebraer, med null kjerne og med et bilde .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Hvis er et ideal av , eksisterer det en unik struktur av Lie-algebra på kvotientvektorrommet slik at den kanoniske projeksjonen er en morfisme av Lie-algebraer. Kjernen til p er da og dens bilde . Lie algebra definert på denne måten kalles kvotienten Lie algebra av on . For eksempel er kvotienten Lie-algebra isomorf til den abeliske Lie-algebraen .h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}s:g→g/h{\ displaystyle p: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}gl(ikke,K)/sl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K) / {\ mathfrak {sl}} (n, K)}K{\ displaystyle K}

Representasjoner

Definisjoner

En representasjon av Lie algebra i et vektorrom V er dataene til en morfisme . Med andre ord er det et lineært kart som også sjekker . Vi legger merke til denne representasjonen eller bare når det ikke er mulig tvetydighet . Vi sier også at V er en - modul eller ganske enkelt en modul . Noen ganger noterer vi oss i stedet for elementets handling på vektoren . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π:g→gl(V){\ displaystyle \ pi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ til {\ mathfrak {gl}} (V)}π{\ displaystyle \ pi}∀x,y∈g, π([x,y])=π(x)∘π(y)-π(y)∘π(x){\ displaystyle \ forall x, y \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ pi ([x, y]) = \ pi (x) \ circ \ pi (y) - \ pi (y) \ circ \ pi (x)}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}V{\ displaystyle V}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}x⋅v{\ displaystyle x \ cdot v}π(x)(v){\ displaystyle \ pi (x) (v)}x∈g{\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}v∈V{\ displaystyle v \ in V}

En representasjon sies å være trofast hvis morfismen er injiserende. I dette tilfellet kan Lie-algebra sees på som en Lie-subalgebra av . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

En underrepresentasjon av en representasjon av er dataene til et vektordelrom W av V stabilt ved virkningen av , dvs. slik at . Spesielt for en vektor linje D som genereres av en vektor v for å være stabil, er det nødvendig og tilstrekkelig for v å være en egenvektor som er felles for alle endomorphisms . En representasjon er ikke-reduserbare hvis det medgir ikke ren underrepresentasjon, det vil si annen enn sub-områder og V . Spesielt noen representasjon av en dimensjon er ikke-reduserbare, fordi i dette tilfellet er de eneste underrom av V er nøyaktig og V . La være en underrepresentasjon av . Den kvotient representasjonen er representasjonen av i kvotienten plass definert ved . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, π(x)(W)⊂W{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) (W) \ subset W}π(x){\ displaystyle \ pi (x)}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}V′{\ displaystyle V '}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}π¯{\ displaystyle {\ bar {\ pi}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}V/V′{\ displaystyle V / V '}∀x∈g, ∀v∈V, π¯(x)(v+V′)=π(x)(v)+V′{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ i V, \ {\ bar {\ pi}} (x) (v + V ') = \ pi (x) (v ) + V '}

En morfisme mellom to representasjoner og av den samme Lie algebra er dataene til et lineært kart som pendler til handlingen av , det vil si slik at . Når er en isomorfisme av vektorrom, sier vi at de to representasjonene er isomorfe. Settet med alle morfismer mellom representasjoner og danner et vektorrom, betegnet .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ:V→V′{\ displaystyle \ varphi: V \ rightarrow V '}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, φ∘π(x)=π′(x)∘φ{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi \ circ \ pi (x) = \ pi '(x) \ circ \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Schurs lemma er et viktig resultat for forståelsen av dette rommet . Her er uttalelsen: Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Schurs lemma  - 

• La og være to irredusible representasjoner av en Lie-algebra . Enten . Da er enten nullkartet eller en isomorfisme. Spesielt hvis og ikke er isomorf .V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V '}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈Homg(V,V′){\ displaystyle \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}φ{\ displaystyle \ varphi}V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V '}Homg(V,V′)={0}{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ') = \ {0 \}}
• Anta her at feltet K er algebraisk lukket . La være en irredusibel endelig dimensjonal representasjon av . Så enhver morfisme er et mangfold av identitet. Med andre ord, .V{\ displaystyle V}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈Homg(V,V){\ displaystyle \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V)}Homg(V,V)≅K{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V) \ cong K}

Merknader

• Det første punktet i Schurs lemma følger av det faktum at det er en underrepresentasjon av og en underrepresentasjon av .ker(φ){\ displaystyle ker (\ varphi)}V{\ displaystyle V}Jegm(φ){\ displaystyle Im (\ varphi)}V′{\ displaystyle V '}
• Det andre punktet i Schurs lemma skyldes at enhver endomorfisme i et endelig dimensjonalt vektorrom tillater minst en egenverdi over et algebraisk lukket felt. Derfor er en morfisme fra V til V som ikke er en isomorfisme. Ifølge det første punktet er det derfor null kartet, altså . Dette resultatet er fortsatt gyldig i uendelig dimensjon, men krever kraften i spektralsetningen .λ{\ displaystyle \ lambda}φ-λJegd{\ displaystyle \ varphi - \ lambda id}φ=λJegd{\ displaystyle \ varphi = \ lambda id}
• Det andre punktet i Schurs lemma er falskt for et ikke-algebraisk lukket felt. Anta for eksempel . Vurder representasjonen gitt av formelen . Vi bekrefter at det er en irredusibel fremstilling av den abeliske Lie-algebraen . Tenk og positivt . Fordi Lie algebra er abelsk, er en morphism av V i V . Vi kan også bekrefte at det faktisk er en isomorfisme. Det er imidlertid ikke et mangfold av identitet. Legg merke til i denne forbindelse som ikke har noen reelle egenverdier (som forklarer hvorfor beviset på det andre punktet i lemmaet ikke er gyldig i dette tilfellet).K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}∀x∈R, π(x)=(cos⁡x-synd⁡xsynd⁡xcos⁡x)∈gl(2,R){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {array}} \ right) \ i {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}y=45o{\ displaystyle y = 45 ^ {o}}φ: =π(y){\ displaystyle \ varphi: = \ pi (y)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}

Eksempler

• En representasjon av en abelsk Lie algebra er en lineær kartlegging verdier i et underrom av den plass kommutativ endomorphism av et vektorrom V . For eksempel, hvis V har en endelig dimensjon, kan man representere ved diagonale matriser (som pendler mellom dem).g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Den trivielle representasjonen av i et vektorrom V er representasjonen definert av .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}∀x∈g, π(x)=0{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = 0}
• Hvis , definerer vi den naturlige representasjonen av som representasjonen definert av . Mer generelt er den naturlige representasjonen av en Lie subalgebra av definert som inkludering av i . Det er derfor med verdier i .g=gl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π, Kikke){\ displaystyle (\ pi, \ K ^ {n})}∀x∈g, π(x)=x{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = x}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}Kikke{\ displaystyle K ^ {n}}
• Den assosiative representasjonen  (en) av en Lie-algebra er representasjonen definert av .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(påd,g){\ displaystyle (annonse, {\ mathfrak {g}})}∀x∈g, påd(x): y∈g↦[x,y]∈g{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ ad (x): \ y \ i {\ mathfrak {g}} \ mapsto [x, y] \ i {\ mathfrak {g}}}
• La være den abeliske Lie-algebraen til dimensjon 1, definert på . Tenk på rommet . Vi definerer en representasjon av i V med formelen , hvor .g=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}V=L2(R){\ displaystyle V = L ^ {2} (\ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}∀x∈R, π(x)(f)=f∘τx {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) (f) = f \ circ \ tau _ {x} \}τx: y∈R↦y-x∈R{\ displaystyle \ tau _ {x}: \ y \ in \ mathbb {R} \ mapsto yx \ in \ mathbb {R}}

Konstruksjoner av representasjoner

• Direkte sum  : la og to representasjoner av . Vi definerer den direkte sumrepresentasjonen i vektorområdet med formelen . I dette tilfellet, og er underrepresentasjoner av .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊕π′{\ displaystyle \ pi \ oplus \ pi '}V⊕V′{\ displaystyle V \ oplus V '}∀x∈g, ∀v∈V, ∀v′∈V′, (π⊕π′)(x)(v,v′)=(π(x)(v),π′(x)(v′)){\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ i V, \ \ forall v '\ i V', \ (\ pi \ oplus \ pi ') (x) (v, v ') = (\ pi (x) (v), \ pi' (x) (v '))}V⊕{0}{\ displaystyle V \ oplus \ {0 \}}{0}⊕V′{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus V '}(π⊕π′,V⊕V′){\ displaystyle (\ pi \ oplus \ pi ', V \ oplus V')}
• Tensorprodukt  : la og to representasjoner av . Vi definerer tensorproduktrepresentasjonen i vektorområdet med formelen .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊗π′{\ displaystyle \ pi \ otimes \ pi '}V⊗V′{\ displaystyle V \ otimes V '}∀x∈g, ∀v∈V, ∀v′∈V′, (π⊗π′)(x)(v⊗v′)=π(x)(v)⊗v′+v⊗π′(x)(v′){\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ otimes \ pi ') (x) (v \ otimes v ') = \ pi (x) (v) \ otimes v' + v \ otimes \ pi '(x) (v')}
• Contragredient  : enten en representasjon av . Vi definerer den motstridende representasjonen i dobbeltvektorrom med formelen .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π∗{\ displaystyle \ pi ^ {*}}V∗{\ displaystyle V ^ {*}}∀x∈g, ∀v∗∈V∗, π∗(x)(v∗)=-v∗∘π(x){\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v ^ {*} \ in V ^ {*}, \ \ pi ^ {*} (x) (v ^ {*}) = -v ^ {*} \ circ \ pi (x)}
• Space of morphisms  : let og to representasjoner av . Vi har sett hvordan vi definerer vektorområdet til morfimer fra V i . Vi definerer en fremstilling som fremdeles er betegnet med på dette rommet med formelen .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}V′{\ displaystyle V '}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, ∀φ∈Homg(V,V′), π(x)(φ)=-φ∘π(x){\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ forall \ varphi \ i Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V '), \ \ pi (x) (\ varphi) = - \ varphi \ circ \ pi (x)}
• Begrensning til en Lie subalgebra  : la være en representasjon av . La være en Lie subalgebra av . Da er en representasjon av , kalt begrensningen av til . Noen ganger bemerkes det av misbruk av rangeringer.(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π|h,V){\ displaystyle (\ pi _ {| {\ mathfrak {h}}}, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}V|h{\ displaystyle V_ {| {\ mathfrak {h}}}}

En representasjon av er ikke- dekomponerbar hvis den ikke er isomorf til den direkte summen av to riktige underrepresentasjoner. Spesielt er enhver irredusibel fremstilling udelbar, men det omvendte er falskt. En representasjon er semi-enkel (eller fullstendig reduserbar ) hvis den er isomorf til en direkte sum av ikke-reduserbare underrepresentasjoner (muligens i uendelig antall). En uutslettelig og semi-enkel fremstilling er nødvendigvis ikke reduserbar. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Eksempler

• La være den abeliske Lie-algebraen til dimensjon 1 over feltet . Vi definerer en representasjon av in med formelen . Denne representasjonen er ikke irreduserbar. For eksempel er linjen generert av vektoren stabil, akkurat som linjen generert av vektoren . Det er derfor et spørsmål om to underrepresentasjoner av , ureduserbar på grunn av dimensjon 1. Nå har vi . Så representasjonen er semi-enkel.g=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π(x)=(x00-x)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} x & 0 \\ 0 & -x \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ displaystyle D_ {1}}(10){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \ end {array}} \ right)}D2{\ displaystyle D_ {2}}(01){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 1 \ end {array}} \ right)}π{\ displaystyle \ pi}D1⊕D2=R2{\ displaystyle D_ {1} \ oplus D_ {2} = \ mathbb {R} ^ {2}}π{\ displaystyle \ pi}
• Med notasjonen av den foregående eksempel kan vi også vurdere representasjon i definert ved formelen . Igjen er linjen et stabilt underområde. Så representasjonen er ikke irredusibel. Mer generelt kan vi bekrefte at det er den eneste stabile linjen og derfor den eneste underrepresentasjonen av . Dermed er uutslettelig.π′{\ displaystyle \ pi '}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π′(x)=(1x01)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi '(x) = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & x \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ displaystyle D_ {1}}π′{\ displaystyle \ pi '}D1{\ displaystyle D_ {1}}π′{\ displaystyle \ pi '}π′{\ displaystyle \ pi '}
• La oss alltid ha de samme merknadene. Vi definerer representasjonen av in med formelen . Vi kan bekrefte at det ikke er stabile linjer ved representasjonen . Med andre ord, er irreduserbar.π"{\ displaystyle \ pi ''}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π"(x)=(cos⁡x-synd⁡xsynd⁡xcos⁡x)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi '' (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {array}} \ right) \ i {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}π"{\ displaystyle \ pi ''}π"{\ displaystyle \ pi ''}

Disse tre eksemplene gjenspeiler det faktum at en reell matrise kan være diagonaliserbar eller trigonaliserbar, men ikke diagonaliserbar, eller ikke har reelle egenverdier . Vi ser således at forestillingen om representasjon av en Lie-algebra generaliserer den klassiske forestillingen om reduksjon av endomorfismer .

Kobling med representasjoner av omsluttende algebra

Den omsluttende algebraen til en Lie-algebra

La A være en assosiativ algebra med enhet. Så eksisterer det på A en struktur av Lie algebra som Lie-braketten er gitt av formelen . Noen ganger betegner vi denne Lie-algebraen. Dermed gir enhver assosiativ algebra en Lie-algebra. Vi har sett at det er et eksempel på denne konstruksjonen. Kan vi snu dette resultatet omvendt? Kan vi bygge en assosiativ algebra fra en Lie-algebra. Denne ideen fører til forestillingen om å omslutte algebra av en Lie-algebra. ∀på,b∈PÅ, [på,b]=påb-bpå{\ displaystyle \ forall a, b \ i A, \ [a, b] = ab-ba}PÅL{\ displaystyle A_ {L}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Er en Lie algebra løpet K . La være tensorealgebraen til . La J være det tosidige idealet om generert av tensorene for alle x og y av . Den omsluttende algebra av er den enhetsassosiative algebra definert som kvotienten . Vi merker det . Sammensetningen kalles den kanoniske anvendelsen av i sin omsluttende algebra. Som en algebra, genereres av 1 og bildet . Dessuten er en morfisme av Lie algebras fra i . Den omsluttende algebraen til en Lie-algebra tilfredsstiller følgende universelle egenskaper: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}x⊗y-y⊗x-[x,y]∈T(g){\ displaystyle x \ otimes yy \ otimes x- [x, y] \ in T ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g)/J{\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}}) / J}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι:g↪T(g)→U(g){\ displaystyle \ iota: {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow T ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι(g){\ displaystyle \ iota ({\ mathfrak {g}})}ι{\ displaystyle \ iota}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g)L{\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) _ {L}}

Universell eiendom til den omsluttende algebraen  -  La A være en assosiativ algebra med en enhet. La være en morfisme av Lie algebras av in . Så eksisterer det en unik morfisme av assosierende algebraer fra i A slik at og . φ{\ displaystyle \ varphi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}PÅL{\ displaystyle A_ {L}}Φ{\ displaystyle \ Phi}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}Φ(1)=1{\ displaystyle \ Phi (1) = 1}Φ∘ι=φ{\ displaystyle \ Phi \ circ \ iota = \ varphi}

Eksempel

• Hvis er en abelisk Lie-algebra, blir dens omsluttende algebra identifisert med sin symmetriske algebra , som i seg selv identifiserer (etter å ha valgt en base) med en algebra av polynomer. Spesielt er isomorf til algebraen til polynomer med en ubestemt .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}S(g){\ displaystyle {\ mathcal {S}} ({\ mathfrak {g}})}U(K){\ displaystyle {\ mathcal {U}} (K)}K[X]{\ displaystyle K [X]}

Representasjoner av en Lie-algebra vs Representasjoner av den omsluttende algebraen

La være en representasjon av . Siden er en assosiativ algebra med enhet, innebærer den universelle egenskapen at det eksisterer en unik morfisme av algebraer slik at . Denne operasjonen gjør det derfor mulig å bytte fra en fremstilling av en Lie-algebra til en morfisme av assosiative algebraer. Motsatt gir enhver morfisme av assosierende algebraer ved begrensning en morfisme av Lie-algebraer, det vil si til en representasjon av . Dette prinsippet tolkes som en ekvivalens av kategorier mellom kategorien representasjoner av en gitt Lie-algebra og kategorien representasjoner av den omsluttende algebraen. (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π~:U(g)→gl(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}∀x∈g, π~(x)=π(x){\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ {\ tilde {\ pi}} (x) = \ pi (x)}π~:U(g)→gl(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Dette nye synspunktet er viktig fordi det gjør det mulig å vurdere nye grunnleggende objekter. Den første av disse er kanselleringen av en forestilling. La være en representasjon av . La oss igjen ved bokstaven notere representasjonen som den er utledet fra. Da er kanselleringen av V settet . Det er et tosidig ideal fordi det er en morfisme av algebraer. Ethvert ideal som er opphevelsen av en irredusibel representasjon av kalles et primitivt ideal . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}PÅikkeikke(V): ={u∈U(g), π(u)=0}{\ displaystyle Ann (V): = \ {u \ i {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}), \ \ pi (u) = 0 \}}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

La være en representasjon av . La oss igjen ved bokstaven notere representasjonen som den er utledet fra. For alle v i V , settet definerer en ikke-null underrepresentasjon V . Når V ikke kan reduseres, har vi derfor . Mer generelt sies det at en representasjon V er syklisk hvis den eksisterer slik at . Vektoren v kalles en syklisk vektor . En representasjon V er irredusibel hvis og bare hvis en ikke-null vektor av V er syklisk. En representasjon V sies å være av endelig type hvis det eksisterer et begrenset antall vektorer av V slik at . En irredusibel fremstilling er derfor av endelig type. La V være en syklisk representasjon og la v være en syklisk vektor. Vi definerer deretter en applikasjon etter formelen . Kjernen til er canceller av v , betegnet . Dette er et ideelt til venstre for . Som V er syklisk, bildet er lik for alle V . Vi trekker derfor frem det . Enhver syklisk fremstilling (og særlig en hvilken som helst irredusibel fremstilling) fremstår således som et kvotient av den omsluttende algebra av . Videre, når V ikke kan reduseres, er idealet maksimalt. Klassifiseringen av de irredusible representasjonene av tilsvarer dermed klassifiseringen av de maksimale venstreidealene til den omsluttende algebraen.(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π(U(g))(v){\ displaystyle \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}V=π(U(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v∈V{\ displaystyle v \ in V}V=π(U(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v1,...,vikke{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}V=∑k=1ikke π(U(g))(vk){\ displaystyle V = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v_ {k})}φ:U(g)→V{\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow V}φ(u)=π(u)(v){\ displaystyle \ varphi (u) = \ pi (u) (v)}φ{\ displaystyle \ varphi}PÅikkeikke(v){\ displaystyle Ann (v)}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}φ{\ displaystyle \ varphi}V≅U(g)/PÅikkeikke(v){\ displaystyle V \ cong {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) / Ann (v)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}PÅikkeikke(v){\ displaystyle Ann (v)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Eksempel Tenk på den kommutative Lie-algebraen . Identifiser den omsluttende algebraen med ringen av polynomer . Denne ringen er prinsipiell, og derfor blir dens idealer generert av et enkelt polynom. Videre, hvis et polynom P (X) kan spaltes i formen , så er idealet generert av P inneholdt i det idealet som genereres av . Den d'Alembert-Gauss teorem så innebærer at maksimal idealer er idealer form , for en beskrive alt . Den tilsvarende kvosienten er da isomorf og handlingen av er gitt av og . La oss nå se på kvotienten hvor . Hvis kvotienten er en semi-enkel representasjon, direkte sum av de to irredusible representasjonene og . Situasjonen er fundamentalt annerledes når . I dette tilfellet er kvotienten et vektorrom av dimensjon 2 der operatøren gitt ved multiplikasjonen med er nullpotent av indeks 2. Når det gjelder representasjonen av Lie algebra , tilsvarer denne kvotienten representasjonen gitt av formelen , som er indekomponerbar, men ikke reduserbar. VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}P(X)=Spørsmål(X)(X-på){\ displaystyle P (X) = Q (X) (Xa)}(P){\ displaystyle (P)}(X-på){\ displaystyle (Xa)}X-på{\ displaystyle Xa}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}(X-på){\ displaystyle (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]/(X-på){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}1⋅1¯=1¯{\ displaystyle 1 \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {1}}}X⋅1¯=på¯{\ displaystyle X \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {a}}}VS[X]/(P){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (P)}P(X)=(X-på)(X-b){\ displaystyle P (X) = (Xa) (Xb)}på≠b{\ displaystyle a \ not = b}VS[X]/(X-på){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS[X]/(X-b){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xb)}på=b{\ displaystyle a = b}X-på{\ displaystyle Xa}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}π(z)=(påz0på){\ displaystyle \ pi (z) = \ left ({\ begin {array} {cc} a & z \\ 0 & a \ end {array}} \ right)}

Induksjon

La være en Lie-algebra. La være en Lie subalgebra av . La være en representasjon av . Vi har sett at vi kan få en representasjon av ved begrensning. Begrepet omsluttende algebra vil gi et enkelt middel til å vurdere det gjensidige problemet. La oss derfor være en representasjon av , som vi ser som en representasjon av dens omsluttende algebra . En konsekvens av Poincaré-Birkhoff-Witt-teoremet er som fremstår som en subalgebra av . På den annen side, gir en representasjon av ved å gjøre handling ved venstre multiplikasjon på tensorene. Vi konstruerer deretter representasjonen . Det kalles representasjon indusert fra til av . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}U(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}U(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Jegikkedhg(V′): =U(g)⊗U(h)V′{\ displaystyle Ind _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} (V '): = {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ otimes _ {{\ mathcal { U}} ({\ mathfrak {h}})} V '}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}

Link til representasjoner av Lie-grupper

I denne delen, legemet K er (eller ). En løgngruppe G er en ekte (eller kompleks) differensialmanifold utstyrt med to kart og glatt (eller holomorf) slik at det er en gruppe . Feltet K i seg selv er en kommutativ Lie-gruppe. Et annet eksempel på løgnegrupper er gruppen av inverterbare matriser av størrelse n . En løgngruppes morfisme er en differensierbar (eller holomorf) gruppemorfisme. En endelig dimensjonal representasjon av Lie-gruppen G er en morphsime av G in . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} μ: G×G→G{\ displaystyle \ mu: \ G \ times G \ rightarrow G}Jeg: G→G{\ displaystyle i: \ G \ rightarrow G}(G, μ, Jeg){\ displaystyle (G, \ \ mu, \ i)}GL(ikke,K){\ displaystyle GL (n, K)}GL(ikke,K){\ displaystyle GL (n, K)}

Løgnegrupper er i slekt med Lie-algebraer. Faktisk er det tangente rommet til en Lie-gruppe G i identitet en Lie-algebra av endelig dimensjon, kalt Lie-algebra for gruppen G og bemerket . For eksempel Lie algebra av K er K selv; Lie-algebraen til er . Siden Lie-algebraen til Lie-gruppen G er det tangente rommet i identiteten, avhenger det faktisk bare av den tilkoblede komponenten av identiteten. Dermed har for eksempel gruppen av reelle matriser med en strengt positiv determinant den samme Lie-algebra som . På den annen side, opp til isomorfisme, eksisterer det en unik sammenkoblet og rett og slett sammenkoblet Lie-gruppe som har en gitt Lie-algebra (av endelig dimensjon). g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}GL(ikke,K){\ displaystyle GL (n, K)}gl(ikke,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}GL+(ikke,R){\ displaystyle GL ^ {+} (n, \ mathbb {R})}GL(ikke,R){\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}

Ettersom enhver morfisme mellom løgngrupper er hypotesen som kan differensieres, induserer den en kartlegging mellom de underliggende Lie-algebraene . Dette kartet er faktisk en morfisme av Lie algebras. Spesielt, for , enhver representasjon av en Lie-gruppe G gir opphav til en endelig dimensjonal representasjon av Lie-algebraen . Omvendt kommer enhver endelig dimensjonal representasjon av en Lie-algebra fra en representasjon av den unike, enkelt forbundne Lie-gruppen som har Lie-algebra som sin Lie-algebra . φ: G→H{\ displaystyle \ varphi: \ G \ rightarrow H}dφ: g→h{\ displaystyle d \ varphi: \ {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}dφ{\ displaystyle d \ varphi}H=GL(ikke,K){\ displaystyle H = GL (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Merknad Det er sterkere forestillinger om representasjoner av Lie-grupper som gjør det mulig å utvide teorien til uendelig dimensjon, samtidig som man holder en analog av dette siste resultatet. Dette er for eksempel tillatte representasjoner og begrepet -moduler. (g,K){\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}

Modulkategori

La være en Lie-algebra. Settet med alle moduler (eller tilsvarende alle representasjoner av ) danner en kategori , betegnet . Denne kategorien er abelsk . Spesielt kan man vurdere eksakte sekvenser av moduler. En nøyaktig sekvens i er gitt av tre moduler M , N , P og av to injeksjons- og surjektiv morfisme. Vi noterer oss en slik sekvens. En modul P er prosjektiv hvis noen eksakt sekvens er delt, det vil si om det eksisterer en morfisme slik at . En ekvivalent definisjon er følgende: modulen P er prosjektiv hvis det for en eventuell morfisme og morfisme eksisterer en unik morfisme slik at . På en dobbelt måte, en elastisitetsmodul I er injektiv hvis noen nøyaktige sekvensen er splittet. En tilsvarende definisjon er følgende: modulen I er injeksjonsdyktig hvis det for en injeksjonsmorfisme og morfisme eksisterer en unik morfisme slik at .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Jeg:IKKE→M{\ displaystyle i: N \ rightarrow M}s:M→P{\ displaystyle p: M \ rightarrow P}0→IKKE→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}0→IKKE→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}s:P→M{\ displaystyle s: P \ rightarrow M}s∘s=Jegd{\ displaystyle p \ circ s = id}f:IKKE→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}h:P→M{\ displaystyle h: P \ rightarrow M}h′:P→IKKE{\ displaystyle h ': P \ rightarrow N}f∘h′=h{\ displaystyle f \ circ h '= h}0→Jeg→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow I \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}f:IKKE→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}h:IKKE→Jeg{\ displaystyle h: N \ rightarrow I}h′:M→Jeg{\ displaystyle h ': M \ rightarrow I}h′∘f=h{\ displaystyle h '\ circ f = h}

Ettersom enhver modul også er en modul på ringen , kan vi bruke de generelle forestillingene om moduler på en ring . En modul M er av endelig lengde hvis det eksisterer en endelig serie av submoduler slik at de påfølgende kvotientene er irreduserbare moduler. En slik sekvens er kalt en Jordan-Hölders fra M . For en endelig lengde modul, avhenger isomorphisms klasse kvotienten bare modulen M . Spesielt heltallet n er kun avhengig av modulus M og kalles lengden av modulen M . For eksempel er enhver irredusibel modul av lengde 1, hvilken som helst direkte sum av to irredusible moduler er av lengde 2.U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯⊂Mikke=M{\ displaystyle \ {0 \} \ subset M_ {1} \ subset M_ {2} \ subset \ cdots \ subset M_ {n} = M}MJeg+1/MJeg{\ displaystyle M_ {i + 1} / M_ {i}}

En modul M er kunstnerisk hvis noen synkende sekvens av submoduler er stasjonær. For eksempel er en hvilken som helst endelig dimensjonsmodul kunstnerisk. En modul M er ikke eterisk hvis en økende sekvens av submoduler er stasjonær. Siden den omsluttende algebraen er en Noetherian-ring , er en modul M Noetherian hvis og bare hvis den er av endelig type. En modul har endelig lengde hvis og bare hvis den er noetherian og artinian.M⊃M1⊃M2⊃⋯{\ displaystyle M \ supset M_ {1} \ supset M_ {2} \ supset \ cdots}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯{\ displaystyle \ {0 \} \ subset M_ {1} \ subset M_ {2} \ subset \ cdots}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}

Eksempel En endelig dimensjonsmodul er alltid Noetherian og Artinian, og har derfor alltid en endelig lengde. Dette er ikke lenger gyldig i uendelig dimensjon, selv ikke for en abelian Lie-algebra. Anta for eksempel at . Tenk på modulen der handlingen av er gitt ved multiplikasjon med skalar z . Handlingen av er derfor gitt av venstre multiplikasjon. Så hver venstre ideelle er en sub-modul L . Note (P) den ideelle generert av polynomet P . La være en uendelig serie av komplekse tall. Vi har da følgende avtagende rekkefølge: . Det er en ikke-stasjonær serie av submoduler, hvis påfølgende kvotienter er irredusible moduler (på grunn av dimensjon 1). Dermed er L ikke kunstnerisk og har ikke endelig lengde. Merk at L er noetherian fordi det er en endelig type modul (faktisk syklisk, generert av det konstante polynom 1 ).g=VS{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {C}}L=VS[X]{\ displaystyle L = \ mathbb {C} [X]}z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}U(VS)=VS[X]{\ displaystyle {\ mathcal {U}} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} [X]}på1,på2,...{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}⋯⊂(X-på1)⋯(X-påikke)⊂⋯⊂(X-på1)(X-på2)⊂(X-på1)⊂L{\ displaystyle \ cdots \ subset (X-a_ {1}) \ cdots (X-a_ {n}) \ subset \ cdots \ subset (X-a_ {1}) (X-a_ {2}) \ subset ( X-a_ {1}) \ delmengde L}

En underkategori full av er Artinian (henholdsvis Noetherian) hvis alle objektene er Artinian (henholdsvis Noetherian) moduler. I en underkategori full av kunstnerisk og eterisk ethvert objekt er av endelig lengde. En underkategori av full har nok projeksjons hvis en eller annen gjenstand M i den underkategori er det en projeksjonsmodul P i underkategori og en surjektiv morphism P på M . Hun har nok injektiv hvis for ethvert objekt M i underkategori det er en injektiv modul jeg i underkategori og en injektiv morphism M i jeg . Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}

Referanser

• N. Bourbaki , Elements of mathematics , Groups and Lie algebras, Chapter 1, Springer, 2007 ( ISBN  978-3-540-35335-5 )
• Jacques Dixmier , Enveloping Algebras , Jacques Gabay, 1996 ( ISBN  2-87647-014-4 )
• Brian Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations , Springer, 2003 ( ISBN  978-0-387-40122-5 )
• James Humphreys, Introduksjon til Lie Algebras and Representation Theory , Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer, 1978 ( ISBN  0-387-90053-5 )
• Nathan Jacobson , Lie algebras , Republicing of the 1962 original, Dover, 1979 ( ISBN  0-486-63832-4 )

Relaterte artikler

• Representasjonsteori
• Grupperepresentasjon
• Representasjon av en Lie-gruppe
• Representasjoner fra en begrenset gruppe

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">