Fin struktur
I atomfysikk , finstruktur beskriver splitting av spektrallinjer med en partikkel. Detekterbar ved spektroskopi ved høy spektraloppløsning , er den fine strukturen en effekt av relativistisk opprinnelse hvis korrekte uttrykk er utledet fra den relativistiske ligningen for partikler av spin 1/2: Dirac-ligningen .
De tette linjene som observeres i spektrene forutsies ved å studere samhandlingsenergien mellom elektronet og protonen uten å ta hensyn til spinnet og de relativistiske effektene av elektronet. For hydrogenoidatomer avhenger energien bare av hovedkvantetallet n, og den ikke-relativistiske Hamiltonianen er skrevet:
Ho=s22m+V(R){\ displaystyle H_ {o} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (R)}.
Modellen som tar hensyn til de relativistiske effektene gjør det derfor mulig å korrigere denne energien, delvis fjerne degenerasjonen av energinivået og å skille spektrallinjene.
Den fine strukturen er beskrevet av den fine strukturen Hamiltonian H f som inneholder tre korrigerende termer:
Hf=Hr+Hd+Hso{\ displaystyle H_ {f} = H_ {r} + H_ {d} + H_ {so}} ;
Den totale Hamiltonian er derfor:
H=Ho+Hf{\ displaystyle H = H_ {o} + H_ {f}}.
Oppdagelsen av den fine strukturen av atom hydrogen vant Nobelprisen i fysikk til Willis Eugene Lamb i 1955 .
Relativistisk korreksjon av kinetisk energi
I det klassiske tilfellet er den kinetiske energiperioden til den ikke-relativistiske Hamiltonian skrevet
Evs.=s22m{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}} ,
som er den mengde av bevegelse og den massen av elektronet.
s{\ displaystyle p}m{\ displaystyle m}
I spesiell relativitet er den kinetiske energien til en massepartikkel skrevet:
m{\ displaystyle m}
Evs.=s2vs.2+m2vs.4-mvs.2{\ displaystyle E_ {c} = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} - mc ^ {2}} =mvs.2[1+s2m2vs.2-1]{\ displaystyle = mc ^ {2} \ left [{\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}}}} - 1 \ right]}.
For svakt relativistiske partikler ( , noe som tilsvarer p << mc ), vi kan "klippe" begrenset ekspansjon i fra parentes til den andre ordens (dvs. på slutten i ):
s2m2vs.2<<1{\ displaystyle {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} << 1}s22m2vs.2{\ displaystyle {\ frac {p ^ {2}} {2m ^ {2} c ^ {2}}}}s4m4vs.4{\ displaystyle {\ frac {p ^ {4}} {m ^ {4} c ^ {4}}}}
Evs.≈mvs.2(s22m2vs.2-s48m4vs.4){\ displaystyle E_ {c} \ approx mc ^ {2} \ left ({\ frac {p ^ {2}} {2m ^ {2} c ^ {2}}} - {\ frac {p ^ {4} } {8m ^ {4} c ^ {4}}} \ høyre)}, som tilsvarer .
Evs.≈s22m-s48m3vs.2{\ displaystyle E_ {c} \ approx {\ frac {p ^ {2}} {2m}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}}}}
I det første orden etter den klassiske sikt korreksjonsleddet H r er derfor verdt:
Hr=-s48m3vs.2{\ displaystyle H_ {r} = - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}}}} .
Med utgangspunkt i Hamilton av den nonrelativistic oppløsningen H 0 av egentilstandene av energi E n ,
ψikkelml{\ displaystyle \ psi _ {nlm_ {l}}}
H=H0-12mvs.2(H0-V)2{\ displaystyle H = H_ {0} - {\ frac {1} {2mc ^ {2}}} (H_ {0} -V) ^ {2}},
der V representerer potensialet, gjør teorien om forstyrrelser det mulig å skrive:
ΔEikkelmlrel=-12mvs.2⟨ψikkelml|(H0-V)2|ψikkelml⟩{\ displaystyle \ Delta E_ {nlm_ {l}} ^ {\ mathrm {rel}} = - {\ frac {1} {2mc ^ {2}}} \ left \ langle \ psi _ {nlm_ {l}} | (H_ {0} -V) ^ {2} | \ psi _ {nlm_ {l}} \ høyre \ rangle}.
Så:
ΔEikkelmlrel=-12mvs.2(Eikke2-2Eikke⟨ψikkelml|V|ψikkelml⟩+⟨ψikkelml|V2|ψikkelml⟩){\ displaystyle \ Delta E_ {nlm_ {l}} ^ {\ mathrm {rel}} = - {\ frac {1} {2mc ^ {2}}} \ left (E_ {n} ^ {2} -2E_ { n} \ langle \ psi _ {nlm_ {l}} | V | \ psi _ {nlm_ {l}} \ rangle + \ langle \ psi _ {nlm_ {l}} | V ^ {2} | \ psi _ { nlm_ {l}} \ rangle \ right)}.
I tilfelle av en hydrogenoid er potensialet Coulomb og de uforstyrrede egenstatene er sfæriske harmoniske . Ovennevnte uttrykk blir:
ΔEikkelmlrel=-(Zα)2ikke(1l+1/2-34ikke)|Eikke|{\ displaystyle \ Delta E_ {nlm_ {l}} ^ {\ mathrm {rel}} = - {\ frac {(Z \ alpha) ^ {2}} {n}} \ left ({\ frac {1} { l + 1/2}} - {\ frac {3} {4n}} \ høyre) | E_ {n} |}.
Spin-bane kobling
Opprinnelsen til det forstyrrende begrepet
Den relativistiske kvantemekanikken viser blant annet det faktum at elektroner har spinn. Dette genererer et magnetisk moment av spinn
Ms→=qmeS→{\ displaystyle {\ vec {M_ {s}}} = {\ frac {q} {m_ {e}}} {\ vec {S}}}.
Som elektron beveger seg i et miljø hvor det er et elektrisk felt skapt av ladningene på kjernen og andre elektroner , i henhold til spesielle relativitets , den elektron , i sin referanseramme, oppfatter et magnetisk felt som kalles den emosjonelle marken
B′→=-v→∧E→vs.2{\ displaystyle {\ vec {B '}} = - {\ frac {{\ vec {v}} \ wedge {\ vec {E}}} {c ^ {2}}}}.
Energien forbundet med denne interaksjonen er derfor
Wso=-Ms→⋅B′→{\ displaystyle W_ {so} = - {\ vec {M_ {s}}} \ cdot {\ vec {B '}}}.
Ettersom elektronens referanseramme roterer og ikke galileisk , krever beregningen av det emosjonelle feltet å gjøre to endringer i referanserammen (en i oversettelse og en i rotasjon). Beregningen gjort av Thomas gir
Wso=12me2vs.21rdVdrL→⋅S→{\ displaystyle W_ {so} = {\ frac {1} {2m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} {\ frac {1} {r}} {\ frac {{\ mathrm {d} } V} {{\ mathrm {d}} r}} {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}} ,
med det kinetiske moment av den elektron rundt kjernen , og den fart av spinn i den elektron .
L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}
Det er vanlig å merke seg dette begrepet
Wso=ξ(r)L→⋅S→~ påvevs. ξ(r)=12me2vs.21rdVdr{\ displaystyle W_ {so} = \ xi (r) {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} {{\ textrm {~}} ~ med ~~} \ xi (r) = {\ frac {1} {2m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} {\ frac {1} {r}} {\ frac {{\ mathrm {d}} V} {{\ mathrm {d} } r}}} ,
som gjør det mulig å markere det rent radiale begrepet.
Beregning i forstyrrelse
Under forutsetning av at dette begrepet gir et svakt bidrag til energien sammenlignet med hoveduttrykket , kan det behandles som en forstyrrelse. Men først skal det bemerkes at begrepet betyr ikke bytte med og . Det er derfor viktig å finne et nytt komplett sett med pendlende observasjoner (ECOC). For å gjøre dette, den totale
vinkelmomentetH0{\ displaystyle H_ {0}}L→⋅S→{\ displaystyle {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}}L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}
J→ =def∑L→ ⇔ J→=L→+S→{\ displaystyle {\ vec {J}} ~ {\ stackrel {\ textrm {def}} {=}} \ sum {\ vec {L}} ~~ \ Leftrightarrow ~~ {\ vec {J}} = {\ vec {L}} + {\ vec {S}}}brukes i stedet for hvert vinkelmoment, og den nye ECOC blir . Grunnlaget for de vanlige egenvektorene blir da
med . Det resulterer
H,L2,S2,J2,Jz{\ displaystyle H, L ^ {2}, S ^ {2}, J ^ {2}, J_ {z}}|ψikkelsjmj⟩{\ displaystyle \ left | \ psi _ {nlsjm_ {j}} \ right \ rangle}mj=ml+ms{\ displaystyle m_ {j} = m_ {l} + m_ {s}}
J2=L2+S2+2L→⋅S→ ⇔ L→⋅S→=12(J2-L2-S2){\ displaystyle J ^ {2} = L ^ {2} + S ^ {2} +2 {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} ~~ \ Leftrightarrow ~~ {\ vec {L} } \ cdot {\ vec {S}} = {\ frac {1} {2}} \ left (J ^ {2} -L ^ {2} -S ^ {2} \ right)} ,
fra hvor
Wso=12ξ(r)(J2-L2-S2){\ displaystyle W_ {so} = {\ frac {1} {2}} \ xi (r) \ left (J ^ {2} -L ^ {2} -S ^ {2} \ right)}.
Den teorien om forstyrrelser gjør det mulig å skrive:
ΔEikkelsjso=12⟨ψikkelsjmj|ξ(r)(J2-L2-S2)|ψikkelsjmj⟩{\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = {\ frac {1} {2}} \ left \ langle \ psi _ {nlsjm_ {j}} \ left | \ xi (r) \ left (J ^ {2} -L ^ {2} -S ^ {2} \ right) \ right | \ psi _ {nlsjm_ {j}} \ right \ rangle} .
Ved å spørre
PÅikkelℏ2=∫0∞|Rikkel|2ξ(r)r2dr{\ displaystyle {\ frac {A_ {nl}} {\ hbar ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | R_ {nl} \ right | ^ {2} \ xi ( r) r ^ {2} {\ mathrm {d}} r} ,
resultatet er:
ΔEikkelsjso=PÅikkel2[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]{\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = {\ frac {A_ {nl}} {2}} \ left [j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1) \ Ikke sant]} .
Eksempel med baser
Her da .
s=1/2{\ displaystyle s = 1/2}s(s+1)=3/4{\ displaystyle s (s + 1) = 3/4}
- Enten , så fra hvor .l=0{\ displaystyle l = 0}j=s{\ displaystyle j = s}ΔEikkelsjso=0{\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = 0}
- Enten , da:
l≠0{\ displaystyle l \ neq 0}
-
j=l+12{\ displaystyle j = l + {\ frac {1} {2}}}derfor ;ΔEikkelsjso=PÅikkel2×l{\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = {\ frac {A_ {nl}} {2}} \ times l}
-
j=l-12{\ displaystyle j = l - {\ frac {1} {2}}}derfor .ΔEikkelsjso=-PÅikkel2×(l+1){\ displaystyle \ Delta E_ {nlsj} ^ {so} = - {\ frac {A_ {nl}} {2}} \ times (l + 1)}
Med unntak av S-lagene er det en delvis løfting av degenerasjonen av energinivåene. Dette resulterer i en dobling av disse nivåene (eksempel på natrium som har en dobling av den gule emisjonslinjen i henholdsvis to linjer ved 589,0 nm og 589,6 nm ).
Barnesenteret til nivåene flyttes ikke.
Se også
Relaterte artikler
Bibliografi
-
(fr) C. Cohen-Tannoudji , B. Diu og F. Laloë , kvantemekanikk [ detalj av utgaven ], t. II, s. 958
-
(en) Randal C. Telfer, Alt du alltid ønsket å vite om hydrogenatomet (men var redd for å spørre) på nettstedet til Institutt for fysikk og astronomi ved Johns-Hopkins University, 2006 [ les online ]
Merknader og referanser
-
Formelen kan oppnås empirisk ved å utvide den kinetiske energien gitt av den spesielle relativiteten E = [ p 2 c 2 + m 2 c 4 ] 1/2 - mc 2 til første orden . En sammenhengende avledning i forbindelse med kvantefysikk er laget fra Dirac-ligningen .
-
Beregningen gjøres i tilnærmingen av et galileisk referanseramme gir et feilaktig resultat av en faktor12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}
-
Her valget av forhold til de andre koordinater er rent tilfeldig og har ingen innflytelse på resultatet av beregningen.Jz{\ displaystyle J_ {z}}