Frattinis teorem

I matematikk , nærmere bestemt i teorien av gruppene , de Frattini teoremet klargjør strukturen av p -grupper ferdig . Han fastslår at kvotienten til en slik gruppe av dens Frattini-undergruppe er et produkt av sykliske grupper av orden p og kan derfor utstyres med en struktur av F p - vektorrom , kalt Frattini-rommet.

Stater

Eller G -gruppen og Φ ( G ) undergruppen av Frattini, det vil si, den karakteristiske undergruppen er definert som skjæringspunktet mellom undergruppene maksimum av G .

Hvis G er en endelig p- gruppe, er G / Φ ( G ) isomorf til (ℤ / p ℤ) n for noen n og kan derfor sees på som et F p- vektorrom.

Bevis

La G være en endelig p- gruppe.

• Vi vil vise at hver maksimale undergruppe skiller seg ut (denne egenskapen er faktisk sant for alle nilpotente grupper ). For dette får vi gruppen til å handle på rommet for maksimale undergrupper ved konjugasjon . Banene kan ha flere kardinaler.
  • Banene til kardinal 1. Den tilsvarende maksimale undergruppen skilles deretter ut.
  • De andre, fra kardinal en ikke-triviell kraft på s . La en slik bane være en av undergruppene H1 i denne banen. Den virker også på bane ved konjugasjon og inndeling i underbaner. Denne gruppen H1 er alene i sin underbane og da kardinalen i banen er en kraft av p , eksisterer det minst p - 1 andre underbaner i kardinal 1. La H2 være en annen maksimal undergruppe som danner en undergruppe bane av kardinal 1. H2 og vår første undergruppe H1 genererer hele gruppen (H1 er maksimal) og H2 skiller seg derfor ut i gruppen. Siden H1 og H2 er konjugert og H2 skiller seg ut, er H1 og H2 de samme. Motsigelse. Kardinalen til banen til en maksimal undergruppe kan derfor ikke være en ikke-triviell kraft av p .
• Vi vil vise at kvotienten til gruppen av Frattini-undergruppen er kommutativ (denne egenskapen er faktisk, som den forrige, sant for enhver nilpotent gruppe), det vil si at den avledede undergruppen er inkludert i alle maksimale undergrupper. grupper: la H være en maksimal undergruppe. I henhold til det foregående punkt, H er normalt i G . Derfor, G / H er cyklisk (til første orden) således kommutativ, slik at den undergruppen derivatet er inkludert i H .
• Til slutt er alle elementene i kvotienten i orden 1 eller p . Faktisk, la x et element G . For en hvilken som helst maksimal undergruppe H , x p representerer H , da det som vist i det foregående punkt, kvotienten G / H er av orden p . Dermed tilhører x p faktisk Φ ( G ). Alle elementene i kvotienten er av orden 1 eller p, og derfor er vår gruppe isomorf til et endelig direkte produkt av sykliske grupper av orden p .

Merk: det samme beviset viser at hvis G ikke er en nødvendig endelig nilpotent p-gruppe, er det fremdeles sant at kvotienten til G ved sin Frattini-undergruppe er en abelisk gruppe hvor en hvilken som helst femte kraft er lik l 'nøytralt element , derav et vektorrom over feltet med p- elementer .

Eksempel

La Q være den kvaternioniske gruppen ({1, –1, i, –i, j, –j, k, –k} utstyrt med multiplikasjonen), så er undergruppen {1, –1} Frattini-undergruppen og kvotienten er (ℤ / 2ℤ) 2 (eller F 2 2 ).

Se også

Relatert artikkel

Prüfer rang  (i)

Ekstern lenke

Haile Bereda , "  På en klasse av p-gruppene  " AOSPs , 5 th serie, vol.  4, n o  to1982, s.  191-194 ( les online )