p- gruppe

I matematikk , og nærmere bestemt i algebra , er en p- gruppe , for et gitt primtall p , en gruppe (endelig eller uendelig) hvis hvert element har for orden en styrke på p . Et viktig eksempel på p- grupper er Sylow p- undergrupper av en begrenset gruppe .

Eiendommer

• Enhver undergruppe og hvilken som helst kvotient i en p- gruppe er en p- gruppe.
• Omvendt, hvis H er en p - undergruppe som skiller seg fra en gruppe G og hvis kvotienten G / H er en p - gruppe, så er G en p - gruppe.
• Vi kan trekke fra forrige punkt at et semi-direkte produkt av to p- grupper er en p- gruppe.
• Den begrensede summen av en familie (endelig eller uendelig) av p- grupper er en p- gruppe.
• En endelig gruppe er en p- gruppe hvis og bare hvis dens rekkefølge er en styrke av primtallet p .
• I en p- gruppe, hvis indeksen til en undergruppe er endelig, er denne indeksen en styrke på p .
• Enhver ikke-triviell endelig p- gruppe har et ikke-trivielt sentrum (med trivielt mener vi redusert til det nøytrale elementet).
• Enhver endelig p -gruppen er derfor nilpotent løsbar .
• La G være en endelig p- gruppe av ordren p n . For ethvert naturlig tall r mindre enn eller lik n , innrømmer G minst en undergruppe av ordren p r .

Demonstrasjoner

• Enhver undergruppe og kvotient for en p- gruppe er en p- gruppe.

Faktisk har et element i en undergruppe H av en gruppe G samme rekkefølge i G og i H , og rekkefølgen på bildet av et element x av endelig orden av en homomorfisme (her den kanoniske morfismen til en gruppe på et kvotient av denne gruppen) deler rekkefølgen på x .

• Hvis H er en normal p- undergruppe av en gruppe G og hvis kvotienten G / H er en p- gruppe, er G en p- gruppe.

La x være et element av G , q rekkefølgen av klassen i G / H , og r rekkefølgen av elementet x q (som tilhører H ), så er qr en kraft på p og x qr = 1.

• En endelig gruppe er en p- gruppe hvis og bare hvis dens rekkefølge er en styrke av primtallet p .

La G være en endelig gruppe, av orden n . Anta først at n er en kraft på p . Ved anvendelse av Lagranges teori deler rekkefølgen på ethvert element av G rekkefølgen n av G og er derfor en kraft av p , slik at G er en p- gruppe. Motsett, anta at rekkefølgen på et hvilket som helst element i G er en kraft av p og bevis at rekkefølgen n på G er en styrke på p . For enhver primordeler q av n , ifølge Cauchys teorem , innrømmer G et element av orden q , slik at q er en kraft av p, derfor q = p . Således er den eneste mulige primdivisor n er p , så n er en potens av p .

• I en p- gruppe G , hvis indeksen til en undergruppe H er endelig, er denne indeksen en styrke på p.

Hvis H har en endelig indeks, er kjernen H G (dvs. skjæringspunktet mellom konjugatene ) også, så G / H G er en endelig p- gruppe. Dens rekkefølge [ G : H G ] er da en kraft av p, slik at [ G : H ] (som deler den) også.

• Hver ikke-triviell endelig p- gruppe har et ikke-trivielt sentrum.

La G være en ikke- privat begrenset p- gruppe. Ordenen er derfor en ikke-null kraft på p . Studien av handlingen ved konjugasjon av G på seg selv gir ligningen til klassene . Det gjør det mulig å uttrykke kardinalen i sentrum Z ( G ) i form:

VSpård(Z(G))=VSpård(G)-∑JegVSpård(G)VSpård(ZJeg),{\ displaystyle Card (Z (G)) = Card (G) - \ sum _ {i} {\ frac {Card (G)} {Card (Z_ {i})}},}

der Z i er undergrupper av G som er forskjellige fra G , så summen indeksert av i er en sum av ikke-null krefter på p . Det følger at kardinaliteten til Z ( G ) er delelig med p og kan derfor ikke være lik 1, noe som fullfører beviset.

• Enhver endelig p- gruppe er derfor ikke-løselig.

Enhver nilpotentgruppe er løselig, så det er tilstrekkelig å vise at G er nilpotent. La oss bevise det ved induksjon på n , rekkefølgen på G skal være lik p n .
Hvis n er lik null , er gruppen triviell, derfor nilpotent.
La n > 0 og anta at egenskapen er sann for hvilken som helst kraft som er mindre enn eller lik n - 1. La Z være sentrum for gruppen, den er distinkt og ikke-triviell, så G / Z er en p-gruppe av bestille en kraft på p mindre enn eller lik n - 1 og er nullpotent. Det at G / Z er nilpotent viser at G er.

• La G være en endelig p- gruppe av ordre p n . For et hvilket som helst naturlig tall r mindre enn eller lik n , innrømmer G minst en undergruppe av orden p r .
  Siden G er løselig, har hver kvotient i en Jordan-Hölder-sekvens av G et primtall for ordre . Denne rekkefølgen, som deler den av G , må være lik p . Uttalelsen følger tydelig. (Vi kan til og med bevise at antall undergrupper av orden p r av G er kongruent til 1 modulo p .)

• Enhver ikke-abelske endelig p- gruppe har minst en ikke- indre automorfisme av orden, en kraft på p .
• Enhver automorfisme av en p- gruppe G av orden p n induserer en automorfisme av kvotienten til G ved sin Frattini-undergruppe Φ ( G ) = G p [ G , G ] . Dette kvotienten er en elementær abelsk gruppe  (en) ( ℤ / p ℤ ) d , hvis automatiseringsgruppe er GL ( d , F p ) , av orden ( p d - 1) ( p d - p ) ( p d - p 2 )… ( P d - p d –1 ). Den kjerne av den kanoniske morphism fra Aut ( G ) til aut ( G / Φ ( G )) har i rekkefølge en divisor av p d ( n - d ) .

Merk: enhver gruppe av ordre p 2 er abelsk . Faktisk, hvis Z er (ikke-triviell) sentrum av en slik gruppe G deretter G / Z er cyklisk (på grunn av for en eller p ) derfor G blir generert ved foreningen av Z og en enkelt, slik at G er abelsk. (Det er derfor enten syklisk eller produktet av to sykliske grupper av ordre s .)

Merknader og referanser

Merknader

1. Denne definisjonen er i samsvar med Scott 1987 , s.  91; Calais 1984 , s.  295; Rotman 1999 , s.  73; Hall 1976 , s.  45; M. Reversat og B. Bigonnet, Algèbre pour la license, Cours et exercises corrigés , Dunod, 2000, s. 51. På den annen side, N. Bourbaki , Algebra , vol. Jeg, Paris, 1970, kap. I, § 6, nr. 5, def. 9, s. I.72, kaller p- gruppe, for et gitt primtall p , en endelig gruppe hvis orden er en kraft på p . Denne definisjonen av Bourbaki vises også i (en) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley, 1978, s. 2 og Perrin 1996 , s.  9.
2. Rotman 1999 , s.  76.
3. (de) Wolfgang Gaschütz  (de) , “  Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen  ” , J. Algebra , vol.  4,1966, s.  1-2 ( les online ).
4. (i) Philip Hall , "  Et bidrag til teorien om grupper av primærmaktorden  " , Proc. Lond. Matte. Soc. , iI, vol.  36,1933, s.  29-95 ( zbMATH  59.0147.02 ).
5. Denne egenskapen er en standard øvelse i algebra-lærebøker, for eksempel Perrin 1996 , s.  34.

Referanser

• J. Calais, Elements of group theory , Paris, PUF ,1984, 3 e  ed. ( ISBN  978-2-13-038465-6 )
• (en) Marshall Hall, Jr. , The Theory of Groups [ detalj av utgaver ]
• Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ]
• Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalj av utgaver ]
• (en) Joseph J. Rotman  (en) , En introduksjon til teorien om grupper [ detalj av utgaver ]
• (en) WR Scott, Group Theory , Dover ,1987( 1 st  ed. 1964) ( lese linjen )

Se også

Relaterte artikler

• Heisenberg-gruppen på F s
• Prüfer-gruppen
• Sylows teoremer
• Frattinis teorem
• Tarski monster group  (en)
• vanlig p-gruppe  (i)
• Pro-p-gruppe  (no)

Bibliografi

(en) Yakov Berkovich og Zvonimir Janko , Groups of Prime Power Order , vol. 1 ( ISBN  978-3110204186 ) og 2 ( ISBN  978-3110204193 ) , De Gruyter, 2008

Ekstern lenke

Gruppeteorikurs av N. Jacon fra universitetet i Franche-Comté

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">