Liouvilles teorem (differensial algebra)

I matematikk , spesielt i analyse og differensialgebra (in) , gir Liouville-teoremet , formulert av Joseph Liouville i en serie arbeider om elementære funksjoner mellom 1833 og 1841 og utbredt i sin nåværende form av Maxwell Rosenlicht i 1968, forhold slik at en primitive kan uttrykkes som en kombinasjon av elementære funksjoner, og viser spesielt at mange vanlige funksjonsprimitiver, slik som feilfunksjonen , som er en primitiv av e - x 2 , ikke kan uttrykke seg slik.

Definisjoner

Et differensialfelt er et kommutativt felt K , utstyrt med en avledning , det vil si med en kartlegging av K i K , additiv (for eksempel ), og verifisering av "produktets regel ": $\ delvis$ $\ delvis (u + v) = \ delvis u + \ delvis v$

\ partial (uv) = u \, \ partial v + v \, \ partial u

Hvis K er et differensialfelt, kalles kjernen til , nemlig konstantfeltet , og betegnes Con ( K ); er et delfelt av K . $\ delvis$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (\ partial) = \ {u \ in K: \ partial (u) = 0 \},}$

Gitt to differensfelt F og G , sier vi at G er en logaritmisk utvidelse av F hvis G er en enkel transcendent forlengelse av F , dvs. G = F ( t ) for et transcendent element t , og hvis det er en s av F slik det . $\ delvis t = \ delvis s / s$

Denne tilstanden har form av et logaritmisk derivat ; slik at vi kan tolke t som en slags logaritmen av elementet s fra F .

Tilsvarende er en eksponentiell utvidelse av F en enkel transcendent utvidelse av F slik at det eksisterer et s av F som tilfredsstiller ; igjen kan t tolkes som en slags eksponentiell av s . $\ delvis t = t \ delvis s$

Til slutt sier vi at G er en elementær differensialutvidelse av F hvis det er en endelig kjede av underfelt som går fra F til G , slik at hver utvidelse av kjeden er algebraisk, logaritmisk eller eksponentiell.

Den grunnleggende teoremet

Teoremet Liouville-Rosenlicht - Let F og G to differensial felt som har samme felt av konstanter, og slik at G er en elementær differensial forlengelse av F . La a være et element av F , y et element av G, med y = a . Det eksisterer da en sekvens c 1 , ..., c n av Con ( F ), en sekvens u 1 , ..., u n av F , og et element v av F slik at $\ delvis$

a = c_ {1} {\ frac {\ partial u_ {1}} {u_ {1}}} + \ dotsb + c_ {n} {\ frac {\ partial u_ {n}} {u_ {n}}} + \ delvis v.

Med andre ord, de eneste funksjonene som har "elementære primitiver" (det vil si primitiver som tilhører elementære utvidelser av F ) er de av den formen som er foreskrevet av teoremet.

Eksempler

Feltet K = C ( x ) av rasjonelle brøker med en variabel, forsynt med det vanlige derivatet, er et differensialfelt; dens felt av konstantene kan bli identifisert med C . De fleste av elementene i denne kroppen har ingen primitiver; innrømmer for eksempel ikke noe, fordi dets primitiver ln x + C har en veksthastighet til uendelig lavere enn den for en ubegrenset rasjonell brøkdel; Tilsvarende er det vist at primitivene , form arctan ( x ) + C , hører ikke til K . I begge disse tilfellene er det imidlertid et antiderivativt i en utvidelse av K ; henholdsvis er det den logaritmiske utvidelsen K og den logaritmiske utvidelsen K : Faktisk, ved å bruke Eulers formler , kan vi skrive ${1} / {x}$ ${1} / (x ^ {2} +1)$ $[\ ln x]$ $[\ ln ((1 + ix) / (1-ix))]$

{\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {2i \ theta} & = {\ frac {e ^ {i \ theta}} {e ^ {- i \ theta}}} = {\ frac {\ cos \ theta + i \ sin \ theta} {\ cos \ theta -i \ sin \ theta}} = {\ frac {1 + i \ tan \ theta} {1-i \ tan \ theta}} \\ [8pt] 2i \ theta & = \ ln \ left ({\ frac {1 + i \ tan \ theta} {1-i \ tan \ theta}} \ right) {\ rm {\ og \ derfor \}} \ arctan x = {\ frac {1} {2i}} \ ln \ left ({\ frac {1 + ix} {1-ix}} \ høyre) \ end {aligned}}}

Vi vet dessuten (fra nedbrytningen til enkle elementer ) at ethvert element av K innrømmer et antiderivativ i en elementær utvidelse av K (og til og med faktisk i en utvidelse som oppnås ved en serie logaritmiske utvidelser).

På den annen side verifiserer de fleste elementære utvidelser av K ikke denne egenskapen til stabilitet. Hvis vi altså tar for differensialfeltet L = K (exp (-x 2 )) (som er en eksponentiell utvidelse av K ), blir feilfunksjonen erf , primitiv for den Gaussiske funksjonen exp (-x 2 ) (ved konstanten 2 / nær), er ikke i noen elementær differensialutvidelse av K (og heller ikke av L ), det vil si at den ikke kan skrives som sammensatt av vanlige funksjoner. Beviset er basert på det eksakte uttrykket for derivatene gitt av teoremet, noe som gjør det mulig å vise at et antiderivativ da nødvendigvis vil ha formen P (x) / Q (x) exp (-x 2 ) (med P og Q polynomer); avslutter vi med å merke oss at derivatet av denne formen aldri kan være exp (-x 2 ). Vi viser også at mange spesialfunksjoner definert som primitiver, slik som integral sinus Si, eller integral logaritme Li, ikke kan uttrykkes ved hjelp av de vanlige funksjonene. ${\ sqrt \ pi}$

Forhold til differensiell Galois-teori og generaliseringer

Liouvilles teorem presenteres noen ganger som en del av den differensielle Galois-teorien , men dette er ikke helt riktig: det kan demonstreres uten noen appel til Galois-teorien. Videre er Galois-gruppen til en gitt primitiv enten triviell (hvis det ikke er nødvendig å utvide feltet for å uttrykke det), eller additivgruppen med konstanter (tilsvarende integrasjonskonstanten). Dermed inneholder ikke den differensielle Galois-gruppen til en primitiv nok informasjon til å avgjøre om den kan uttrykkes i elementære funksjoner eller ikke, som utgjør essensen av Liouvilles teorem. Motsatt gjør den differensielle Galois-teorien det mulig å oppnå lignende resultater, men kraftigere, for eksempel å demonstrere at Bessel-funksjonene ikke bare er grunnleggende funksjoner, men kan ikke engang oppnås fra primitiver. Av disse. Tilsvarende (men uten å bruke den differensielle Galois-teorien), oppnådde Joseph Ritt (en) i 1925 en karakterisering av elementære funksjoner hvis gjensidige sammenheng også er elementær.

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Liouville's teorem (differential algebra) " ( se listen over forfattere ) .
(no) Daniel Bertrand , " Review of" Lectures on different Galois theory "av Andy R. Magid " , Bull. Bitter. Matte. Soc. , vol. 33, n o to1996( les online )
(no) Alister D. Fitt og GTQ Hoare , " The closed-form integration of arbitrary functions " , Math. Gazette (en) ,1993, s. 227-236 ( les online )
(en) Keith O. Geddes (en) , Stephen R. Czapor og George Labahn, Algorithms for Computer Algebra , Boston / Dordrecht / London, Kluwer Academic Publishers,1992, 585 s. ( ISBN 0-7923-9259-0 , les online )
Joseph Liouville , “ Memory on the integration of a class of transcendent functions ”, J. Reine angew. Matte. , vol. 1. 3,1835, s. 93-118 ( les online )
Joseph Liouville , " Nye bemerkninger om Riccati-ligningen ", J. math. ren appl. , 1 st serie, vol. 6,1841, s. 1-13 ( les online )
(en) Andy R. Magid , Foredrag om differensiell Galois-teori , AMS , koll. "Universitetet Foredrag Series" ( n o 7),1994, 105 s. ( ISBN 978-0-8218-7004-4 , matematiske anmeldelser 1301076 , les online )
(en) Andy R. Magid , “ Differential Galois theory ” , Merknader Amer. Matte. Soc. , vol. 46, n o 9,1999, s. 1041-1049 ( Matematikkomtaler 1710665 , les online )
(en) Maxwell Rosenlicht , “ Liouvilles teorem om funksjoner med elementær integral ” , Pacific J. Math. , vol. 24,1968, s. 153-161 ( les online )
(en) Marius van der Put (de) og Michael F. Singer , Galois teori om lineære differensiallikninger , Springer-Verlag , koll. “ Grund. matte. Wiss. "( Nr . 328),2003, 438 s. ( ISBN 978-3-540-44228-8 , matematiske anmeldelser 1960772 , lest online )

Se også

Ekstern lenke

Mer detaljerte eksempler og bevis på teoremet

Relatert artikkel

Risch algoritme

Joseph Ritt,