Hindringsteori

I matematikk er hindringsteorien navnet som faktisk er gitt til flere distinkte topologiske teorier hvis mål er å bestemme kohomologiske invarianter .

Den eldste betydningen gitt til uttrykket "obstruksjonsteori" er i algebraisk topologi , og mer presist i homotopiteori , den for en prosedyre, definert ved induksjon på dimensjonen, noe som gjør det mulig å utvide en kontinuerlig applikasjon definert på et forenklet kompleks , eller på et CW-kompleks . Tradisjonelt kalt Eilenberg obstruksjonsteori , oppkalt etter Samuel Eilenberg , involverer denne prosedyren kohomologigrupper hvis koeffisienter er hentet fra homotopigrupper , for å definere "blokkeringer" ved disse utvidelsene, kalt hindringer . For eksempel, for å utvide et kart f fra ett enkelt kompleks X til et annet, Y , innledningsvis definert på 0-skjelettet til X (toppunktene til X ), vil en utvidelse til 1-skjelettet (kantene) være mulig hvis Y er "tilstrekkelig" forbundet med buer ; å utvide f til 2-skjelettet (settet med trekantede flater) tilsvarer å fylle det indre av bildene av kantene som grenser til hver trekant, noe som bare er mulig hvis trekanten dannet av bildene av kantene er kontraktil (homotopisk reduserbar ved Et poeng). Beregningen av hindringer utgjør å måle nøyaktig (for f , X og Y gitt) hva det ville være nødvendig å modifisere for at f skal kunne utvides effektivt.

I geometrisk topologi tar obstruksjonsteori sikte på å avgjøre om en topologisk variant kan utstyres med en stykkevis lineær struktur (en) , og om en stykkevis lineær variasjon kan være utstyrt med en differensiell variasjonsstruktur .

Spesielt vet vi at i dimensjon 2 ( Tibor Radó ) og 3 ( Edwin E. Moise (en) ) faller forestillingene om topologisk variasjon og stykkevis lineær variasjon sammen, men at dette ikke lenger er sant i dimensjon 4 På den annen side , i dimensjoner 6, er de stykkevise lineære fordeler differensialmanifoldene. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ leq}$

I teorien om kirurgi

De to grunnleggende spørsmålene om kirurgisk teori er å bestemme om et topologisk rom hvis Poincaré dual har dimensjon n, er homotopisk ekvivalent med en differensialmanifold , og å bestemme om en homotopiekvivalens mellom to manifolds av dimensjon n er homotopisk til en diffeomorfisme . I begge tilfeller er det to hindringer for n > 9: en primær hindring som kommer fra topologisk K-teori (en) til eksistensen av en vektorpakke ; hvis den forsvinner, er det en normal applikasjon (in) som gjør det mulig å definere en sekundær "kirurgisk" hindring som kommer fra den algebraiske L-teorien (in) , og forhindrer å utføre en operasjon på normal applikasjon som bringer den tilbake til en ekvivalens av homotopi .

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Obstruction theory " ( se listen over forfattere ) .

(en) Alexandru Scorpan , The wild world of 4-manifolds , Providence, American Mathematical Society ,2005, 609 s. ( ISBN 978-0-8218-3749-8 , les online )