Moderne porteføljeteori

Den moderne porteføljeteorien er en utviklet økonomisk teori i 1952 av Harry Markowitz . Den forklarer hvordan rasjonelle investorer bruker diversifisering for å optimalisere porteføljen , og hva som skal være prisen på en eiendel gitt risikoen sammenlignet med den gjennomsnittlige risikoen i markedet. Denne teorien bruker begrepene effektiv grense, beta-koeffisient , kapitalmarkedslinje og verdipapirmarkedslinje. Den mest fullførte formaliseringen er verdsettelsesmodellen for finansielle eiendeler eller CAPM.

I denne modellen er avkastningen på en eiendel en tilfeldig variabel, og en portefølje er en vektet lineær kombinasjon av eiendeler. Derfor er avkastningen til en portefølje også en tilfeldig variabel og har forventning og avvik .

Startide

Markowitzs idé i porteføljeforvaltningen er ganske enkelt å blande den sammen på en slik måte at det ikke blir gjort inkonsekvente valg , for eksempel å føre til en blanding av A-aksjer og B-aksjer for å oppnå et par. Lavere inntekt / risiko til lik kostnad enn hva som ville gjort har blitt oppnådd for eksempel med C-aksjer.

Teknisk sett er dette et ganske trivielt kvadratisk optimaliseringsproblem . Dens originalitet er i hovedsak anvendelsen av denne ingeniørmodellen i finansverdenen.

Anmeldelser

Den anerkjente matematikeren Benoît Mandelbrot gjennom sine mange arbeider om emnet (spesielt hans historiske studie om prisen på bomullsmarkedet i mer enn et århundre) stiller helt spørsmålstegn ved gyldigheten av Harry Markowitz teori og dens følge CAPM, utviklet av William F. Sharpe . Han mener at disse teoriene, som kommer fra School of Chicago , uansett hvor vakre de er i utseende og så enkle i sin anvendelse, er fullstendig koblet fra virkeligheten i finansmarkedene. De har blitt stilt spørsmålstegn ved mange ganger under spesielt de ulike aksjemarkedskrasjene som de ikke kunne forutse. De har ført til politikk for risikostyring som kan kvalifiseres som uansvarlig fra finansinstitusjoner.

Gjennomsnittvariansekriteriet introdusert av Harry Markowitz legger ikke til grunn noen distribusjon. Det grunnleggende problemet stammer imidlertid fra det faktum at applikasjoner som bruker dette konseptet er basert på normalfordelingen ( Gauss lov eller "bjelkekurve"), som i stor grad undervurderer "usannsynlige" hendelser som kriser eller krasjer da. At de til slutt er mye mindre. sjelden enn denne loven forutsier (klokkekurven tar da mer en “Gaussisk linse” -form, de økonomiske variablene fordeles ikke rundt gjennomsnittet, men fordeles over de to ytterpunktene). Et annet stort problem: de neoklassiske forutsetningene som ligger til grunn for disse teoriene er veldig urealistiske (spesielt rasjonaliteten til investorer, kontinuiteten og uavhengigheten av prisvariasjoner, etc.).

I følge Nassim Nicholas Taleb , sjanse- og usikkerhetsfilosof og tidligere handelsmann, er den moderne porteføljeteorien til Harry Markowitz og dens applikasjoner som CAPM av William F. Sharpe eller Black-Scholes-Merton-formelen matematisk konsistent, veldig enkel å bruke, men basert på antakelser som overforenkler virkeligheten til det punktet å fullstendig fravike den, litt som "den gale i følge Locke", "som begrunner riktig fra feilaktige antagelser". Taleb anser bruken av normal lov i finans gjennom porteføljeteori som en "stor intellektuell ulempe", som fortsetter å bli undervist for hundretusenvis av studenter hvert år på lederskoler og universiteter over hele verden. Helhet og til bruk for finansutøvere . Ifølge Taleb har prognosene basert på denne teorien ingen gyldighet og kan ofte vise seg å være skadelige: eksemplene er legion ( subprime-krise , konkurs hos LTCM, Lehman Brothers , etc.). Taleb vurderer at det er å foretrekke å bruke maktloven eller Pareto-loven for å gripe tilfeldigheter eller de ekstreme verdiene nådd av økonomiske variabler under kriser.

Informasjonsforutsetninger, risiko og avkastning

Modellen antar den doble antagelsen

finansielle aktivamarkeder er effektive. Det er markedseffektivitetsforutsetningen at det forventes at aktiva priser og avkastning reflekterer objektivt all tilgjengelig informasjon om disse eiendelene.

investorer er risikovillige (som vist av Daniel Bernoulli ): de vil bare være villige til å ta mer risiko i bytte mot høyere avkastning. Motsatt må en investor som ønsker å forbedre lønnsomheten i porteføljen sin, akseptere å ta mer risiko. Risiko / avkastningsbalansen som anses som optimal avhenger av risikoen for hver investor.

Forventning og varians

Det antas generelt at investorens preferanse for en risiko / avkastning kan beskrives ved en kvadratisk nyttefunksjon . I tillegg antas markedsutviklingen å følge en symmetrisk Pareto-fordeling. Derfor er bare forventet avkastning (forventet utbytte) og volatilitet ( standardavvik ) parametrene som vurderes av investoren. Sistnevnte tar ikke hensyn til andre egenskaper ved fordelingen av inntektene, for eksempel asymmetri eller til og med nivået på investert formue.

Avhengig av modell:

avkastningen på en portefølje er en lineær kombinasjon av eiendelene som utgjør den, vektet av vekten i porteføljen. ; $w_ {i}$
den volatiliteten porteføljen er en funksjon av korrelasjonen mellom de eiendeler som komponerer. Denne funksjonen er ikke lineær.

Matematisk:

Generelt, for en portefølje med n eiendeler:

Forventet avkastning (forventning):

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = \ sum _ {i} w_ {i} \ operatorname {E} (R_ {i}) \ quad}

Porteføljeavvik:

Porteføljeavviket er summen av produktene til vektene for hvert aktivapar ganger deres samvarians - denne summen inkluderer kvadratvekter og avvik (eller ) for hvert aktivum i. Kovarians uttrykkes ofte i sammenheng med avkastningen mellom to eiendeler der

w_ {i}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} \,}

{\ displaystyle \ sigma _ {ii} \,}

{\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2}}

{\ displaystyle \ rho _ {ij} \,}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij} \,}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ { ij} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij}}

Porteføljens volatilitet:

{\ displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ sigma _ {p} ^ {2}}}}

Spesielle tilfeller :

For en portefølje som består av to eiendeler:

Håp:

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + (1-w_ {A}) \ operatorname {E} (R_ {B}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + w_ {B} \ operatorname {E} (R_ {B})}

Forskjell:

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = w_ {A} ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + w_ {B} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2 } + 2w_ {A} w_ {B} \ sigma _ {AB}}

Når porteføljen består av tre eiendeler, blir avviket:

{\ displaystyle w_ {A} ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + w_ {B} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} + w_ {C} ^ {2} \ sigma _ {C} ^ {2} + 2w_ {A} w_ {B} \ sigma _ {AB} + 2w_ {A} w_ {C} \ sigma _ {AC} + 2w_ {B} w_ {C} \ sigma _ {BC}}

(Som vi kan se, jo mer antall n eiendeler vokser, jo mer beregningskraft er nødvendig: antall kovarianstermer er lik n * (n-1) / 2. Av denne grunn bruker vi generelt spesialiserte programvare, men du kan utvikle en modell ved hjelp av matriser eller i et regneark i et regneark.)

Diversifisering

En investor kan redusere risikoen for porteføljen sin ganske enkelt ved å holde eiendeler som ikke eller bare er litt positivt korrelert, derfor ved å diversifisere investeringene. Dette gjør det mulig å oppnå samme forventede avkastning og samtidig redusere volatiliteten i porteføljen.

Matematisk:

Fra formlene utviklet ovenfor forstås det at når korrelasjonskoeffisienten mellom to eiendeler er negativ, er avviket mindre enn den enkle vektede summen av de enkelte avvikene.

Den effektive grensen

Hvert mulig par eiendeler kan vises i en risiko / avkastningsgraf. For hver avkastning er det en portefølje som minimerer risikoen. Omvendt kan vi for hvert risikonivå finne en portefølje som maksimerer forventet avkastning. Settet med disse porteføljene kalles den effektive grensen eller Markowitz- grensen .

Denne grensen vokser ved bygging.

Regionen over grensen kan ikke nås ved å holde bare risikable eiendeler. En slik portefølje er umulig å konstruere. Poeng under grensen sies å være suboptimale, og vil ikke interessere en rasjonell investor.

Risikofri eiendel

Den risikofrie eiendelen er en ideell eiendel som tjener den risikofrie renten . Det er vanligvis knyttet til kortsiktige statsobligasjoner . Denne eiendelen har ingen avvik, så avkastningen er kjent på forhånd. Det er ikke korrelert med andre eiendeler. Derfor, forbundet med en annen eiendel, endrer den lineær forventet avkastning og avvik.

Porteføljen blir derfor:

Håp:

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = (1-w_ {A}) \ operatorname {E} (R_ {f}) + w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) = {E} (R_ {f}) + w_ {A} \ operatorname {[} {E} (R_ {A}) - {E} (R_ {f})]}

Eller igjen:

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = R_ {f} + w_ {A} \ operatorname {[} {E} (R_ {A}) - R_ {f}]}

Følgelig består forventet avkastning av den risikofrie eiendelen pluss en risikopremie. I praksis bør den innlemmes i S * og K * -matriser for å løse Lagrangian og dermed bestemme vektoren W *. Dette er hele gjenstanden for utviklingen av J. Tobin innskrevet i utvidelsen av arbeidet til H. Markowitz .

Markedsportefølje

Det er forstått av ovennevnte at den informerte investoren vil søke størst mulig diversifisering til den når denne grensen, kalt effektiv grense. I fravær av en risikofri eiendel, tar den form av en del av hyperbola (hhv. Parabola) når vi plasserer oss i en referanse (standardavvik, forventet avkastning) (hhv. (Variasjon, forventet avkastning)).

Innføringen av en risikofri eiendel endrer den effektive grensen: den blir da den rette linjen hvis avskjæringspunkt er den risikofrie raten og som er tangent til den effektive grensen som tidligere er bestemt av alle de risikable eiendelene. Tangenspunktet er markedsporteføljen: det er den eneste effektive porteføljen som utelukkende består av risikable eiendeler. Alle andre effektive porteføljer er lineære kombinasjoner av den risikofrie eiendelen og markedsporteføljen.

Høyre kapitalmarked ( kapitalmarkedslinje )

Valg av portefølje etter individ, etter investor, gjøres til høyre (RfM). Denne linjen er kapitalmarkedslinjen (CML ).

Det representerer forventet lønnsomhet på ordinat og risiko ved abscissa av alle verdipapirene som er tilstede på markedet. Hvis en tittel er over denne linjen, er den undervurdert. Dette betyr faktisk at det betaler mer enn det som forventes med en gitt risiko, og derfor investerer.

Krysset med ordinatlinjen representerer forventet avkastning i markedene for null risiko.

Eiendomsvurdering

Systematisk risiko og spesifikk risiko

Verdsettelsesmodell for finansielle eiendeler (CAPM)

Det antas at finansmarkedene er perfekte i henhold til konkurranseforutsetningene. Det er ingen avgifter, ingen inngangshindringer og ingen transaksjonskostnader. Informasjonen er tilgjengelig gratis for alle agenter. Agenter er pristakere, og de har alle en interesse i å kombinere to eiendeler.

I henhold til denne modellen er avkastningen som kreves for en eiendel en funksjon av dens systematiske risiko . Mer presist har vi:

{\ displaystyle E (R_ {active}) = R_ {F} + \ beta _ {active} \ cdot [E (R_ {M}) - R_ {F}]}

Når denne retur er oppnådd, blir verdien av eiendelen oppnådd ved diskontere dets strømmer med den nødvendige retur som hastigheten.

Høyre verdipapirmarked ( sikkerhetsmarkedslinje )

${\ displaystyle E (R_ {p}) = r + [E (R_ {M}) - r] \ cdot b_ {p} = r + q \ cdot b_ {p}}$
(for en enkelt tittel i: ) q: Premium risikoenhet r: ikke risikabelt Aktiv ${\ displaystyle E (R_ {i}) = r + [E (R_ {M}) - r] \ cdot b = r + q \ cdot b}$
${\ displaystyle b_ {p} = Cov (R_ {p}, R_ {M}) / s2 (R_ {M})}$
${\ displaystyle = r (R_ {p}, R_ {M}) s (R_ {p}) s (R_ {M}) / s2 (R_ {M})}$

${\ displaystyle E (R_ {p}) = r_ {f} + [E (R_ {M}) - r_ {f}] \ cdot b_ {p} = r_ {f} + q \ cdot b_ {p}}$

Merknader og referanser

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377221712006467
Philippe Herlin , økonomi: Det nye paradigmet: Forstå krisen med Mandelbrot, Taleb ... , Eyrolles ,2010, 208 s.
Eksempel hentet fra boken Black Swan av Nassim Nicholas Taleb

Se også

Relaterte artikler

Bibliografi

Benoît Mandelbrot . Fraktaler, sjanse og økonomi , Flammarion , 1959, 1997.
Benoît Mandelbrot . A Fractal Approach to Markets , Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, Odile Jacob editions , 2005.
Den svarte svanen. Kraften til den uforutsigbare Nassim Nicholas Taleb , Les Belles Lettres (2008). ( ISBN 978-2-251-44348-5 ) .
Nassim Nicholas Taleb (2005), Wild Chance: From Stock Markets to Our Lives: The Hidden Role of Luck, Les Belles Lettres. ( ISBN 2-251-44297-9 )
Harry Markowitz . (1952). Porteføljevalg, Journal of Finance , 7 (1), 77-91.
William Forsyth Sharpe (1964). Kapitalpriser: En teori om markedsvekt under risikoforhold, Journal of Finance , 19 (3), 425-442.
Lintner, J. (1965). Verdsettelse av risikovermidler og valg av risikable investeringer i aksjeporteføljer og kapitalbudsjetter, gjennomgang av økonomi og statistikk , 47
Tobin, James (1958). Likviditetspreferanse som atferd mot risiko, The Review of Economic Studies , 25, 65-86.
Modern Portfolio Theory , Florin Aftalion , Patrice Poncet, Que sais je?, ( ISBN 2130497683 )