Krulls teorem

I kommutativ algebra er Krulls teorem et grunnleggende resultat som etablerer eksistensen av maksimale idealer for kommutative ringer . Det ble demonstrert i 1929 av den tyske matematikeren Wolfgang Krull . I forhold til Zermelo-Fraenkel-teorien tilsvarer Krulls teorem det valgte aksiomet .

Stater

For ideelle egen jeg av en kommutativ ring unital A , det finnes minst en maksimal ideell for A inneholder jeg .

(Når A / I- kvotientringen er endelig, er denne eksistensen øyeblikkelig.)

En tilsvarende utsagn er at en hvilken som helst ikke- null enhetlig kommutative ring har minst ett maksimal ideell ( en fortiori minst ett prime ideell ).

Krull hadde demonstrert dette resultatet ved å bruke riktig ordenssetning , tilsvarende aksiomet du valgte . Mens Max Zorn ignorerer Krulls artikkel, gir han et nytt bevis publisert i 1935 ved bruk av det som nå kalles Zorns lemma , en annen ekvivalent av aksiomet du velger, i artikkelen der han introduserer sistnevnte og gir mange bruksområder til algebra.

Svare på et spørsmål stilt av Dana Scott , Wilfrid Hodges viste i 1978 at Krull teorem tilsvarer aksiom valg, i Zermelo-Fraenkel teori

Demonstrasjon

Vi betrakter settet med riktige idealer med A som inneholder I , utstyrt med inkluderingsforholdet; den inneholder Jeg er derfor ikke tom. Foreningen av enhver ikke-tom kjede av riktige idealer som inneholder I er tydeligvis et ideal som inneholder jeg , og dette idealet er fremdeles riktig siden det ikke inneholder 1. Settet som er vurdert er derfor induktivt, derfor er det ifølge Zorns lemma det har en maksimal element , som deretter blir et maksimalt ideell inneholdende I .

Konsekvenser

La A være en kommutativ ring som ikke reduseres til 0.

• Den spekteret av A ikke er tom.
• Det nilradikale av A er skjæringspunktet mellom hovedidealene til A  ; mer generelt er radikalen til ethvert ideal av A skjæringspunktet mellom de viktigste idealene som inneholder det.
• Krulls setning lar oss vise eksistensen av den algebraiske nedleggelsen av et kommutativt felt . Dette resultatet er imidlertid før Krulls teorem, det skyldes Ernst Steinitz i 1910 som demonstrerer det ved hjelp av Zermelos teorem . Det kan demonstreres direkte fra Zorns lemma .

Se også

• Krulls skjæringssetning (skjæringspunktet mellom kreftene til et ideal i en Noetherian-ring).
• Krulls viktigste idealsetning (høyden på et monogent ideal i en Noetherian-ring).

Merknader og referanser

1. (De) W. Krull, “  Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen  ”, i Mathematische Annalen , vol. 101, 1929, s. 729–744
2. Det er, forskjellig fra ringen.
3. (no) Henry E. Heatherly, “  Noen ringteoretiske ekvivalenter til valgaksiomet  ”, i LA / MS Math. Assoc. Bitter. Konf. Proc. , 2004
4. (i) Max Zorn , "  En bemerkning er metode i transfinitt algebra  " , Bull. Bitter. Matte. Soc. , vol.  41,1935, s.  667-670
5. (i) Wilfrid Hodges, "Krull Implies Zorn" i J. London Math. Soc. , flygning. s2-19, 2, 1978, s. 285-287, begrenset tilgang
6. (in) Serge Lang , Algebra [ detaljutgaver ], 1965, s.  62 .
7. (i) Michael Atiyah og Ian G. Macdonald , Introduksjon til kommutativ algebra , Addison-Wesley ,1969( les online ) , s.  5.
8. Atiyah og Macdonald 1969 , s.  9.
9. Se for eksempel Zorn 1935 .
10. I følge Zorn 1935 .
11. For eksempel (i) Nathan Jacobson , Lectures In Abstract Algebra , Vol. 3, Springer, 1964, 1975.