Theorem for konform applikasjon

I matematikk , og mer presist i kompleks analyse , sørger konform kontekstsetningen på grunn av Bernhard Riemann for at alle de enkelt tilkoblede åpne delene av det komplekse planet som verken er tomme eller like hele planet, er i samsvar med hverandre.

Historisk

Teoremet ble uttalt (under den sterkere hypotesen om en grense dannet av differensierbare buer) av Bernhard Riemann i sin avhandling i 1851. Denne første versjonen ble beskrevet av Lars Ahlfors som "endelig formulert i trassig termer. Strengt demonstrasjonsforsøk, til og med ved bruk av moderne metoder ”. Riemanns bevis var avhengig av Dirichlets prinsipp , som ble ansett som sant på den tiden. Men Karl Weierstrass oppdaget unntak fra dette prinsippet, og det var ikke før et verk av David Hilbert for en demonstrasjon som i stor grad det brukes på situasjoner studert av Riemann. Dirichlets prinsipp gjaldt imidlertid ikke bare relaterte domener med ikke tilstrekkelig glatt grense; slike områder ble studert i 1900 av W. F. Osgood.

Det første strenge beviset på setningen (generelt sett) ble utgitt av Constantine Carathéodory i 1912. Den brukte Riemann-overflater ; Paul Koebe oppdaget to år senere en forenklet versjon som kunne klare seg uten.

I 1922 ble nok en demonstrasjon publisert av Leopold Fejér og Frigyes Riesz ; kortere enn de forrige, tok det opp ideen om Riemann-beviset som gikk gjennom løsningen på et optimaliseringsproblem; Dette beviset ble senere ytterligere forenklet av Alexander Ostrowski og av Carathéodory, som spesifiserte resultatet i form av teoremet som bærer navnet hans , og ga betingelser der sammenheng kan utvides til grensene for domenene.

Setning av setningen

Flere likeverdige formuleringer av teoremet er mulig; det er generelt uttalt som følger:

Konformell kartleggingsteori - La et enkelt tilkoblet åpent, ikke-fritt for det komplekse planet , forskjellig fra flyet. Det er en holomorf sammenheng mellom og enhetsplaten $U$ $f$ $U$ ${\ displaystyle \ mathbb {D} = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | <1 \}.}$

Ved å bruke de karakteristiske egenskapene til holomorfe funksjoner (spesielt det faktum at, i C , avledet innebærer analytisk), kan vi ytterligere omformulere teoremet ved å si at det eksisterer en avledbar sammenheng (i C ) av ormer ; siden derivatet av en holomorf binding aldri er null, utleder vi at den gjensidige sammenheng også er holomorf. $f$ $f$ $U$ ${\ displaystyle \ mathbb {D}}$ $f ^ {- 1}$

Ettersom de holomorfe funksjonene "holder vinklene", tilsvarer dette, fra et geometrisk synspunkt, at det er en konform konjunktur mellom og . Sammensetningen av to holomorfe funksjoner som er holomorf, ser vi at det faktisk, mer generelt, eksisterer en konform sammenheng mellom to åpninger og tilfredsstiller de foregående hypotesene. $U$ ${\ displaystyle \ mathbb {D}}$ $U$ $V$

Henri Poincaré viste at kartet (mellom og ) i det vesentlige er unikt : hvis det tilhører og hvis φ er en vilkårlig vinkel, eksisterer det nøyaktig en holomorf sammenhenger slik at og argumentet til derivatet er φ. Dette resultatet følger av Schwarzs lemma . $f$ $U$ ${\ displaystyle \ mathbb {D}}$ $z_0$ $U$ $f$ ${\ displaystyle f (z_ {0}) = 0}$ $f '(z_ {0})$

Teknisk sett er den eneste konsekvens av enkelt forbindes plass av U benyttet i testen er at enhver holomorfe funksjon på U og null uten en kvadratrot holomorfe på U . Faktisk gir den konforme kartleggingssetningen en veldig effektiv karakterisering av enkelt tilkoblede deler av planet: for en åpen og tilkoblet del av planet A ,

En rett og slett koblet ⇔ er koblet sammen i Riemann-sfæren .

{\ displaystyle (\ mathbb {C} \ setminus A) \ cup \ {\ infty \}}

Et resultat i strid med intuisjonen

En mer intuitiv beskrivelse av resultatet er at hvis et åpent plan kan settes i kontinuerlig sammenheng med enhetsdisken, er det en annen sammenheng som er differensierbar (i kompleks forstand). Formulert slik, kan setningen virke ganske naturlig; følgende bemerkninger bør overbevise om at dette ikke er tilfelle.

Teoremet gjelder ikke hele planet, som imidlertid er topologisk (og til og med uendelig differensierbart) isomorft til enhetsdisken: problemet oppstår imidlertid ikke fra dets ubegrensede karakter, siden det åpne halvplanet kan settes i sammenheng med enhetsskiven ved det holomorfe kartet , som er en involusjon . ${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid \ Re (z)> 0 \}}$ ${\ displaystyle z \ mapsto f (z) = {\ frac {1 + z} {1-z}}}$
Konformale kart forvandler uendelige ruter til firkanter; Det virker derfor umulig, for eksempel å transformere en enhetsrute til et rektangel, siden en flislegging ferdig med firkanter må transformeres til en flislegging med samme antall elementer i begge retninger (og faktisk den konforme sammenhengen som er ikke lett å konstruere).
Selv bindinger som tilsvarer relativt enkle åpninger, slik som det indre av en firkant, kan ikke uttrykkes eksplisitt ved hjelp av elementære funksjoner.
De rett og slett relaterte åpningene til flyet kan ha ekstremt komplekse former. Dermed er inversjonsbildet (med sentrum 0) av komplementet til Mandelbrot-settet et så åpent; det virker umulig at dette settet ved den fraktale grensen kan forvandles til en vanlig plate (se merknadene i siste avsnitt om dette emnet).
Setningenes analogi for andre åpne plan, til og med veldig enkle, er falsk: Det er altså ingen konforme kart mellom to ringer av forskjellige proporsjoner, som { z | 1 <| z | <2} og { z | 1 <| z | <4}; se om dette emnet Tsujis teorem , og klassifiser alle dobbeltkoblede åpninger.
Det er ingen teorem engang vagt analogt i dimensjon 3 eller høyere; faktisk er de eneste konforme transformasjonene i dimensjon 3 i hovedsak Möbius-transformasjonene .
I den høyere dimensjonen blir til og med resultater som er intuitivt mye mer naturlige, falske; og det er varianter kontraktile tredimensjonale ikke- homeomorfe til ℝ 3 ; dette er tilfellet med sorten Whitehead .

Demonstrasjonsskisser

Historien vil ha vist at det er vanskelig å gi strenge demonstrasjoner; hvis grensen til det åpne er tilstrekkelig regelmessig, er det relativt enkelt å gi en fullstendig demonstrasjon; men som med Jordans teorem , er denne saken mye lettere å håndtere enn den generelle saken. En generell demonstrasjon kan imidlertid skisseres takket være normale familier (på grunn av Paul Montel ).

Eksplisitt bestemmelse av konforme bindinger

I noen tilfeller er det mulig å eksplisitt oppnå de sammenhenger hvis eksistens blir bekreftet av teoremet, enten i form av geometriske transformasjoner (således er den stereografiske projeksjonen konform; sammensetningen av slike projeksjoner er en Möbius-transformasjon ), eller ved hjelp av metoder knyttet til teorien om potensial . Her er en liste over tilfeller som vi vet hvordan vi skal behandle:

Konsekvenser og generaliseringer

Vi har allerede påpekt at teoremet faktisk innebærer at to åpninger av planet, rett og slett sammenkoblet, ikke tomme og skiller seg ut fra hele planet, kan settes i konform sammenheng; den stereografiske projeksjonen er en konform applikasjon, og den er den samme for ganske enkelt sammenkoblede åpninger i sfæren som ikke inneholder minst to punkter av sistnevnte. Mer generelt trekker vi frem Riemann-uniformiseringssetningen : Enhver enkelt tilkoblet Riemann-overflate samsvarer med en av de tre referanseflatene som er enhetsskiven, det komplekse planet og Riemann-sfæren . Spesielt er enhver kompakt, enkelt tilkoblet Riemann-overflate i samsvar med Riemann-sfæren.

Teorien om dynamiske systemer har mye brukt disse resultatene til å studere Julia-settene knyttet til et polynom, så vel som Mandelbrot-settet : det er virkelig mulig i dette tilfellet å konstruere eksplisitt de konforme transformasjoner hvis eksistens er garantert av teoremet; det er slik vi for eksempel beviser at Mandelbrot-settet er koblet sammen. Bildet av disse transformasjonene av punkter av grensen til sett (som derfor er punkter i enhetssirkelen) spiller en viktig rolle i teorien; se denne artikkelen om eksterne argumenter (in) for mer informasjon. Disse konstruksjonene er dessuten nær Riemanns ideer, og kommer i det vesentlige under teorien om potensial .

Teoremets generaliseringer er av to slag: For det første har vi analoge resultater når det gjelder åpninger som ikke bare er forbundet med planet (men vi har sett at det lille antallet konforme transformasjoner i høyere dimensjon på den annen side forbyr noen håp om generalisering til denne saken); den enkleste av disse resultatene er Tsujis teorem , som karakteriserer konforme kart mellom åpne topologisk isomorfe til en plate som er fratatt sentrum (de "dobbeltkoblede" åpningene), og viser at en slik åpen alltid samsvarer med en sirkulær krone. På den annen side har problemet med å utvide en slik applikasjon i samsvar med den lukkede drivenheten vist seg å være formidabel; Vi har for eksempel setningen til Carathéodory , som viser at en slik kontinuerlig forlengelse eksisterer hvis U- grensen er en Jordan-kurve .

Merknader

Dette er bekreftelsen på at det eksisterer en funksjon som minimerer en viss integral; navnet på dette prinsippet ble skapt av Riemann selv ved denne anledningen.
Tilstanden enkel tilkobling er strengt nødvendig, for topologiske grunner; det eksisterer heller ikke en holomorf sammenheng mellom og helhet, men dette resulterer derimot fra prinsippet om maksimum for holomorfe funksjoner. ${\ displaystyle \ mathbb {D}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$
Mer presist, gjelder dette på noe punkt hvor den deriverte av er ikke lik null, noe som er tilfelle her, ettersom er bijektiv; for detaljer, se Konform transformasjon . $f$ $f$
Denne bemerkningen og dette eksemplet er gitt av Walter Rudin ( Real og kompleks analyse , kap. 14, s. 281 og 283).
Man finner for eksempel på nettstedet til PlanetMath denne demonstrasjonen (in) , som appellerer til allerede avansert kunnskap om de harmoniske funksjonene ... og antar sant prinsippet om Dirichlet .
Walter Rudin , Real and Complex Analysis , kap . 14, s. 283-284 .
Adrien Douady og John H. Hubbard , Dynamic studiet av komplekse polynomer .

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen “ Riemann mapping theorem ” ( se forfatterlisten ) .
(en) John B. Conway (en) , Funksjoner til en kompleks variabel , Springer-Verlag, 1978 ( ISBN 0-387-90328-3 )
(no) John B. Conway, Funksjoner til en kompleks variabel II , Springer-Verlag, 1995 ( ISBN 0-387-94460-5 )
(en) Reinhold Remmert , Klassiske emner i kompleks funksjonsteori , Springer-Verlag, 1998 ( ISBN 0-387-98221-3 )
(de) Bernhard Riemann , Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse , Göttingen, 1851