Bestill topologi
I matematikk er ordens topologi en naturlig topologi definert på ethvert ordnet sett ( E , ≤), og som avhenger av forholdet mellom orden ≤.
Når vi definerer den vanlige topologien til tallinjen ℝ , er to like tilnærminger mulige. Vi kan stole på ordensrelasjonen i ℝ, eller på den absolutte verdien av avstanden mellom to tall. Båndene nedenfor lar deg bytte fra den ene til den andre:
![{\ displaystyle [xr, x + r] = \ {t \ in \ mathbb {R} \ mid xr \ leq t \ leq x + r \} = \ {t \ in \ mathbb {R} \ mid | xt | \ leq r \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc79df908a40f1ba62d37e9ca21fc2b769075988)
Den absolutte verdien generaliserer til begrepet avstand, som induserer begrepet topologi i et metrisk rom . Vi er interessert her i den andre tilnærmingen.
Bestill topologi
La ( E , ≤) være et ordnet sett.
La oss kalle et åpent intervall (i betydningen rekkefølge) av E et intervall for formen] x, y [for to av elementene x og y for E , eller for formen] x , + ∞ [eller] –∞ , x [for ethvert element x av E , eller igjen] –∞ , + ∞ [, hvor disse fire notasjonene betegner, per definisjon:
![{\ displaystyle] x, y [= \ {t \ i E \ mid x <t <y \}, \ quad] x, + \ infty [= \ {t \ in E \ mid x <t \}, \ quad] - \ infty, x [= \ {t \ i E \ mid t <x \}, \ quad] - \ infty, + \ infty [= E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8320596adbe4760223cca02d77d08d0bf00c1509)
( + ∞ og –∞ er derfor en del av notasjonene, og betegner ikke noe element i E ).
Man kaller deretter ordens topologi for topologien som genereres av de åpne intervallene, det vil si det minste fine topologi som de åpne intervallene er åpne for . Det innrømmer åpne intervaller som en forutsetning og jevn, på grunn av at] x, y [=] x , + ∞ [∩] –∞ , y [, åpne intervaller som innrømmer en "uendelig bånd".
Hvis rekkefølgen på E er delvis , kan denne topologien brukes til å konstruere moteksempler.
Når ( E , ≤) er fullstendig ordnet , er skjæringspunktet mellom to åpne intervaller alltid et åpent intervall. Derfor danner de åpne intervallene et grunnlag for topologien ; kort sagt: en del av E er åpen hvis og bare hvis det er en forening av åpne intervaller. Denne topologien er da separat og til og med helt normal .
Rett topologi
La ( E , ≤) være et ordnet sett.
La oss begynne med å merke det
Intervallene til skjemaet [ x , + ∞ [danner derfor et grunnlag for en topologi på E , noen ganger kalt høyreordens topologi eller høyre topologi . Åpningene er avslutningsdelene av ordren.
Dette er spesielt tilfelle av Alexandroff topologi forbundet med en preorder , når denne forhåndsbestillinger er en ordre, med andre ord når de tilhørende topologi tilfredsstiller den egenskapen T 0 (den svakeste av de separasjonsegenskaper ).
Streng høyre topologi
Når ( E , ≤) et totalt ordnet sett, kan vi definere en variant av ovenstående topologi.
Rekkefølgen er total, intervallene på skjemaet] x , + ∞ [(som vi må legge til E hvis E innrømmer et mindre element) danner grunnlag for en topologi.
En funksjon f med verdier i ℝ er lavere semikontinuerlig hvis og bare hvis, når ℝ har denne topologien, f er kontinuerlig.
Eksempler
- Topologien til den vanlige rekkefølgen på ℝ er den vanlige topologien.
- Topologien til rekkefølgen på ℝ = {–∞} ∪ℝ∪ {+ ∞} ( isomorf til [–1, 1] utstyrt med vanlig rekkefølge) er topologien til den fullførte reelle linjen ( homeomorf til [–1, 1 ] med vanlig topologi).
- Topologien til den vanlige rekkefølgen på ℕ er den diskrete topologien (det er også den vanlige topologien).
- Topologien til rekkefølgen på ℕ∪ {+ ∞} ⊂ ℝ er Alexandrov komprimert [0, ω] av [0, ω [ = ℕ utstyrt med den diskrete topologien.
- For den delvise rekkefølgen av delbarhet på ℕ *, er topologien til ordenen den diskrete topologien.
Eiendommer
La ( E , ≤) være et ordnet sett utstyrt med ordens topologi.
- Hvis F er en delmengde av det bestilte settet E , gir rekkefølgen indusert på F en topologi. Denne induserte ordentopologien er mindre fin enn den induserte topologien (av ordentopologien på E ), noen ganger strengt: i delsettet av reelle tall Y = {–1} ∪ {1 / n | n ∈ℕ *}, singleton {–1} er åpen for den induserte topologien, men ikke for den induserte ordenstopologien, siden for sistnevnte konvergerer sekvensen på 1 / n til –1.
Når bestillingen på E er total:
- E er kompakt hvis og bare hvis det er et komplett gitter , dvs. hvis noen del av E innrømmer en øvre grense (eller hva som er ekvivalent, hvis noen del av E innrømmer en nedre grense).
- E er forbundet hvis og bare hvis den er tett og tilfredsstiller egenskapen til den øvre grensen .
Spesielt :
- For enhver ordinal α er segmentet av ordinaler [0, α] kompakt. Ved å betegne Ω den minste utallige ordinalen , er intervallet for ordinalene [0, Ω [ sekvensielt kompakt, men ikke kompakt.
- Et helt ordnet felt er koblet sammen hvis og bare hvis det tilfredsstiller øvre grense.
Merknader og referanser
- Laurent Schwartz , Analyse I: Settteori og topologi , 1991, Hermann , s. 140-141 .
- (in) Niel Shell , Topologiske felt og nær verdivurderinger , CRC Press ,1990, 248 s. ( ISBN 978-0-8247-8412-6 , leses online ) , s. 179-180.
- Se artikkelen Monotont normalt rom .
- N. Bourbaki , Elements of matematikk, bok III: Generell topologien [ detalj av utgavene ], kap. Jeg, s. 89, eks. 2.
- Claude Berge , Topologiske rom: Multivokale funksjoner , vol. 3, Dunod ,1966, 2 nd ed. , s. 80.
- I dette eksemplet, når symbolene –∞ og + ∞ tradisjonelt er reservert for å betegne det minste og største elementet i ℝ , skal vi ikke lenger betegne] x , + ∞ [og] –∞ , x [de åpne intervallene som utgjør forhåndsbase, men] x , + ∞ ] og [ –∞ , x [.
- (i) Lynn Arthur Steen og J. Arthur Seebach, Jr. , moteksempler i topologi , Dover ,1995, 244 s. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , leses online ) , s. 67
- Se artikkelen Lineær kontinuum (en)
- Ethvert totalt ordnet felt har nullkarakteristikk (fordi 0 <1 <1 + 1 <1 + 1 + 1 <...) derfor er tett (fordi x <(x + y) / 2 <y hvis x <y).