Komprimert av Alexandrov

I matematikk , og mer presist i generell topologi , er den komprimerte av Alexandrov (noen ganger skrevet komprimert av Alexandroff ) et objekt introdusert av matematikeren Pavel Aleksandrov . Dens konstruksjon, kalt komprimering Alexandrov , generaliserer Riemann-sfæren for lokalt kompakte rom overhodet som den legger til et " punkt ved uendelig ".

Definisjon

La være et lokalt kompakt topologisk rom . Vi kan, ved å legge til et poeng til , oppnå en kompakt plass . For dette vurderer vi hvor , og vi definerer en topologi som følger. $X$ $X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}$ $\ omega \ ikke \ i X$

Åpningssettet består av: ${\ tilde X}$

den begynner fra ; $X$
delmengder av skjemaet , hvor er komplementet i en kompakt av . ${\ displaystyle \ {\ omega \} \ cup K ^ {c}}$ ${\ displaystyle K ^ {c}}$ $X$ $K$ $X$

Det kontrolleres at vi dermed definerer en topologi på , og at den innledende topologien på er identisk med topologien indusert av denne topologien på . ${\ tilde X}$ $X$ $X$ ${\ tilde X}$

Endelig er det bekreftet at utstyrt med denne topologien er et kompakt rom. ${\ tilde X}$

Rommet kalles da Alexandrov komprimert av lokalt kompakt rom ; kalles punktet på uendelig av , og er også registrert . ${\ tilde X}$ $X$ $\ omega$ ${\ tilde X}$ $\ infty$

Denne oppfatningen er bare av interesse hvis startområdet ikke er kompakt. Å bruke Alexandrov-komprimeringsprosessen til et kompakt rom tilfører faktisk bare et isolert punkt (for er da et åpent av ). $\ {\ omega \}$ ${\ tilde X}$

Hvis og er to lokalt kompakte mellomrom, strekker en kontinuerlig applikasjon seg til en kontinuerlig applikasjon mellom komprimerte av Alexandrov hvis og bare hvis den er ren . $X$ $Y$ $f: X \ til Y$

Merk at denne konstruksjonen også gjelder hvis det antas å være kvasikompakt ; vi får da et kvasi-kompakt rom, og vi har følgende egenskap: er separat (derfor kompakt) hvis og bare hvis det er lokalt kompakt. $X$ ${\ tilde X}$ ${\ tilde X}$ $X$

Unikt

Det er lett vist at med utgangspunkt i et lokalt kompakt topologisk rom og fra et gitt punkt er Alexandrov-komprimert konstruert som ovenfor på den eneste mulige topologien på en slik måte at: $X$ $\ omega \ ikke \ i X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}$ ${\ tilde X}$

${\ tilde X}$ er kompakt;
topologien indusert på er identisk med starttopologien. $X$

Eksempler

Alexandrov komprimert av is n er homomorf til n -sfæren , spesielt gjennom stereografisk projeksjon fra en av polene i n- sfæren, projeksjon fullført av . Dermed er Alexandrov-komprimert av ℝ homomorf til en sirkel, den for ℝ 2 (eller ℂ) til en sfære, ofte kalt Riemann-sfæren . Punktet som legges til rommet kan forestilles som et punkt "ved uendelig": ved uendelig "lukkes" den virkelige linjen i en sirkel. $P$ $P \ mapsto \ omega$
Enhver ordinal α = [0, α [kan være utstyrt med ordens topologi . Hvis α er en grenseordinær , komprimeres Alexandrov av [0, α [er α + 1 = [0, α] (hvis tvert imot α har en forgjenger β, så er [0, α [ den kompakte [0, β + 1 [= [0, β]).
Et romfort (en) er Alexandroff-utvidelsen av en diskret uendelig plass .

Referanser

(in) John L. Kelley , General Topology , Van Nostrand,1955( les online ) , s. 150.

Ekstern lenke

Alexandrov komprimerte på les-mathematiques.net-siden