Diskret topologi

I matematikk , nærmere bestemt i topologi , er diskret topologi på et sett en struktur av topologisk rom der intuitivt alle punktene er "  isolert  " fra hverandre.

Definisjoner

La X være et sett. Det sett av deler av X definerer en topologi på X kalt en diskret topologi. X utstyrt med denne topologien kalles da et diskret rom .

Vi sier at en del A av et topologisk rom X er et diskret sett når topologien indusert på A er den diskrete topologien.

Eiendommer

Den diskrete topologien er topologien som har så mange åpninger som det er mulig å definere på et sett X , med andre ord den finest mulige topologien . Slik sett er det motsatt av grov topologi .

Blant de andre egenskapene til et diskret topologisk rom X  :

• Enhver undergruppe av X er en åpen-lukket  ;
• En anvendelse av X i et hvilket som helst topologisk rom er alltid kontinuerlig  ;
• X er fullstendig metrisk , for eksempel av den diskrete avstanden , dvs. avstanden d definert av: d ( x, y ) = 1 hvis x ≠ y , og d ( x, x ) = 0;
• Følgelig tilfredsstiller X alle aksiomene for separasjon . Spesielt X er separert  ;
• Hvis X er forhåndskompakt for en av avstandene som induserer topologien (spesielt hvis X er kompakt ), er den endelig  ;
• Singletons av X danner et grunnlag for topologien;
• Hvert punkt i X innrømmer et grunnleggende system med tellbare nabolag (og til og med: endelig), så X er "med uttellbare baser av nabolag"; X har et tellbart grunnlag for åpninger hvis og bare hvis det er tellbart;
• X er helt diskontinuerlig  ;
• Hvis X ikke er tom, er det “andre kategori”, dvs. ikke magert i seg selv;
• Et ferdig produkt av diskrete rom er diskret.

Følgende egenskaper karakteriserer diskrete mellomrom og diskrete begrensede mellomrom:

• Et topologisk rom X er diskret hvis og bare hvis alle singletonene er åpne;
• Et endelig topologisk rom X er diskret hvis og bare hvis det er separat , i så fall er det til og med kompakt.

Endelig :

• To diskrete ekvipotente topologiske mellomrom er homeomorfe .

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Discrete space  " ( se listen over forfattere ) .