Universet (logikk)
I matematikk , og spesielt i mengdeori og i matematisk logikk , er et univers et sett (eller noen ganger en ordentlig klasse ) som har alle elementene som man ønsker å vurdere i en gitt kontekst.
Elementær teori om sett og sannsynligheter
I mange elementære bruksområder av mengdeori plasserer vi oss faktisk i et generelt sett U (noen ganger kalt referanseuniverset ), og de eneste settene som er vurdert er elementene og delmengdene til U ; det er dette synspunktet som førte til at Cantor utviklet sin teori med utgangspunkt i U = R , settet med reelle tall. Dette muliggjør forenklinger (for eksempel kan begrepet komplement av et sett gjøres "absolutt", ved å definere som standard komplementet til A som settet til x av U som ikke tilhører A ; på samme måte noe siden foreningen av en tom sett med familie er det tomme settet, vi kan definere skjæringspunktet mellom en tom familie og være U helhet), og egner seg godt til alle vanlige matematikeraktiviteter: studiet av topologien til R kan for eksempel ikke gjøres i U = R , men det er nok til å oppnå en endring av univers, ta U i dette tilfellet alle deler av R . Dette synspunktet ble systematisert av N. Bourbaki i sin beskrivelse av matematiske strukturer .
Det er også dette synspunktet som er vedtatt i de fleste grunnleggende modeller for sannsynlighetsteori : vi er interessert i et sett (kalt et univers ) som et mål er definert på , og i alle dets undergrupper (målbare), kalt hendelser.
Axiomatic mengde teori og modell teori
Fra et aksiomatisk synspunkt er det mulig å snakke om et "univers" i to forskjellige sanser:
- på den ene siden kan vi vurdere (riktig) klasse av alle sett, eller en begrensning av sistnevnte til sett som anses som interessante. Det er således for eksempel som er konstruert universet av von Neumann V av settene med den kumulative hierarkiet , eller universet L av constructible settene , definert av Gödel .
- På den annen side kan vi begrense denne konstruksjonen til et "stort nok" sett. For eksempel, hvis α er en tilstrekkelig stor ordinal , vil settet oppnådd i von Neumann-konstruksjonen i praksis inneholde alle objektene som den "vanlige" matematikeren kan trenge. I denne forstand snakker vi ofte i teorien om modeller av et univers U for å betegne et sett som er en modell for teorien som vurderes (ofte ZFC ), det vil si for eksempel dens elementer (og forholdet mellom medlemskap mellom dem) verifisere alle aksiomene i teorien. Siden Gödel vet vi imidlertid at eksistensen av en slik modell ikke kan demonstreres i ZFC. Den forrige konstruksjonen krever derfor for eksempel å ta for α en ordinær så stor at dens eksistens ikke kan bevises i ZFC. En slik ordinær sies å være utilgjengelig .
Kategoriteori
Uten å nødvendigvis ønske å gå inn på alle de tidligere tekniske detaljene, må noen disipliner, som kategoriteori , kunne vurdere helheten klassen til alle objektene de studerer. Grothendieck foreslo å legge til ZFC et nytt aksiom, aksiomet til universene , som postulerer at hvert sett tilhører et Grothendieck-univers , det vil si et stabilt sett for de vanlige operasjonene definert av aksiomene til ZFC, unionen og alle deler. Dette aksiomet (som er nært knyttet til forestillingen om utilgjengelig kardinalitet ) gjør det i praksis mulig å konstruere små kategorier (kategorier hvis elementer, objekter og piler, skjemasett) inneholder alle objektene man kan trenge: hvis U er et Grothendieck-univers, kategorien av elementgrupper av U er en liten kategori, med i hovedsak de samme egenskapene som kategorien for alle grupper, som er sin egen klasse.
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen “ Universe (matematikk) ” ( se forfatterlisten ) .- N. Bourbaki, Elements of mathematics , Book I, ch. 4, Springer Structures (2006); dens definisjon får oss til å ta et sammenslutning av sett oppnådd av et kartesisk produkt og et sett av deler av allerede konstruerte sett som et univers . Se Strukturell induksjon for mer informasjon.
- Delahaye , Pour la Science , nr . 397, november 2010 [ les online ] .
- Dette er en konsekvens av den andre ufullstendighetsteoremet , men et enkelt (om enn metamatematisk) argument viser at det antas konsistensen av teorien at det er slike modeller, og at det til og med er alle kardinaliteter, inkludert tellbare: dette er Löwenheim- Skolemsetning .
- Dette er også tilfelle med klassen av surrealistiske tall , men i praksis brukere av surrealistiske tall sjelden benytter seg av denne muligheten, fordi de vanligvis bare arbeide innenfor restriksjoner på “laget” surrealistiske tall. Før en fast ordens stor nok; se John H. Conway , Om tall og spill , s. 49 .