Eksentrisitetsvektor

Den eksentrisitet vektoren er en mengde som innføres i himmel mekanikken i tilfelle av Keplerian bevegelse , det vil si av den relative bevegelse mellom to stjerner i newtonsk vekselvirkning , idet det globale system betraktes som isoleres. I dette tilfellet, de baner av individuelle stjernene er i referansen tyngdepunkt , de ellipser av eksentrisitet e . Vektoreksentrisiteten som vanligvis er notert , er vektoren av standard , kollinær til linjen av apses og vender mot $\ vec {e}$ ${\ displaystyle \ lVert {\ vec {e}} \ rVert = e}$ periapsis (eller periapsis).

Fysisk er denne vektoren, som er en dimensjonsløs størrelse, direkte relatert til Runge-Lenz-vektoren , som er en spesifikk første integral av to-kroppsproblemet i tilfelle av en interaksjonskraft i (som kommer fra en potensiell Newtonian ). Bruken av begrepet eksentrisitetsvektor er mer spesifikk for himmelmekanikken , den av Runge-Lenz-vektoren er mer generell. $1 / r ^ 2$

Uttrykk av eksentrisitetsvektoren

Påminnelse om egenskapene til to-kropps bevegelse

I den generelle studien av problemet med to legemer , med massene m 1 og m 2 , er det mulig å vise:

at på grunn av bevaringen av det globale systemets momentum , er det skille mellom bevegelsen (rettlinjet og uniform) av treghetssenteret til det globale systemet til de to kroppene, av total masse M med hensyn til en gitt galilensk ramme av referanse, og den til en fiktiv massepartikkel (sies å være redusert ) , i den barsentriske referanserammen, utsatt for interaksjonskraften mellom de to kroppene. De "virkelige" banene til sistnevnte trekkes fra den fiktive partikkelen med homøthet (jf. Problem med to kropper ). ${\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$
At på grunn av den sentrale karakteren til den kraften den er utsatt for, er det bevaring av vinkelmomentet til den fiktive partikkelen, noe som innebærer at dens bane er plan. Det er da mulig å bruke de sylindro-polære koordinatene til å beskrive bevegelsen til den fiktive partikkelen, som vinkelmomentet er skrevet for . ${\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ wedge (\ mu {\ dot {\ vec {r}}}}$ ${\ displaystyle ((r, \ theta)}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {z}}$

Demonstrasjon av eksentrisitetsvektoren

I det veldig viktige tilfellet i astronomi der interaksjonskraften er i , blir ligningen på bevegelsen til den fiktive partikkelen satt i form: $1 / r ^ 2$

{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {GM \ mu} {r ^ {2}}} {\ vec {e}} _ {r}}

Derfor tar vi hensyn til det: ${\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ overrightarrow {cte}}}$

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} \ wedge {\ vec {L}} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ dot {\ vec {r}}} \ wedge {\ vec {L}} \ right) = - {\ frac {GM} {r ^ {2}}} {\ vec {e}} _ {r} \ wedge {\ vec {L}} = - {\ frac {GM \ mu} {r ^ {2}}} {\ dot {\ theta}} r ^ {2} {\ vec {e}} _ {r} \ wedge {\ vec {e}} _ {z } = GM \ mu {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

Men siden kommer det umiddelbart ved omlegging: ${\ displaystyle {\ dot {{\ vec {e}} _ {r}}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {{\ dot {\ vec {r}}} \ wedge {\ vec {L}}} {GM \ mu}} - {\ vec {e}} _ {r} \ right) = {\ vec {0}}}

Følgelig er den dimensjonsløse vektormengden, kalt eksentrisitetsvektoren , en primær integral av tokroppsbevegelsen i det eneste tilfellet av et newtonsk potensial:

\ vec {e} = \ frac {\ dot {\ vec {r}} \ wedge \ vec {L}} {GM \ mu} - \ vec {e} _r

Det er da mulig å ta som opprinnelsen til den polare vinkelen θ retning av , og å vise ved å sette det der . Følgelig er ligningen til banen til den fiktive partikkelen den til en konis med eksentrisitet e (derav navnet på vektoren ) og parameteren p , lik den minste tilnærmingsavstanden til kraftsenteret som opptar en av fokusene til dette konisk. $\ vec {e}$ $e = \ | \ vec {e} \ |$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {e}} = re \ cos {\ theta} = pr}$ ${\ displaystyle p = {\ frac {L ^ {2}} {GM \ mu ^ {2}}}}$ $\ vec {e}$

Forhold til Runge-Lenz-vektoren

Eksentrisitetsvektoren er veldig nær sin definisjon til den såkalte Runge-Lenz-vektoren definert av:

{\ displaystyle {\ vec {A}} = {\ vec {p}} \ wedge {\ vec {L}} - k \ mu {\ vec {e}} _ {r}}

, hvor er fremdriften til den fiktive partikkelen, konvensjonelt introdusert i studien av to-kroppsproblemet i det spesielle tilfellet av formens newtonske potensiale , med for gravitasjonsinteraksjonen.

{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ mu {\ dot {\ vec {r}}}}

{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {k} {r}}}

{\ displaystyle k = GM}

Det er lett å se at bruken av eksentrisitetsvektoren er ganske spesifikk for astronomi, mens den for Runge-Lenz-vektoren er den for generell mekanikk. ${\ displaystyle {\ vec {A}} = k \ mu {\ vec {e}} = GM \ mu {\ vec {e}}}$

Det skal bemerkes at eksistensen av denne ekstra første integralen som er spesifikk for tilfellet med Newtonian potensial, har den konsekvensen at den koblede bevegelsen, dvs. elliptisk, foregår i henhold til en lukket bane. I den generelle studien av to-kroppsproblemet er dette falskt for ethvert sentralt potensial , og faktisk gjør Bertrands teorem det mulig å fastslå at bare tilfellene av det newtonske potensialet og det harmoniske potensialet ( gir opphav til lukkede baner. $V (r)$ ${\ displaystyle V (r) = \ alpha r ^ {2}}$

I henhold til Noethers teorem er enhver kontinuerlig symmetri av systemet assosiert med en primær integral av bevegelse. Dermed er bevaring av systemets globale momentum assosiert med invariansen ved romlig oversettelse av Lagrangian av systemet, det av vinkelmomentet med dets invarians ved rotasjon, og det av energi med dets invarians ved oversettelse i tid. Eksistensen av en ekstra hovedintegral av bevegelsen i det Newtonske tilfellet er i seg selv refleksjonen av en ekstra symmetri, som bare kan tolkes riktig i fire dimensjoner.

Merknader og referanser

Merknader

Spesifikt er interaksjoner med andre himmellegemer ansett som ubetydelige. Vanligvis er situasjonen som er vurdert som en "stor" stjerne ( sol , jord , mer generelt en stjerne , planet osv.) Som samhandler med en "liten" stjerne (en planet, en satellitt osv.) Hvis bevegelse vi søker å bestemme i forhold til den første.
Generelt sett er dette kjegler , ellipser, parabel eller hyperbol, bare tilfellet med endelig bevegelse blir vurdert.
Denne referanserammen, som per definisjon er den som er knyttet til massesenteret og i translasjonsbevegelse med hensyn til den galileiske referanserammen for studien, er også galilensk på grunn av den rettlinjede og ensartede bevegelsen til det globale systemet, jfr. Prinsipp for treghet .
Fysisk, denne loven av makt er gyldig for organer ment å være poenget , eller med sfærisk symmetri. Det er strengt tatt en tilnærming, fordi stjernene ikke akkurat er sfærisk symmetriske. Dermed er jorden snarere en ellipsoid av flattrevolusjon i størrelsesorden 1/298 th , hvis potensial ikke er strengt sfærisk (jf. Gravitasjonsfelt ). For en asteroide, vanligvis ikke-sfærisk i form, kan kortreist potensialet være sterkt ikke-newtonsk.
Det skal presiseres at for en hvilken som helst sentral potensiell er det alltid mulighet for en sirkulær bane, hvis den mekaniske energi til systemet, som også er konservert, er null.

Referanser

Se Luc Duriez, klassisk himmelmekanikk-kurs , Universitetet Lille-I / IMCCE, 2002 tilgjengelig på internett.
Se for eksempel Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. og John L. Safko, Classical Mechanics [ detalj av utgaver ] om dette emnet.
Jf. Spesielt Lev Landau og Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 1: Mekanikk [ detalj av utgaver ] på dette punktet.

Bibliografi

Generelle arbeider:
- Perez, fysikk kurs: mekaniske - 4 th edition, Masson, Paris, 2001.
- Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. og John L. Safko, Classical Mechanics [ detalj av utgaver ].
- Lev Landau og Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 1: Mekanikk [ detalj av utgaver ].

Spesifikke bøker for astronomi:
- Dumoulin og Parisot, praktisk astronomi og informatikk , Masson, Paris, 1987.
- Luc Duriez, kurs i klassisk himmelmekanikk , University Lille-I / IMCCE, 2002, veldig komplett, tilgjengelig på følgende adresse i pdf: http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/ CoursMCecr_Duriez. pdf .

Se også

Relaterte artikler

Ekstern lenke

Demonstrasjon av Keplers lover og egenskaper ved en ellips , mekanikk-kurs av Bernard Gisin (personlig nettside)