Isotropisk vektor

I matematikk er en isotrop vektor for en bilinær form f, en vektor x slik at f ( x , x ) = 0.

Definisjoner

Vi sier at en vektor x av E er isotrop (for f , eller for den tilhørende kvadratiske formen ) hvis f ( x , x ) = 0.

Settet med isotrope vektorer kalles isotropisk kjegle . Den inneholder kjernen til f .

Den bilineære formen sies å være definert - og den kvadratiske formen sies å være anisotrop - hvis 0 er den eneste isotrope vektoren.

Når E er et reelt vektorrom, hvis f (symmetrisk) er definert, er f eller - f positivt bestemt , dvs. det er et punktprodukt .Faktisk, hvis verken - f eller f er positive, eksisterer det to vektorer x og y slik at f ( x , x ) = 1 og f ( y , y ) = –1, vi kan sette z = ax + y og vi ser det er andre graders diskriminerende polynom ; det er derfor en virkelig slik at . På den annen side er z ikke null fordi x og y er lineært uavhengige . Så f er udefinert. ${\ displaystyle f (z, z) = a ^ {2} + 2af (x, y) -1}$ ${\ displaystyle 4 (f (x, y) ^ {2} +1)> 0}$ $på$ ${\ displaystyle f (z, z) = 0}$
Når E er et komplekst vektorrom med dimensjon større enn eller lik 2, blir f aldri definert.Ovennevnte resonnement krever bare mindre tilpasninger.

Mer presist: symmetrisk eller antisymmetrisk bilineær . Guy Auliac, Jean Delcourt og Rémi Goblot, Algebra og geometri (Lisens objektiv, 3 rd år) , Ediscience ,2005( les online ) , s. 153.
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Alt-i-ett-matematikk for lisens 2 , Dunod , koll. "Sup Sciences",2014( les online ) , s. 115.
Dany-Jack Mercier, geometrikkurs: forberedelse til kapper og aggregering , Publibook ,2005( les online ) , s. 115.
Auliac, Delcourt og Goblot 2005 , s. 155.
Jacek Bochnak, Michel Coste og Marie-Francoise Roy (en) , ekte algebraisk geometri , Springer ,1987( les online ) , s. 99.