Polarligning
Flyet er utstyrt med et ortonormalt koordinatsystem . Hvis er en numerisk funksjon, kan vi vurdere settet med punkter M som et system med polare koordinater tilfredsstiller ligningen:
(O,Jeg→,j→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}f{\ displaystyle f} (ρ,θ){\ displaystyle (\ rho, \ theta)}
ρ=f(θ){\ displaystyle \ rho = f (\ theta)}.
Vi sier at den aktuelle kurven har polær ligning :
ρ=f(θ){\ displaystyle \ rho = f (\ theta)}.
Hvis , vil man da plassere punktet M ved opprinnelsen til referansemerket, men i en hvilken som helst teori kan man ikke lenger definere vinkelen .
ρ=0{\ displaystyle \ rho = 0}(Jeg→,OM→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {OM}})}
Hvis en kurve har en pollig ligning og intervallet er inkludert i definisjonsdomenet, kan begrensningen av kurven til det intervallet krysses ved å vri mot klokken fra vinkel til vinkel .
[θ1,θ2]{\ displaystyle \ left [\ theta _ {1}, \ theta _ {2} \ right]}θ1{\ displaystyle \ theta _ {1}}θ2{\ displaystyle \ theta _ {2}}
Mobil base
Vi introduserer for hver verdi av θ et direkte ortonormalt grunnlag , oppnådd ved å rotere θ fra grunnlaget . Så
(u→(θ),v→(θ)){\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} (\ theta), {\ vec {v}} (\ theta) \ right)}(Jeg→,j→){\ displaystyle \ left ({\ vec {i}}, {\ vec {j}} \ right)}
u→(θ)=(cosθsyndθ)v→(θ)=(-syndθcosθ)=u→(θ+π2){\ displaystyle {\ vec {u}} (\ theta) = {\ begynn {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}} \ qquad {\ vec {v}} (\ theta) = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} = {\ vec {u}} (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}})} .
Vi vil prøve å uttrykke alle de geometriske forestillingene ved hjelp av denne basen. Men da disse to vektorene er avhengige av θ, må vi ikke glemme å differensiere dem også.
du→dθ=v→dv→dθ=-u→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ vec {v}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} { \ vec {v}}} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ vec {u}}}Merk: å utlede disse vektorene tilsvarer å underkaste dem en rotasjon på π / 2.
Posisjonsvektor
Per definisjon av polare koordinater,
er en enhetsvektor kollinær og i samme retning som og så
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}OM→{\ displaystyle {\ vec {OM}}}
OM→=f(θ)u→{\ displaystyle {\ vec {OM}} = f (\ theta) {\ vec {u}}}.
Sammen med avledningsformlene til vektorene u og v ovenfor, gjør denne formelen det mulig å beregne alle vanlige objekter med differensialgeometri .
Tangent å kurve
Hvis funksjonen er differensierbar da
f{\ displaystyle f}
dOM→dθ=f′(θ)u→(θ)+f(θ)v→(θ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {OM}}} {\ mathrm {d} \ theta}} = f '(\ theta) {\ vec {u}} (\ theta) + f (\ theta) {\ vec {v}} (\ theta)}.
Hvis denne vektoren ikke er null, er den en retningsvektor for tangenten (T) til kurven på det punktet som er assosiert med . Så for ethvert punkt M som er forskjellig fra opprinnelsen, tilfredsstiller således vinkelen mellom vektoren og tangentvektoren :
θ{\ displaystyle \ theta}V{\ displaystyle V}OM→{\ displaystyle {\ vec {OM}}}dOM→dθ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {OM}}} {\ mathrm {d} \ theta}}}
solbrunV=f(θ)f′(θ){\ displaystyle \ tan V = {\ frac {f (\ theta)} {f '(\ theta)}}hvis ,
f′(θ)≠0{\ displaystyle f '(\ theta) \ neq 0}
V=±π2{\ displaystyle V = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}ja .
f′(θ)=0{\ displaystyle f '(\ theta) = 0}
Krøllete abscissa
Hvis opprinnelsen tas inn, er den krumme linjen , dvs. den algebraiske lengden på kurven mellom punktet og ,:
θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}M(θ0){\ displaystyle M (\ theta _ {0})}M(θ1){\ displaystyle M (\ theta _ {1})}
∫θ0θ1f′2(θ)+f2(θ)dθ{\ displaystyle \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta _ {1}} {\ sqrt {f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta)}} \ , \ mathrm {d} \ theta}.
Krumningsradius
Den krumningsradius er radien av den sirkel som tangerer (T) og som “beste” nærmer kurven.
Hvis funksjonen kan differensieres to ganger, og hvis den ikke er null, er krumningsradiusen:
f{\ displaystyle f}2f′2(θ)+f2(θ)-f(θ)f"(θ){\ displaystyle 2f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f' '(\ theta)}
(f′2(θ)+f2(θ))3/22f′2(θ)+f2(θ)-f(θ)f"(θ){\ displaystyle {\ frac {(f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta)) ^ {3/2}} {2f' ^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f '' (\ theta)}}}.
Bøyepunkt
Hvis funksjonen er to ganger differensierbar, er bøyningspunktene blant punktene som avbryter mengden . Kanselleringen av denne mengden uttrykker faktisk at de to første vektorderivatene av vektorstrålen er kollinære.
f{\ displaystyle f}2f′2(θ)+f2(θ)-f(θ)f"(θ){\ displaystyle 2f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f' '(\ theta)}
Uendelige grener
For å studere de uendelige grenene går vi tilbake til kartesiske koordinater.
Parametriske polære ligninger
Hvis kurven er gitt av en parametrisk polligning r ( t ), θ ( t ), kan hastighets- og akselerasjonsvektorene beregnes i den bevegelige basen; man noterer avledningen sammenlignet med parameteren t med et punkt :
V→=r˙u→+rθ˙v→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ dot {r}} {\ vec {u}} + r {\ dot {\ theta}} {\ vec {v}}} ;
PÅ→=(r¨-rθ˙2)u→+(rθ¨+2r˙θ˙)v→{\ displaystyle {\ vec {A}} = ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) {\ vec {u}} + (r {\ ddot {\ theta }} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}}) {\ vec {v}}}.
Se også
Rosett , Spiral , Limaçon , Lemniscate ...