Topologisk ring

I matematikk er en topologisk ring en ring forsynt med en topologi som er kompatibel med interne operasjoner , det vil si slik at tillegget, det motsatte kartet og multiplikasjonen er kontinuerlig .

Et topologisk felt er et felt utstyrt med en topologi som gjør at addisjon, multiplikasjon og invers applikasjon kontinuerlig.

Disse strukturene utvider forestillingen om topologisk gruppe .

Eksempler

• Alle de vanlige nummerfelt rasjonelle , reelle , komplekse , p -adic ) har en eller flere klassiske topologier som gjør dem topologiske felt. Dette er i hovedsak topologier indusert av vanlig avstand eller p -adisk avstand .
• Settet med applikasjoner fra et sett til en topologisk ring utgjør en topologisk ring for topologien med enkel konvergens . Når settet i seg selv er et topologisk rom, er underringen av kontinuerlige funksjoner en topologisk ring for den kompakt-åpne topologien .X{\ displaystyle X}X{\ displaystyle X}
• Enhver normalgebra er en topologisk ring.
• Enhver underring av en topologisk ring er en topologisk ring for den induserte topologien.
• Enhver ring utstyrt med den diskrete topologien eller den grove topologien utgjør en topologisk ring.

Jeg -adisk topologi

Gitt en kommutativ ring og en ideell for den -adic topologien av er definert av grunnlaget for nabolag på hvert punkt av på formen :, der beskriver alle naturlige tall. R{\ displaystyle R} Jeg{\ displaystyle I}R{\ displaystyle R}Jeg{\ displaystyle I}R{\ displaystyle R}x{\ displaystyle x}R{\ displaystyle R}x+Jegikke{\ displaystyle x + I ^ {n}}ikke{\ displaystyle n}

Denne topologien gjør ringen til en topologisk ring, som skilles om og bare hvis skjæringspunktet mellom idealets krefter reduseres til null-elementet: R{\ displaystyle R}Jeg{\ displaystyle I}

⋂ikke∈IKKEJegikke={0}{\ displaystyle \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} I ^ {n} = \ {0 \}}.

I dette tilfellet kan topologien måles med en ultrametrisk avstand definert som følger:

for alle ≠ elementer av ,x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}R{\ displaystyle R} d(x,y)=1/2k{\ displaystyle d (x, y) = 1/2 ^ {k}} hvor er den største kraften i idealet som inneholder forskjellen .k{\ displaystyle k}x-y{\ displaystyle xy}

Den p- adiske topologien på relative heltall er således konstruert med idealet om heltallsmultipler av . Jeg{\ displaystyle I}s{\ displaystyle p}

Fullføring av en metriserbar ring

Når en ringtopologi kan måles, utvides operasjoner kontinuerlig (unikt) til den metriske fullføringen , som dermed blir den fullførte ringen  (in) .

Merknader

1. Kontinuiteten til det motsatte programmet blir automatisk sjekket hvis ringen er enhetlig .
2. Det er imidlertid topologiske ringer som er legemer uten å oppfylle denne siste tilstanden.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">