Apeirogone

Apeirogone
Representasjon av en (vanlig) apeirogon i Poincaré- diskmodellen

Type	Vanlig polygon

Schläfli-symbol	{∞}

I geometri er en apeirogon (fra den gamle greske "ἄπειρος" apeiros: uendelig, grenseløs og "γωνωα" gonia : vinkel) en generalisert polygon som har et uendelig (tellbart) antall sider. Oftest betegner begrepet en konveks regelmessig polygon (alle vinkler og alle sider er like, og sidene krysser ikke ); i denne forstand er det ingen ikke-triviell apeirogon i euklidisk geometri , men det er flere familier (som ikke ligner hverandre) i hyperbolsk geometri .

Definisjoner

Konkrete definisjoner

Euklidisk geometri

HSM Coxeter starter fra dataene i et euklidisk rom av et grunnpunkt A 0 og av en oversettelse S ; settet med iterater A i = S i (A 0 ) (med ) og av kantene som forbinder de tilstøtende toppunktene og definerer en apeirogon (vanlig). Vi kan også tolke denne konstruksjonen som inndelingen av en linje i segmenter av samme lengde. ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ ${\ displaystyle A_ {i + 1}}$

Hyperbolsk geometri

Den klassiske konstruksjonen av en vanlig polygon i det euklidiske planet (ved en serie rotasjoner rundt et velvalgt senter) kan tilpasses ved å itereere rotasjoner av segmentet rundt punktet og vinkelen (punktet blir punktet ); hvis vi erstatter denne siste vinkelen med en hvilken som helst vinkel , får vi bare en vanlig stjernepolygon eller en polygonal linje som ikke lukkes, men forblir innskrevet i en sirkulær krone . På den annen side, i hyperbolsk geometri (og tar for krumning ), hvis vi starter fra en side av lengden a og en vinkel , beveger serien av segmenter seg bort til uendelig; settet med , som vi kaller en apeirogon av vinkel og side a , er innskrevet i en horosyklus si , og i en hypercykel si (noen forfattere forbeholder seg navnet apeirogon for de som er innskrevet i horosykler). ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {n}}}$ ${\ displaystyle [A_ {i}, A_ {i + 1}]}$ ${\ displaystyle A_ {i + 1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {(n-2) \ pi} {n}}}$ $Ha}}$ ${\ displaystyle A_ {i + 2}}$ $\ alfa$ ${\ displaystyle K = -1}$ ${\ displaystyle \ alpha \ geq \ alpha _ {0} = 2 \ arcsin {\ frac {1} {\ cosh (a / 2)}}}$ $Ha}}$ $\ alfa$ ${\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {0}}$ ${\ displaystyle \ alpha> \ alpha _ {0}}$

Abstrakt definisjon

Et sammendrag av polytopen er et delvis beordret sett av objekter (flatene) hvis ordre relasjonsmodellene inkluderingen av de flater av betong polytopene . Det spesielle tilfellet med abstrakte polygoner tilsvarer en delvis rekkefølge på visse delmengder av et sett med hjørner: selve hjørnene, visse sett med to hjørner (kantene) og de to tomme og fulle trivielle delmengdene, hver toppunkt tilhører nøyaktig to kanter, og grafen dannet av hjørner og kanter som er koblet sammen; hvis settet med hjørner er uendelig tellbart, snakker vi om en abstrakt apeirogon ; det er unikt opp til isomorfisme. Gruppen med abstrakte aeirogon- automorfismer (kalt symmetrier i dette tilfellet) er den uendelige dihedrale gruppen .

Prestasjoner

Definisjon

En erkjennelse av et abstrakt polygon er en anvendelse av dets hjørner på punkter i et metrisk rom (oftest euklidisk rom eller hyperbolsk rom med dimensjon n ) slik at hver automorfisme av polygonet tilsvarer en isometri av alle bildene; to erkjennelser sies å være kongruente hvis den naturlige sammenhengen mellom deres sett av hjørner er indusert av en isometri av hele ankomstrommene. Dermed er de konkrete definisjonene som er gitt tidligere realiseringer av det abstrakte aeirogon, henholdsvis i det euklidiske planet og i det hyperbolske planet, men selv om det er isomorf, er de ikke kongruente.

Symmetrier

Gruppen G av automatiseringer av en realisering V av den abstrakte apeirogon kan beskrives som generert av to (ortogonale) symmetrier, hvis produkt sender hvert toppunkt av V til det neste: den første symmetrien etterlater en gitt toppunktinvariant , og den andre bytter to tilstøtende hjørner og ; avhengig av utførelsesformen som er vurdert, er den isomorf til den uendelige dihedrale gruppen (hvis V er uendelig) eller til den tosidige gruppen i orden 2 n (hvis V har n elementer). $S_0$ $S_0$ $S_1$

Merknader og referanser

( fr ) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Apeirogon " ( se listen over forfattere ) .

HSM Coxeter , Regular polytopes , London, Methuen & Co. Ltd.,1948, s. 45
Norman W. Johnson , geometri og transformasjoner , Cambridge University Press ,2018( les online ) , "11: Finite Symmetry Groups", s. 226
er dobbelt så stor parallellvinkelen i den vinkelrette bisectoren ; for denne verdien er de vinkelrette halveringene av og av asymptotiske paralleller. ${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$ $A_1$ ${\ displaystyle [A_ {0}, A_ {1}]}$ ${\ displaystyle [A_ {0}, A_ {1}]}$ ${\ displaystyle [A_ {0}, A_ {2}]}$
(en) Peter McMullen og Egon Schulte , Abstract Regular Polytopes , Cambridge University Press ,desember 20021. utg. ( ISBN 0-521-81496-0 , les online )
(en) Peter McMullen , “ Realisasjoner av vanlige apeirotoper ” , Aequationes Mathematicae , vol. 47, ingen bein 2-3,1994, s. 223–239 ( DOI 10.1007 / BF01832961 , matematiske anmeldelser 1268033 )

Relaterte artikler

Apeirogon (roman) (2020, Colum McCann )

Eksterne linker

(no) Eric W. Weisstein , “ Apeirogon ” , på MathWorld