I matematikk er medlemskapet et forhold som ikke er symmetrisk mellom sett , eller mer generelt mellom objekter og klasser . Vi skriver for å bety at objektet tilhører klassen .
I vanlig mengdeori : aksiomet for ekstensjonalitet spesifiserer at hvert sett er preget av elementene som hører til det; det aksiom av fundamentet fastslår at forholdet av tilhørighet er vel etablert , noe som særlig tillater at en hel kan være et element av seg selv ( antireflexivity ); tilhørighet er ikke midlertidig , i motsetning til inkluderingsforholdet .
Symbolet ble introdusert av Giuseppe Peano i 1889 i Arithmetices principia, nova methodo exposita (en) (side X):
“Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a er quoddam b; ... "
Det er en epsilon , første bokstav i tredje person entall ἐστί av verbet "å være" på gammelgresk. Stavemåten tilsvarer den som var vanlig på det kontinentale Europa på tidspunktet for Peano. Imidlertid vil Peano også bruke symbolet ε.
Forholdet som opprinnelig ble lest “ er ett ”. Denne formuleringen forblir til en viss grad i dag, for eksempel når vi oversetter " er et naturlig tall ".
I det generelle tilfellet i dag lyder det " tilhører ", " er et element av ", eller " er i ".
Den gjensidige relasjonen , mindre brukt, lyder " inneholder ", " forstår " eller " besitter ". Begrepet inneholder har ulempen med å være tvetydig, noe som også kan betegne inkludering . Bruk av eier , som Gérard Debreu anbefaler , og understreker at eier er den naturlige symmetriske av tilhører , unngår dette problemet. Andre forfattere, som Paul Halmos eller George Boolos , anbefaler i stedet å alltid bruke " inneholder " for å oversette , og " inkluderer " for . Til slutt bruker de fleste av forfatterne, inkludert for eksempel Nicolas Bourbaki , rett og slett ikke dette gjensidige forholdet, og snur systematisk setningene sine slik at de kan bruke " tilhører " eller " er et element av ".
I LaTeX : er skrevet ved hjelp av kommandoen "\ in", som betyr i engelsk; er skrevet med en av de tilsvarende kommandoene "\ ni" og "\ owns", henholdsvis en omvendt "\ in" og har på engelsk.
I Haskell- programmeringsspråket som innrømmer en definisjon av forståelseslister, blir medlemskap notert <-.
Den historiske definisjonen som Cantor ga i 1895 var som følger:
“Et sett er en samling M av objekter som er resultatet av vår intuisjon eller vår tanke (som vi vil kalle elementer av M ), betraktet som en helhet. "
Denne litt uklare definisjonen lar oss allerede presentere en intuitiv versjon av mengdeori . Se artiklene Ensemble og Naive Set Theory .
For eksempel, hvis M = {1,2,3}, 1, 2 og 3 er elementer i M .
Det må utvises forsiktighet for ikke å forvirre “element” og “ delmengde ”; i eksemplet ovenfor er {1,2} og {3} blant annet delmengder av M, men er ikke deler av det.
Samtidspresentasjoner av mengdeteori beskriver det som en førsteordens egalitær teori som i tillegg til likhet omfatter et enkelt binært predikat , medlemskap . I denne tilnærmingen er setningen " x er et element i M " bare verbaliseringen av formelen .
Den mest aksepterte formalismen er Zermelo-Fraenkel .
Felix Hausdorff bemerker at denne tilnærmingen ikke utgjør en definisjon fra et tidligere konsept, men er et utgangspunkt for formaliseringen av en stor del av matematikken:
“Vi kan innvende at vi har definert idem per idem eller til og med obscurum per obscurius . Vi må ta i betraktning at det ikke er en definisjon her, men en utstillingsprosess, en referanse til et primitivt konsept kjent for alle […]. "
I uttrykket
bokstaven M betegner ofte et sett . Dette er spesielt hva den formelle presentasjonen gitt ovenfor forutsetter.
En for naiv teori om sett som fører til berømte paradokser , det er noen ganger nyttig å vurdere et forhold mellom medlemskap av et element x og et objekt M som ikke er et sett, men en klasse . Dette er for eksempel tilfelle i kategoriteori ; i denne sammenhengen kalles x imidlertid et "objekt" snarere enn et "element".
I klasseformalismen til den mest brukte teorien, Zermelo-Fraenkel settteori , identifiserer klassene seg med unare predikater av språk. Å si at x er et element i klassen M som tilsvarer predikatet P, er ganske enkelt en annen måte å si: " P (x) ".
[utydelig]Den medlemskap symbolet "∈" er en matematisk symbol introdusert av Giuseppe Peano for medlemskap i settet teori . Stavemåten tilsvarer den for den greske bokstaven epsilon på det kontinentale Europa på den tiden.
Det er en liten versjon og en gjennomstikkversjon, og disse tre tegnene har også Unicode- koding reversert fra høyre til venstre.
Etternavn | Unicode | Html | Latex | ||
---|---|---|---|---|---|
tilhører | ∈ | 2208 | & er i; | \in | |
tilhører ikke | ∉ | 2209 | & ikke i; | \notin | |
liten tilhører | ∊ | 220A | |||
inneholder som element | ∋ | 220B | &eller; | \ni eller \owns | |
inneholder ikke som element | ∌ | 220C | \not\ni eller \not\owns | ||
liten inneholder som element | ∍ | 220D |
Dette symbolet brukes som tittelen på en diktsamling utgitt av Jacques Roubaud i 1967 . For forfatteren er det også "i forlengelse, et symbol på å tilhøre" verden i å være ". "