Ren applikasjon

I matematikk sies en applikasjon å være ren hvis den tilfredsstiller en viss topologisk egenskap . Den mest vanlige definisjon, er gyldig for en kontinuerlig kartlegging av en adskilt plass inn i et lokalt liten plass , er at anvendelsen er ren Hvis det inverse bildet av en hvilken som helst kompakte del av de ankomsten plass er kompakt. Denne definisjonen tilsvarer, i denne sammenheng, den generelle definisjonen: en applikasjon (ikke nødvendigvis kontinuerlig og mellom noen topologiske mellomrom ) er riktig hvis den er "  universelt lukket  ”.

Generell definisjon

La X og Y være to topologiske mellomrom . Et kart f  : X → Y sies å være riktig hvis en eller topologisk rom Z , kartet f x id Z  : X x Z → Y x Z er stengt .

Vanlige karakteriseringer

Teorem  -  Hvis X er separat og Y lokalt kompakt, og hvis f  : X → Y er kontinuerlig , er følgende egenskaper ekvivalente:

1. f er riktig;
2. f er lukket og det omvendte bildet av f av en hvilken som helst singleton er kompakt  ;
3. det gjensidige bildet av f av hvilken som helst kompakt er kompakt.

Mer presist :

• uten forutsetninger på f (og heller ikke på X og Y ):
  • hvis f er riktig, er den trivielt lukket;
  • hvis f er riktig, er det gjensidige bildet av f av en hvilken som helst kvasikompakt (spesielt: av en hvilken som helst singleton) kvasikompakt;
• hvis f er kontinuerlig og lukket og hvis det gjensidige bildet av f av en hvilken som helst singleton er kvakompakt, så er f riktig;
• hvis X er atskilt, Y lokalt kompakt og f kontinuerlig, og hvis det omvendte bildet av f av en hvilken som helst kompakt er kompakt, så er f riktig og X er lokalt kompakt.

Når X og Y begge er lokalt kompakte, vurderer deres Alexandrov-komprimering , omformulerer tilstand 3 som: når x har en tendens til uendelig, har f ( x ) en tendens til uendelig.

Eiendommer

Begrepet riktig anvendelse har følgende egenskaper:

• alle som består av riktige applikasjoner er rene;
• ethvert produkt f × g  : X 1 × X 2 → Y 1 × Y 2 av riktige kart er riktig;
• hvis f  : X → Y er riktig, er dens begrensning-korestriksjon , fra f -1 ( T ) i T , også riktig , for hvilken som helst del T av Y  ;
• hvis f  : X → Y er riktig, er begrensningen F → Y til lukket F av X også riktig .
• enhver kontinuerlig og lukket injeksjon er ren;
• hvis g ◦ f er riktig og hvis f er surjective og kontinuerlig, så er g riktig;
• hvis g ◦ f er riktig og hvis g er injiserende og kontinuerlig, så er f riktig;
• hvis f  : X → Y og g  : Y → Z er kontinuerlige og g ◦ f riktig og Y atskilt, så er f riktig;
• hvis X er kvasi-kompakt , er projiseringen X × Z → Z for riktig plass Z riktig.
• hvis kartet over X i det rommet som er redusert til et punkt er riktig, så er X nesten kompakt;
• enhver kontinuerlig applikasjon fra et nesten kompakt rom til et eget rom er rent.

For enhver topologisk gruppe G som virker kontinuerlig og riktig på et topologisk rom X , skilles kvotienten X / G.

Merknader og referanser

1. J. Lafontaine, Forutsetninger innen topologi ( webtillegg av: Jacques Lafontaine, Introduksjon til differensielle varianter [ detalj av utgaver ]).
2. N. Bourbaki , Elementer av matematikk , Generell topologi , kap. Jeg, § 10.
3. N. Bourbaki, op. cit. , kap. III, § 2.

Se også

Relaterte artikler

• Kvotient topologi
• Perfekt applikasjon  (in)
• Ehresmanns teorem
• Hadamard-Lévy-setning

Ekstern lenke

Elementært algebraisk topologikurs , Frédéric Paulin, École normale supérieure , 2009-2010, s. 221-222 og s. 29