En matematisk biljardbord er et dynamisk system i hvilket en partikkel veksler frie bevegelser på en overflate og kastes tilbake på en vegg , uten å miste hastighet . Returvinkelen er den samme som angrepsvinkelen i støtøyeblikket. Disse dynamiske systemene er Hamilton- idealiseringer av biljardspillet , men der domenet innrammet av grensen kan ha andre former enn et rektangel og til og med være flerdimensjonalt . Dynamisk biljard kan også studeres på ikke-euklidiske geometrier . Faktisk etablerte de aller første studiene av biljard sin ergodiske bevegelse på overflater med konstant negativ krumning . Studiet av biljard der partikkelen beveger seg utenfor - og ikke inni - et gitt område kalles teorien om eksternt biljard.
Mellom hvert sprett foregår bevegelsen av partikkelen i biljardbordet med konstant energi. Det er en rett linje eller en geodesikk hvis den Riemanniske beregningen til biljardbordet ikke er plan.
Spørsmålene fra biljard gir mange forestillinger om geometri , analyse (spesielt topologi ) av sannsynligheter .
Matematisk biljard fanger opp kompleksiteten i Hamilton-systemer, fra integrerbarhet til kaotisk bevegelse , uten vanskeligheter med å måtte integrere bevegelsesligningene for å bestemme Poincaré-kartet . Birkhoff demonstrerte at et biljardsystem med elliptisk bord kan integreres.
Den Hamilton av en partikkel av massen m bevege seg fritt uten friksjon på en overflate uttrykkes:
der V ( q ) er et potensial definert til å være null inne i regionen Ω der partikkelen kan bevege seg og uendelig andre steder:
Denne potensialformen garanterer en elastisk rebound (ligner på optisk refleksjon ) på grensen. Begrepet kinetikk sikrer at partikkelen beveger seg med konstant energi. Hvis partikkelen utvikler seg i et ikke-euklidisk felt , blir Hamiltonian:
hvor g ij ( q ) er den metriske tensoren ved punktet q ∈ Ω . På grunn av den meget enkle strukturen til denne Hamiltonian, er bevegelsesligningene til denne partikkelen, Hamilton-Jacobi-ligningene , ikke annet enn ligninger av geodesikk på en overflate: partikkelen krysser en geodesikk .
Hadamard-biljard beskriver bevegelsen til en punktpartikkel over en overflate med konstant negativ krumning , spesielt den enkleste kompakte Riemann-overflaten med negativ krumning, en slekt 2-overflate (en slags to-hulls torus ). Modellen innrømmer en nøyaktig løsning , nemlig en geodesisk fluss på overflaten. Dette er det første eksemplet på deterministisk kaos som noen gang er studert, introdusert av Jacques Hadamard i 1898.
Artins biljard omhandler fri bevegelse av en punktpartikkel på overflaten av konstant negativ krumning , spesielt den enkleste kompakte Riemann-overflaten med negativ krumning, en overflate med en kvise . Det er kjent å innrømme eksakte løsninger, ikke bare ergodiske, men også sterkt blandede. Dette er et eksempel på Anosov-systemet . Dette systemet ble først studert av Emil Artin i 1924.
La M være en jevn og komplett Riemannian manifold uten kant, hvis maksimale snittkurvatur ikke er større enn K og med injeksjonsradien ρ > 0 . Er en samling av n delmengder geodetisk konveks (vegger) , slik at grensene deres er delmanifold og en kodimensjon. La , der Int ( B i ) betegner det indre av settet B i . Settet kalles biljardbord. La oss nå være en partikkel som beveger seg inne i mengden B med en enhetshastighet langs en geodesikk til den når et av mengdene B i (det som kalles en kollisjon) hvor den spretter i henhold til loven "refleksjonsvinkelen er lik innfallsvinkelen "(hvis den når et av settene , er ikke banen definert). Dette dynamiske systemet kalles semidispersivt biljard . Hvis veggene er strengt konvekse, kalles biljard spredt fordi en stråle av lokalt parallelle baner spres etter en kollisjon med en strengt konveks veggdel, mens den forblir lokalt parallell hvis den støter på en flat veggdel.
Grensedispersjon spiller den samme rollen for biljard som negativ krumning for geodesiske strømmer som forårsaker eksponentiell dynamisk ustabilitet . Det er nettopp denne spredningsmekanismen som gir spredt biljard deres sterkeste kaotiske egenskaper , slik de ble etablert av Yakov G. Sinai . Biljard er ergodisk , "miksende", fra Bernoulli , med en positiv Kolmogorov-Sinai- entropi og en eksponentiell reduksjon i korrelasjonene .
De kaotiske egenskapene til semidispersivt biljard forstås ikke så godt. Imidlertid har de av en viktig type semi-dispersiv biljard, hard ball gas , vært gjenstand for detaljerte studier siden 1975 (se nedenfor).
De generelle resultatene oppnådd av Dmitry Burago og Serge Ferleger om ensartet estimering av antall kollisjoner i et ikke-degenerert semidispersivt biljard har gjort det mulig å fastslå endeligheten av deres topologiske entropi og ikke lenger en eksponentiell vekst av de periodiske banene. . I kontrast kan halvdispergert “degenerert” biljard utvise uendelig topologisk entropi.
HardballsystemDen Lorentz gass tabell er et kvadrat fra hvilken en plate er blitt fjernet i sitt sentrum; bordet er flatt, uten krumning. Biljard kommer til å studere oppførselen til to disker som spretter på innsiden av torget og den ene oppå den andre. Ved å eliminere variasjonen i massesenteret reduseres dynamikken til de to samvirkende kroppene til dynamikken i Sinai-biljard.
Dette biljardbordet ble introdusert av Yakov Sinai som et eksempel på et Hamiltonian-system med interaksjon som viser egenskaper av termodynamikk: alle mulige baner er ergodiske og har en positiv Liapunov-eksponent .
Sinai viste med denne modellen at det klassiske Boltzmann-Gibbs-settet for perfekt gass i utgangspunktet er en maksimering av kaotisk Hadamard-biljard.
Bordet kalt Bunimovich stadion er avlangt (fremkaller formen på et stadion med en friidrettsbane). Inntil Leonid Bunimovich ble introdusert , ble biljard med positive Liapunov-eksponenter antatt å trenge konvekse hindringer, som for eksempel Sinai- biljardplaten , for å produsere den eksponentielle divergensen i banene. Bunimovich viste at ved å vurdere banene utenfor fokuspunktet til en konkav region, var det mulig å oppnå en eksponentiell divergens.
Generelt biljard beskriver bevegelsen til en partikkel eller punktmasse i en lukket delmengde med vanlig kant av brikker bemerket Γ . På grensen Γ transformeres partikkelens hastighet under handlingen av den generelle biljardloven. Generelt biljard ble introdusert av Lev D. Pustyl'nikov i det generelle tilfellet og i tilfelle hvor det er parallellpiped i forbindelse med begrunnelsen av det andre prinsippet om termodynamikk . Fra et fysisk synspunkt beskriver generalisert biljard dynamikken til en gass som består av et stort antall partikler som er begrenset i en kapasitet, ettersom veggene i kapasiteten varmes opp eller avkjøles. Essensen av denne generaliseringen er følgende: når partikkelen treffer grensen Γ , transformeres dens hastighet i henhold til en gitt funksjon f ( γ , t ) , definert på det direkte produktet (hvor er den virkelige linjen, er et punkt i grense og er tid), i henhold til følgende lov. Anta at partikkel innvirkning på hastigheten v vegg Γ punkt i tid t * . Så på tidspunktet t * får partikkelen hastigheten v * , som under et elastisk sjokk på en uendelig stiv vegg Γ * , tangent til det punktet som på tiden t * beveger seg i henhold til det normale til Γ i γ med hastigheten . Husk at veggen forblir fast; det er dens virkning på partikkelen som er definert av funksjonen f . Den positive retningen for flyets bevegelse Γ * er rettet mot det indre av Π . Så hvis derivatet har partikkelen en økt hastighet etter støt.
Hvis hastigheten v * , oppnådd av partikkelen under påvirkning av refleksjonsloven ovenfor, er rettet mot det indre av domenet Π , forlater partikkelen grensen og beveger seg mot det indre av Π til ved neste kollisjon med Γ . Hvis hastigheten er rettet utover fra Π , forblir partikkelen på Γ ved punktet γ til på det tidspunktet samspillet med grensen tvinger partikkelen til å ta av.
Hvis funksjonen ikke er tidsavhengig ; dvs. ,, generalisert biljard sammenfaller med klassisk biljard.
Den generaliserte refleksjonsloven er veldig naturlig: den gjenspeiler det faktum at kapasiteten til veggene forblir på plass, at veggens virkning på partikkelen forblir styrt av elastisitetslovene, men tar hensyn til uendelige dimensjoner. Fra veggen .
Rebound på grensen Γ kan betraktes både innenfor rammen av klassisk mekanikk (Newtonian case) og relativitetsteorien (relativistic case). Hovedresultater: i det newtonske tilfellet er partikkelenergien endelig, Gibbs-entropien er en konstant (i notater) mens i det relativistiske tilfellet,
Kvanteversjonen av biljard studeres på flere måter. Den klassiske biljard Hamiltonian, gitt ovenfor, erstattes av den stasjonære tilstanden til Schrödinger-ligningen Hψ = Eψ eller, mer presist,
hvor ∇ 2 er laplacian . Potensialet som er uendelig utenfor regionen Ω, men lik null inne, tilsvarer grensebetingelsene til Dirichlet :
Klassisk danner bølgefunksjonene et ortonormalt grunnlag :
Merkelig nok er Schrödinger-ligningen i fri felt den samme som Helmholtz-ligningen :
med
Dette innebærer at todimensjonalt og tredimensjonalt kvantebiljard kan modelleres av de klassiske resonansmodusene til et radarhulrom med en gitt form, og dermed åpne døren for eksperimentell verifisering (Studiet av radarhulrommodus bør begrenses med magnetisk moduser (TM), fordi de er de som overholder rammebetingelsene til Dirichlet).
Den semiklassiske grensen tilsvarer det som kan assimileres med , massen øker for å oppføre seg konvensjonelt.
Som en generell regel kan det sies at når de klassiske bevegelsesligningene er integrerbare (for eksempel rektangulære eller sirkulære biljardbord), er kvanteversjonen av biljardbordet fullstendig løselig. Når det klassiske systemet er kaotisk, tillater kvantesystemet generelt ikke en eksakt løsning, og det er vanskelig å tallfeste og evaluere. Den generelle studien av kaotiske kvantesystemer er kjent som kvantekaos .
Et spesielt slående eksempel på " arrdannelse " på et elliptisk bord er gitt ved observasjon av " kvante mirage ".
Den vanligste anvendelsen av kvantebiljardteori er relatert til dobbeltkledde optiske fibre . I disse fiberlasere begrenser den lave numeriske blenderåpningen signalet og den store kledningen begrenser multimodepumpen.
I den paraksiale tilnærmingen oppfører det komplekse pumpefeltet i kledningen seg som en bølgefunksjon i kvantebiljard. Kledningsmodus med skarphet kan unngå kjernen, og symmetriske konfigurasjoner forbedrer denne effekten. De kaotiske fibrene gir god kobling; som en første tilnærming kan en slik fiber beskrives med de samme ligningene som et idealisert biljardbord. Koblingen er spesielt dårlig i sirkulært symmetriske fibre, mens den spiralformede fiberen - hvis kjerne er nær spiralstykket - har gode koblingsegenskaper. Den lille spiraldeformasjonen tvinger alle skjæringer til å bli koblet til kjernen.
Marcel Berger , Living Geometry: or the Jacob's Scale , Cassini, koll. "Nytt matematisk bibliotek",2009( ISBN 9782842250355 )
Kapittel XI er en introduksjon til biljard og til de fortsatt uløste spørsmålene om dem.