I matematikk kaller vi ikke-euklidisk geometri en geometrisk teori som bruker alle aksiomene og postulatene som Euklid utgjør i elementene , bortsett fra parallellpostulatet .
De ulike ikke-euklidske geometrier er fra et ønske om å bevise det femte postulat ( den postulat av Euclid) som virket tilfredsstillende som for komplisert, og kanskje overflødig.
I Euclids elementer ligner postulatet konklusjonen på en teorem , men som ikke vil innebære et bevis :
Hvis en linje som faller på to rette linjer, gjør innvendige vinkler på samme side mindre enn to rettigheter , vil disse rettighetene, utvidet på ubestemt tid , møte den siden der vinklene er mindre enn to rettigheter.
som kan forstås som:
Gjennom et punkt utenfor en linje passerer den alltid en parallell til denne linjen, og bare en.
I flere århundrer har euklidisk geometri blitt brukt uten å stille spørsmål ved dens gyldighet. Det har til og med lenge vært ansett som arketypen av logisk deduktiv resonnement . Det hadde fordelen av å definere de intuitive egenskapene til geometriske objekter i en streng matematisk konstruksjon.
I 1902 foreslo Henri Poincaré en enkel modell der Euclids femte postulat ikke var gyldig. Linjen er her definert ved utvidelse som kurven for den korteste banen som forbinder to punkter i det betraktede rommet.
“La oss anta en verden innelukket i en stor sfære og underlagt følgende lover: Temperaturen er ikke ensartet der; det er maksimale i sentrum, og det avtar når man beveger seg bort fra det, for å bli redusert til absolutt null når man når sfæren der denne verden er innesluttet. [...] Et bevegelig objekt blir da mindre og mindre når man nærmer seg grensesfæren. La oss først observere at hvis denne verden er begrenset fra vår vanlige geometri, vil den virke uendelig for innbyggerne. Når disse faktisk vil nærme seg grenseområdet, kjøler de seg ned og blir mindre og mindre. Trinnene de tar blir derfor mindre og mindre, slik at de aldri kan nå grensesfæren. "Kapittel 4" Geometriområdet "
- Henri Poincaré , vitenskap og hypotese
Étienne Ghys kommenterer denne teksten som følger:
“Vesenene som bor i denne verden kan ikke vite at de krymper, for hvis de måles med et målebånd, så måler også målebåndet. Vi vet at de blir mindre, men de har veldig normale og veldig konsekvente liv. Hvis de vil gå fra et punkt til et annet på den korteste ruten, tror vi at de vil ha en tendens til å komme nærmere sentrum, fordi trinnene deres er ganske større mot sentrum.
Så kan vi vise at den korteste banen fra et punkt til et annet i denne imaginære geometrien er en bue av en sirkel vinkelrett på grensesirkelen. Deres rettigheter er kretsene våre. Og du ser at i deres geometri er ikke Euklids aksiom ikke fornøyd. Den røde linjen er parallell med den grønne linjen, men den blå linjen er også parallell (to linjer som ikke krysser hverandre er faktisk parallelle).
Det er uendelig mange paralleller som går gjennom et punkt. Og disse menneskene er rimelige, de vet ikke at de blir mindre. Men de er like rimelige som oss, som sannsynligvis ignorerer mange andre ting.
Moralen i denne lille Poincaré-historien er at vi veldig godt kan se for oss mange ekstremt rimelige verdener, hver med sin egen geometri, hver med sin egen logikk og som hver kan gi oss en visjon om vår konkrete verden […].
Dagens matematiker for å løse et problem, for å studere et spørsmål, vil bruke en geometri, vil ta verktøykassen sin, og vil velge den mest egnede geometrien for å forstå det studerte problemet.
Her er Poincarés setning: En geometri kan ikke være sannere enn en annen, den kan rett og slett være mer praktisk. "
- Étienne Ghys
De n- dimensjonale geometriene og de ikke-euklidiske geometriene er to separate grener av geometrien, som kan kombineres, men ikke nødvendigvis. Forvirring har oppstått i populærlitteraturen om disse to geometriene. Fordi euklidisk geometri var to eller tredimensjonal, ble det feilaktig konkludert med at ikke-euklidiske geometrier nødvendigvis hadde høyere dimensjoner.
Forhistorien til ikke-euklidisk geometri er den lange serien med forskning og forsøk på å klargjøre Euklids femte postulat (parallellpostulatet). Dette postulatet - særlig fordi det appellerer til uendelig-begrepet - har alltid virket litt "fra hverandre" og ikke opplagt for matematikere, som har søkt å erstatte det med et enklere og mer direkte postulat, eller å demonstrere det for fra Euklids andre postulater. Dermed har arabiske og persiske matematikere inkludert Thābit ibn Qurra , Alhazen og spesielt Omar Khayyam studert koblingene mellom postulatet av paralleller og summen av vinkler av firkant og trekanter. Khayyam og tilbud fra XI th århundre et alternativ til Euklids femte postulat, og demonstrasjonsforsøk dette postulatet av selvmotsigelse .
I det XVII - tallet ble John Wallis og spesielt Giovanni Girolamo Saccheri inspirert av arbeidet til disse matematikerne og prøvde å bevise det parallelle postulatet. Saccheri viet hele sitt liv til å prøve å demonstrere postulatet av paralleller gjennom absurditet, uten å lykkes. Men ved å postulere "den akutte vinkelhypotesen", som postulerer at summen av vinklene til en firkant er mindre enn fire rette vinkler , fører det ikke bare til noen åpenbar matematisk motsetning, men oppdager også alt. Et sett med nye , sammenhengende og rike teoremer. Han er i ferd med å oppdage en ikke-euklidisk geometri (for eksempel hyperbolsk geometri, der rommet kan innrømme en uendelig parallell til en gitt linje og passere gjennom et punkt utenfor den linjen), men han vil aldri akseptere disse nye teoremene som han anser "frastøtende".
Johann Heinrich Lambert tar opp arbeidet med Saccheri i 1766, og tar opp den skarpe vinkelhypotesen, men konkluderer ikke med at det er en motsetning. Han innser, i det minste de aller siste årene av sitt liv, at det må være mulig å bygge sammenhengende geometrier, enten fra hypotesen om den spisse vinkelen (hyperbolsk geometri), eller den fra den stumpe vinkelen. (Elliptisk geometri).
Lambert oppnår spesielt formelen , hvor C er en konstant, som gir arealet A av en trekant hvis tre vinkler er α , β og γ i en geometri basert på den spisse vinkelen (i dag kalt hyperbolsk geometri ).
Gauss formulerte allerede i 1813 muligheten for at det finnes andre geometrier enn den for Euklides. Han våget imidlertid aldri å publisere resultatene av refleksjonene i denne retningen "av frykt for boeoternes rop", som han selv skrev.
Vi skiller geometriene med negativ krumning, som for Lobachevsky (1829) og Bolyai (1832) (summen av vinklene til en trekant mindre enn 180 °, uendelig antall mulige paralleller til en linje med et punkt, for eksempel hyperbolsk geometri) , positive krumningsgeometrier som for Riemann (1867) (summen av vinklene til en trekant større enn 180 °, parallelt med polene, for eksempel elliptisk geometri).
Geometrien som ofte kalles "Riemann-geometri" er et tredimensjonalt sfærisk rom, et endelig og likevel grenseløst rom, med regelmessig positiv krumning, et alternativ til det euklidiske postulatet av paralleller. Riemann utviklet også en utvidet teori om ikke-euklidiske n- dimensjonale geometrier (konferanse i 1854).
Ideen om "ikke-euklidisk geometri" innebærer vanligvis ideen om et buet rom, men geometrien til en romkurve er en representasjon av geometrien til ikke-euklidisk, sier Duncan Sommerville (in) i The Elements of Non-Euklidean Geometry ( London, 1914). Det er tredimensjonale rom som ikke er euklidiske.
Lobachevsky , Klein og Poincaré skapte geometrimodeller der vi kan trekke en uendelig parallell til en gitt linje og passere gjennom samme punkt.
Det er bemerkelsesverdig at bare Euclids femte postulat ble løftet; ikke-euklidiske geometrier respekterer også alle andre euklidiske definisjoner. Spesielt er en linje alltid definert som linjen med korteste bane som forbinder to punkter på en overflate. Det er flere modeller av todimensjonal hyperbolsk geometri: Poincaré-skiven , Poincaré -halvplanet, etc.
Riemann introduserte en annen modell for ikke-euklidisk geometri, sfærisk geometri (noen ganger kalt sfærisk elliptisk geometri ). I dette tilfellet, ved et punkt utenfor en linje, kan vi ikke tegne noen parallell (med andre ord, alle linjene som går gjennom et punkt utenfor en gitt linje er sekant til denne linjen, eller til og med alle linjene i rommet krysser hverandre) . Modellen er veldig enkel:
Denne geometrien gir en positiv krumning av rommet (summen av vinklene til en trekant er større enn to rettigheter, eller summen av to påfølgende vinkler av en firkant er større enn to rettigheter, eller det eksisterer en trekant som alle vinkler har rett ).
Jean-Pierre Petit , Le Géométricon , tegneserie fra Les Aventures d ' Anselme Lanturlu-samlingen , red. Belin, ( ISBN 2-7011-0372-X )