Summable square

I matematikk kalles en funksjon definert på et målt rom Ω og med verdier i ℝ eller ℂ et summerbart kvadrat eller et integrert kvadrat hvis det hører til rommet $L 2 (Ω)$ av funksjoner hvis integral av kvadratet (av modulus i tilfelle av komplekse tall) konvergerer på Ω.

For eksempel har en målbar funksjon av ℝ i ℂ et summerbart kvadrat når følgende integral ( i betydningen Lebesgue ) $f$

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} | f (x) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} x}

konvergerer, det vil si hvis den eksisterer og dermed tilsvarer et endelig antall.

Formell definisjon

Tenk på de målbare funksjonene som er definert på settet ℝ og med verdier i ℂ hvis integral (i betydningen Lebesgue) av kvadratet til modulusen konvergerer. Disse funksjonene utgjør et vektorrom ℒ 2 (ℝ) som takket være Hölders ulikhet kan være utstyrt med den positive hermitiske formen definert av

{\ displaystyle (f, g) _ {2} = \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) {\ overline {g}} (x) \, \ mathrm {d} x}

og den tilsvarende halvstandarden

{\ displaystyle \ | f \ | _ {2} = \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} | f (x) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} x \ right) ^ {1 / 2}.}

Siden en funksjon av ℒ 2 (ℝ) kan forbli udefinert på et sett av mål null uten å påvirke de foregående integralene, tillater ekvivalensforholdet "er nesten overalt" å utgjøre klasser av funksjoner (bemerket foreløpig ): to funksjoner er da i samme klasse hvis de er "like nesten overalt", det vil si like utenfor et sett med mål null. Settet til disse klassene utgjør vektorrommet $L$ $2$ $(ℝ)$ . $f$ $[f]$

Siden kjernen til semi-normen er settet med ubetydelige (dvs. nesten overalt null) funksjoner til ℒ 2 (ℝ), får rommet $L 2 (ℝ)$ en Hilbert- romstruktur ved hjelp av prikkproduktet

{\ displaystyle ([f], [g]) _ {2} = \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) {\ overline {g}} (x) ~ \ mathrm {d} x}

og tilsvarende standard

{\ displaystyle \ | [f] \ | _ {2} = \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} | f (x) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} x \ right) ^ { 1/2}.}

Disse integralene avhenger ikke av representantene eller av ℒ 2 (ℝ) valgt for å karakterisere klassene eller av $L$ $2$ $(ℝ)$ . $f$ $g$ $[f]$ ${\ displaystyle [g]}$

Forenkling ved å bytte til definerte funksjoner nesten overalt

Det er praktisk og hyppig å identifisere en funksjon fra ℒ 2 (ℝ) til sin klasse i $L$ $2$ $(ℝ)$ . Så: $f$ $[f]$

Rommet $L 2 (ℝ)$ for summerbare kvadratfunksjoner er settet med (nesten overalt likhetsklasser av) målbare funksjoner definert nesten overalt på ℝ og med verdier i ℝ eller ℂ, slik at kvadratet til modulen deres er Lebesgue-integrerbar på ℝ.
$L 2 (ℝ)$ er et Hilbert-rom når det leveres med skalarproduktet

{\ displaystyle (f, g) _ {2} = \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) {\ overline {g}} (x) ~ \ mathrm {d} x.}

Noen eiendommer

Som et Hilbert-rom er $L 2 (ℝ)$ et komplett rom :

Hvis en sekvens i

L

2

(ℝ)

er Cauchy , eksisterer det en grense i

L

2

(ℝ)

(dvs. en funksjon som er definert nesten overalt på ℝ og med en summerbar firkant) slik at

(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}

f

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} | f-f_ {n} | ^ {2} ~ \ mathrm {d} x = 0.}

Dette er forestillingen om rot-middel-kvadratkonvergens . Det innebærer ikke nødvendigvis poenget konvergens nesten overalt.

Fra enhver konvergerende sekvens av $L 2 ( 2 )$ kan vi imidlertid trekke ut en sekvens som konvergerer punktlig nesten overalt. Med andre ord, hvis konvergerer til kvadratisk gjennomsnitt, kan vi finne en uendelig del av ℕ og et sett med mål null slik at $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $f$ $K$ $E$

{\ displaystyle \ forall x \ notin E, \ quad \ lim _ {n \ in K, n \ to \ infty} f_ {n} (x) = f (x).}

Den dominerte konvergenssatsen gir en tilstrekkelig betingelse for rot-middel-kvadratkonvergens:

La være en sekvens i

L

2

(ℝ)

som konvergerer nesten overalt mot en grense . Hvis det finnes en funksjon i

L

2

(ℝ)

og et nullmål satt slik at

(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}

f

h

E

{\ displaystyle \ forall x \ notin E, \ quad | f_ {n} (x) | \ leq h (x),}

konvergerer deretter i rot middel kvadrat til .

(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}

f

Summable kvadrat funksjoner i fysikk

I kvantefysikk har en bølgefunksjon assosiert med en partikkel et summerbart kvadrat i forhold til den romlige variabelen. Fysisk er faktisk kvadratet til bølgefunksjonens modul en sannsynlighetstetthet for tilstedeværelsen av partikkelen på punktet og for øyeblikket . Derfor er integriteten til denne firkanten 1, siden partikkelen er et sted i rommet. I mer matematiske termer har en bølgefunksjon norm 1 i rommet for summerbare firkantfunksjoner. ${\ displaystyle | \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ rangle}$ $\ vec r$ $t$

Merk

ℝ er her forsynt med både stammen Lebesgue og målestokken Lebesgue .

Se også