Stiefel-Whitney-klasse

I algebraisk topologi , de klasser av Stiefel-Whitney er karakteristiske klasser forbundet med vektorbunter virkelige endelige rang.

De utgjør derfor en reell analog av Chernes klasser i den komplekse saken.

De bærer navnene på Eduard Stiefel og Hassler Whitney .

Enhver karakteristisk klasse assosiert med ekte vektorbunter fremstår som et polynom i Stiefel-Whitney-klassene.

Axiomatic

Den entallige kohomologiklasser med koeffisienter i ℤ / 2ℤ-ringen til en hvilken som helst vektorpakke , ξ=E→B{\ displaystyle \ xi = E \ rightarrow B}

wikke(ξ)∈Hikke(B;Z/2Z) (ikke∈IKKE),{\ displaystyle w_ {n} (\ xi) \ in H ^ {n} (B; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ~ (n \ in \ mathbb {N}),}

er unikt bestemt av følgende aksiomer :

• w0(ξ)=1{\ displaystyle w_ {0} (\ xi) = 1}og for n strengt større enn dimensjonen til fibrene;wikke(ξ)=0{\ displaystyle w_ {n} (\ xi) = 0}
• hvis er et kontinuerlig kart, hvor betegner tilbaketrekningen av ξ med f  ;f:B′→B{\ displaystyle f: B '\ rightarrow B} f∗(wikke(ξ))=wikke(f∗(ξ)){\ displaystyle ~ f ^ {*} (w_ {n} (\ xi)) = w_ {n} (f ^ {*} (\ xi))}f∗(ξ){\ displaystyle f ^ {*} (\ xi)}
• hvis vi betegne , da der betegner Whitney summen og den kopp-produkt  ;w(ξ)=1+w1(ξ)+w2(ξ)+...{\ displaystyle w (\ xi) = 1 + w_ {1} (\ xi) + w_ {2} (\ xi) + \ ldots}w(ξ⊕ξ′)=w(ξ)⌣w(ξ′){\ displaystyle w (\ xi \ oplus \ xi ') = w (\ xi) \ smile w (\ xi')}⊕{\ displaystyle \ oplus}⌣{\ displaystyle \ smile}
• w1(γ1){\ displaystyle w_ {1} (\ gamma ^ {1})}er ikke-null-elementet av , der betegner den tautologiske linjebunten på ℝ P 1 .H1(RP1;Z/2Z){\ displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {R} P ^ {1}; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}γ1{\ displaystyle \ gamma ^ {1}}

Den siste betingelsen sørger for at klassene ikke er trivielle. Faktisk, hvis vi fjernet denne tilstanden, kunne vi stille for alle i > 0 . wJeg(ξ)=0{\ displaystyle w_ {i} (\ xi) = 0}

Konsekvenser

• Hvis er isomorf til , da .ξ{\ displaystyle \ xi}η{\ displaystyle \ eta}wikke(ξ)=wikke(η){\ displaystyle w_ {n} (\ xi) = w_ {n} (\ eta)}

• Det andre aksiomet sørger også for at Stiefel-Whitney-klassene til en triviell bunt er null (bortsett fra indeks 0). En triviell bunt er faktisk isomorf til fiberproduktet av en bunt på punktet, og kohomologien til et punkt er triviell i strengt positiv dimensjon.

• Det tredje aksiomet antyder at summen av en bunt med en triviell bunt ikke endrer Stiefel-Whitney-klassene. For eksempel summen av tangentbunten av S n med den normale bunt (som er en triviell bunt) er en triviell bunt, og derfor dens Stiefel-Whitney klasser er null for n > 0.

applikasjon

Hvis B er homotopisk ekvivalent med et CW-kompleks , kan en vektorpakke E → B orienteres hvis og bare hvis . w1(E)=0{\ displaystyle w_ {1} (E) = 0}

Utover det innrømmer en vektorpakke orientert på en manifold X en spinor-struktur hvis og bare hvis , og i dette tilfellet er de forskjellige spinor-strukturene i en-til-en-korrespondanse med . w2(E)=0{\ displaystyle w_ {2} (E) = 0}H1(X,Z2){\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathbf {Z}} _ {2})}

Merknader og referanser

1. (in) H. Blaine Lawson  (in) og Marie-Louise Michaelson , Spin Geometry , PUP ,1989( ISBN  978-0-691-08542-5 ), teorem 1,7 s. 82

Bibliografi

(en) John Milnor og James Stasheff , Characteristic Classes , Princeton University Press , koll.  "Annaler for matematikkstudier" ( nr .  76)1974( les online )

Relatert artikkel

Invariant De Rham  (in)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">