Poincaré-formodning

Den Poincaré formodning var en matematisk formodning innen algebraisk topologi vedrørende karakterisering av en spesiell manifold , den tredimensjonale sfære ; det ble demonstrert i 2003 av russeren Grigori Perelman . Den kan altså også kalles “Perelmans teorem”.

Det hadde til da vært en del av Smale-problemene og de syv " Millennium Prize-problemene " identifisert og priset i 2000 av Clay Institute of Mathematics . I 2006 ble denne demonstrasjonen validert ved tildelingen av en Fields-medalje til Grigori Perelman (som nektet den); I tillegg tildelte Clay Institute i mars 2010 offisiell tilsvarende pris til Perelman, som han også nektet, på grunn av "uenighet med matematiske fellesskaps avgjørelser".

Historisk

Formulering

Spørsmålet ble først stilt av Henri Poincaré i 1904, og lyder som følger:

Hver 3-manifold kompakt uten grense og rett og slett koblet er den homeomorf til 3-sfæren ?

Poincaré la med stor framsyn til en kommentar: "men dette spørsmålet vil ta oss for langt" .

Oftere er det et spørsmål om å bestemme om et gitt " tredimensjonalt objekt " som har de samme egenskapene som en 3D-sfære (spesielt alle løkkene kan "strammes" på et punkt ) faktisk bare er en deformasjon av ' en tredimensjonal sfære (den vanlige sfæren - overflate i vanlig rom - har bare to dimensjoner).

Ingen kantløs 3-manifold annet enn ( vanlig , ikke-komprimert rom) kan tegnes rent som et objekt i vanlig tredimensjonalt rom. Dette er en av grunnene til at det er vanskelig å mentalt visualisere innholdet i antagelsen. $\ mathbb {R} ^ {3}$

Nylig fremgang

Mot slutten av 2002 antyder publikasjoner om arXiv av Grigory Perelman fra Steklov Institute of Mathematics i St. Petersburg at han kan ha funnet bevis på " geometrization conjecture " (se nedenfor). Nedenfor ), og implementerte et program beskrevet tidligere av Richard S. Hamilton . I 2003 publiserte han en ny rapport og holdt en serie foredrag i USA . I 2006 konkluderte en ekspertkonsensus med at Perelmans nylige arbeid i 2003 løste dette problemet, nesten et århundre etter hans første uttalelse. Denne anerkjennelsen ble offisielt kunngjort på den internasjonale kongressen for matematikere 22. august 2006 i Madrid , der Fields-medaljen ble tildelt ham sammen med tre andre matematikere. Imidlertid nektet Perelman medaljen, og antydet at han også ville nekte Clay Prize . Denne prisen ble tildelt ham 18. mars 2010 sammen med en pris på en million dollar, og han nektet den faktisk. I følge Aleksandr Zabrovsky , som hevder å ha fått et intervju fra ham, fortalte han Komsomolskaya Pravda- avisen 29. april 2011 :

"Hvorfor tok jeg så mange år å løse Poincaré-gjetningen?" Jeg lærte å oppdage tomrom. Med kollegene mine studerer vi mekanismer for å fylle sosiale og økonomiske hull. Hulrom er overalt. Vi kan oppdage dem, og det gir mange muligheter ... Jeg vet hvordan jeg skal drive universet. Fortell meg da, hva er vitsen med å jage en million dollar? "

Men denne påstanden fra Zabrovsky er kontroversiell, med flere journalister som nekter ektheten til dette intervjuet.

Elementer knyttet til beviset på antagelsen

Mens antagelsen førte til en lang liste med uriktige bevis, førte noen av dem til bedre forståelse av smådimensjonal topologi .

Dens oppløsning er knyttet til problemet med klassifisering av tredimensjonale manifolder.En klassifisering av 3-dimensjonale manifolder anses generelt å være produksjonen av en liste over alle 3-dimensjonale manifolder opp til en homeomorfisme (uten gjentakelse).

En slik klassifisering tilsvarer en gjenkjenningsalgoritme, som kan verifisere om to tredimensjonale manifolder er homeomorfe eller ikke.

Poincaré-antagelse kan således betraktes som et spesielt tilfelle av geometrisering-antagelsen til Thurston . Denne siste antagelsen, en gang bevist (som Perelman gjorde i 2003), fullfører spørsmålet om klassifiseringen av tredimensjonale manifolder.

De eneste delene av geometrizasjonsspekulasjonen som gjenstod å demonstreres etter formuleringen av Thurston rundt 1980 ble kalt "hyperboliserings" -formodningen og "elliptiserings" -formodningen.

"Elliptiserings" -formodningen sier at enhver lukket tredimensjonal manifold som har en endelig grunnleggende gruppe har en sfærisk geometri, det vil si dekkes av 3-sfæren. Poincaré-antagelsen tilsvarer tilfellet der den grunnleggende gruppen er triviell.

Relaterte matematiske problemer

Antagelser som ligner på Poincaré i andre dimensjoner enn 3 kan også formuleres:

Enhver kompakt manifold med dimensjon n som er homotopisk ekvivalent med enhetssfæren er homomorf til enhetssfæren.

Poincaré-formodningen gitt tidligere ser ut som den spesielle saken n = 3.

Vanskeligheten med lav dimensjon i topologi forsterkes av det faktum at alle lignende resultater var bevist:

i dimensjon n = 4, uten tvil den vanskeligste, av Michael Freedman i 1982;
i dimensjon n = 5, av Erik Christopher Zeeman i 1961;
i dimensjon n = 6, av John R. Stallings i 1962;
for n ≥ 7 av Stephen Smale i 1961 (han utvidet deretter beviset til alle n ≥ 5),

mens den opprinnelige tredimensjonale versjonen av Poincarés antagelser forble uløst.

Merknader og referanser

(in) Beskrivelse av Poincaré-formodningen av Clay Institute of Mathematics .
"Matematikeren Perelman nekter en premie på en million dollar" , La Croix , 2. juli 2010.
(in) G. Perelman, Entropi-formelen for Ricci Flow og dens geometriske applikasjoner , 2002. " math.DG / 0211159 " , tekst fritt tilgjengelig på arXiv ..
(in) G. Perelman, Ricci flow with surgery is three-manifolds , 2003. " math.DG / 0303109 " , tekst fritt tilgjengelig på arXiv ..
(in) G. Perelman endelig utryddelsestid for løsningene til Ricci-strømmen er noen tre-manifolds , 2003. " math.DG / 0307245 " , tekst fritt tilgjengelig på arXiv ..
(in) Bruce Kleiner (in) og John Lott (in) , Notater om Perelmans papirer , 2006. " math.DG / 0605667 " , tekst fritt tilgjengelig på arXiv ..
(in) John Morgan and Gang Tian , Ricci flow and the Poincaré conjecture , 2006. " math.DG / 0607607 " , tekst fritt tilgjengelig på arXiv ..
(i) Huai-Dong Cao og Xi-Ping Zhu (i) , " A Complete Proof of the Poincaré Conjecture and Geometrization - Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow " , Asian J. of Math , vol. 10, n o tojuni 2006( les online ).
(in) Pressemelding fra Clay Mathematics Institute .
" Matematikk: en russer belønnet for Poincaré-formodningen " , på RTL Info (RTL-TVI) ,18. mars 2010( AFP- utsendelse ).
"Russland: matematiker som nekter Million Dollar Snakker, " fr.sputniknews.com, 29 april 2011.
Masha Gessen, " 6 странных ошибок в" интервью Перельмана " " [ arkiv av17. oktober 2012] , på Snob.ru ,29. april 2011(åpnet 8. mai 2012 ) .
" Интервью Перельмана - подделка? " [" Intervju med Perelman - falske? "] [ Arkiv av26. desember 2012] , Versii,5. mai 2011(åpnet 25. desember 2012 ) .
" Grigori Perelmans intervju full av uoverensstemmelser " [ arkiv av22. januar 2013] , Engelsk Pravda.ru,5. juni 2011(åpnet 25. desember 2012 ) .
(i) John Milnor , "The Poincaré Conjecture" i J. Carlson, A. Jaffe og A. Wiles , The Millennium Prize Problems , Clay Math. Institutt / AMS ,2006( les online ) , s. 71-86( s. 75 , eller s. 4 i denne .pdf ).

Se også

Relaterte artikler

Formodning generalisert Poincaré (en)
Formodning Borel (en)
Ricci flyter
Homotopigruppe
Liste over matematiske antagelser
Topologisk variasjon

Bibliografi

John Milnor, “ Mot Poincaré-formodningen og klassifiseringen av tredimensjonale manifolder ”, Gazette des mathématiciens , vol. 99,2004, s. 13-25 ( les online )
Gérard Besson , “ Bevis på Poincaré-formodningen ved å deformere metrikken ved Ricci-krumningen ”, Séminaire Bourbaki , t. 47, 2004-2005, s. 309-348 ( les online )

Eksterne linker

Patrick Massot, " La conjecture de Poincaré " , om matematikkbilder ,2012
" Arbeidsgruppe om arbeidet til Perelman " , om Institut Fourier