Avkortet Icosahedron

Beskrivelse av bildet truncatedicosahedron.gif.

Elementer

Ansikter	Kanter	Hjørner
32 (20 vanlige sekskanter og 12 vanlige femkanter )	90	60 av grad 3

Nøkkeldata

Type	Archimedean Solid
Karakteristisk	2
Eiendommer	Semi-vanlig og konveks, zonohedron
Symmetri gruppe	A 5 × C 2
Dobbel	Pentakidodecahedron

Den avkortede icosahedronen er et arkimedisk fast stoff . Den inkluderer 12 vanlige femkantede flater , 20 vanlige sekskantede flater , 60 hjørner og 90 kanter.

Denne polyedronen kan bygges fra en icosahedron (solid dannet av 20 vanlige trekantede flater) med en avkutting av de 12 hjørnene slik at en tredjedel av hver kant fjernes i hver ende. Dette skaper 12 nye femkantede ansikter, og erstatter de opprinnelige 20 trekantede ansiktene med vanlige sekskanter. Dermed er lengden på kantene en tredjedel av lengden på de opprinnelige kantene.

Kanoniske koordinater

De kanoniske koordinatene for toppunktene til en avkortet icosahedron sentrert ved opprinnelsen er henholdsvis de ortogonale rektanglene , de ortogonale flisene og deretter langs de ortogonale flisene:

{\ displaystyle \ left (0, \ pm 1, \ pm 3 \ varphi \ right), \ left (\ pm 1, \ pm 3 \ varphi, 0 \ right), \ left (\ pm 3 \ varphi, 0, \ pm 1 \ høyre)}

{\ displaystyle \ left (\ pm 2, \ pm (1 + 2 \ varphi), \ pm \ varphi \ right), \ left (\ pm (1 + 2 \ varphi), \ pm \ varphi, \ pm 2 \ høyre), \ venstre (\ pm \ varphi, \ pm 2, \ pm (1 + 2 \ varphi) \ høyre)}

{\ displaystyle \ left (\ pm 1, \ pm (2+ \ varphi), \ pm 2 \ varphi \ right), \ left (\ pm (2+ \ varphi), \ pm 2 \ varphi, \ pm 1 \ høyre), \ venstre (\ pm 2 \ varphi, \ pm 1, \ pm (2+ \ varphi) \ høyre)}

hvor er det gyldne forholdet . Ved hjelp av sjekker vi at alle disse toppunktene er på en radiuskule , sentrert på opprinnelsen. ${\ displaystyle \ varphi = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {2} = \ varphi +1}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {9 \ varphi +10}}}$

Geometriske relasjoner

Den avkortede icosahedronen bekrefter lett Euler-karakteristikken :

32 + 60 - 90 = 2.

Med kanter som er lik enhet, er området (avrundet) 21 for femkanter og 52 for sekskanter, noe som utgjør 73 i alt (se områder med vanlige polygoner ).

applikasjoner

En fotball har samme mønster av vanlige femkant og vanlige sekskanter, men er mer sfærisk på grunn av inflasjonstrykket og elastisiteten til materialet ballen er laget av.

Denne formen var også konfigurasjonen til linsene som ble brukt til å konsentrere eksplosjonsstøtbølgene fra detonatorene i Gadget- og Fat Man- atombombene .

Den avkortede icosahedronen brukes også som en modell av buckminsterfulleren- molekylet (C 60 ). Diameterene på fotballen og buckminsterfulleren-molekylet er henholdsvis 22 cm og ca. 1 nm , derfor er størrelsesforholdet 200.000.000 til 1.

Den avkortede ikosaeder i kunsten

En avkortet icosahedron med "solide kanter" er en tegning av Leonardo da Vinci , som illustrerer boken De divina proportione av Luca Pacioli .

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " name Truncated icosahedron " ( se forfatterliste ) .

(in) Richard Rhodes, Dark Sun: The Making of the Hydrogen Bomb , Touchstone Books, 1996 ( ISBN 0-684-82414-0 ) , s. 195 .

Se også

Relaterte artikler

Eksterne linker

" Avkortet icosahedron " , på Mathcurve
(no) Eric W. Weisstein , “ Truncated Icosahedron ” , på MathWorld
( fr ) Papirmønster av en avkortet icosahedron
(in) icosahedron avkortet sprang Virtual Reality (JVM kreves)

Bibliografi

(no) Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design , 1979 ( ISBN 0-486-23729-X )