En reell funksjon av en reell variabel kan differensieres på et punkt a når den innrømmer et endelig derivat ved a , det vil si intuitivt, når det kan tilnærmes på en ganske fin måte av en affin funksjon i nabolaget til a . Den kan avledes over et faktisk åpent ikke- tomt intervall hvis det kan skille seg fra hvert punkt i dette området. Det kan differensieres i et lukket og avgrenset reelt intervall (det vil si på et reelt segment ) ikke redusert til et punkt hvis det kan differensieres på det indre av dette intervallet og kan avledes til høyre ved sin venstre grense, og differensierbart til venstre i sin høyre terminal.
Avledbarheten vises vanligvis på to måter:
Differensialitet innebærer kontinuitet : praktisk talt, på et punkt som ikke er isolert fra definisjonsområdet for funksjonen, vil kontinuitet være en nødvendig forutsetning for å kunne studere differensierbarhet på dette punktet; hvis vi vet at en funksjon er differensierbar på et punkt, så vet vi at den er (tidligere) kontinuerlig på dette punktet. Men det omvendte er galt, som eksemplene nedenfor viser.
Den klasse av funksjoner C- 1 på en ikke-tom ekte intervall og ikke kan reduseres til et punkt ( for eksempel intervallet kalles "ikke- triviell ") er deriverbare funksjoner funksjonelt kontinuerlig første deriverte på dette intervallet. Differensierbarhet kan også oppfattes for funksjoner av den virkelige variabelen med verdier i et normalisert vektorrom . Det er også en forestilling om differensiering for funksjoner av den komplekse variabelen, men egenskapene til disse funksjonene er veldig spesifikke og fører til studiet av holomorfe funksjoner.
La f være en funksjon definert over et ikke-trivielt intervall I på ℝ og med verdier i ℝ og la a være et element i I , vi sier at f kan differensieres i a hvis en av følgende fire ekvivalente setninger holder:
Den første og andre setningen er ekvivalent: det er tilstrekkelig å sette x = a + h . Den tredje setningen tilsvarer de to andre, og de reelle tallene ℓ 1 , ℓ 2 og ℓ 3 er like; det illustrerer hva som menes med å nærme seg funksjonen med en "fin nok" affin funksjon.
I den fjerde utsagnet tilsvarer tangentens helling tallene ℓ 1 , ℓ 2 og ℓ 3 ; det er tallet avledet fra f i a . Det er funksjoner hvis representative kurve innrømmer en tangens ved a uten at funksjonen kan differensieres ved a : det er tilstrekkelig at tangenten til kurven er parallell med y-aksen.
La f være en funksjon definert på et intervall I som inneholder et intervall med formen [ a , t ] der t ≠ a , vi sier at f kan differensieres til høyre i a hvis begrensningen av f til intervallet [ a , t ] er avledet i en . Vi betegner deretter derivatet i a av denne begrensningen, og vi kaller det tallet avledet fra funksjonen f i a til høyre. På dens abscisse punkt et , kurven er representativ for f medgir en rett halv-tangent , ikke parallelt med ordinataksen.
Vi definerer på samme måte derivabiliteten til venstre ved a som derivabiliteten ved a av begrensningen av f til et intervall [ t , a ].
En differensierbar funksjon har er, a fortiori , differensierbar høyre og venstre er hvis a er et indre punkt i intervallet jeg . En funksjon kan være avledbar til høyre og til venstre i en uten å være avledbar i a . Hvis a er et punkt inne i intervallet I , kan f differensieres i et hvis og bare hvis det er differensierbart til venstre og til høyre i et med .
Dermed er funksjonene eller avledede til høyre og til venstre i 0 uten at de imidlertid kan avledes i 0 fordi derivatene til venstre og til høyre i 0 er forskjellige.
En funksjon som kan differensieres ved a er nødvendigvis kontinuerlig ved a . Avledbarheten til en funksjon blir derfor bare søkt på punkter der funksjonen allerede er kontinuerlig.
Det motsatte av denne påstanden er falsk: det finnes funksjoner som er kontinuerlige i en, men ikke forskjellig på dette punktet. Dermed er absoluttverdifunksjonen kontinuerlig ved 0, men kan ikke skilles fra på dette punktet. Den kvadratroten funksjon er kontinuerlig i 0, finnes det en kurve en tangent i det punkt av null abscisse men funksjonen er ikke deriverbar i 0. Endelig funksjonen x ↦ x sin (1 / x ) er forlenget med kontinuitet i 0, men fortsettelse er ikke avledbar i 0. Det eksisterer til og med kontinuerlige funksjoner ingen steder avledbare .
En funksjon avledet til høyre (henholdsvis til venstre) ved a er kontinuerlig til høyre (henholdsvis til venstre) på dette punktet.
Sum, produkt : Hvis f og g er to funksjoner definert i et ikke-trivielt intervall I og som kan differensieres i a , element av I , så er også funksjonene f + g , λ • f (for ethvert reelt λ) og f × g også differensierbar i en . Settet av utledbare funksjoner på I , forsynt med (restriksjonene i) to lover indre sammensetning + og x og den ytre sammensetningen lov • med virkelige operatører, er da en subalgebra av algebra av kontinuerlige funksjoner på jeg .
Invers : Hvis f er en bestemt og ikke-null-funksjon over et ikke-trivielt intervall I og kan differensieres ved a , element av I , så er dens inverse 1 / f også differensierbar ved a .
Forbindelse : Hvis I og J er to ikke-trivielle intervaller, hvis f er definert på I med verdier i J og hvis g er definert på J (og med reelle verdier), hvis f kan differensieres i et , element av I , og hvis g er differensierbar i f ( a ) så er forbindelsen g ∘ f differensierbar i a .
Gjensidig : Hvis f er et kontinuerlig og strengt monotont virkelig verdsatt kart på det ikke-trivielle intervallet I , vet vi ( bijeksjonsteorem ) at det induserer en sammenheng F fra intervallet I til intervallet J = f ( I ) ( direkte bilde intervall på I ved applikasjon f ); hvis dessuten f , derfor F , er differensierbart ved a , element av I , og av ikke-null derivat ved a , så er den gjensidige sammenhengen av F , kartet F −1 , differensierbar ved F ( a ).
I den forrige teoremet, sikrer det faktum at man tar en kontinuerlig, strengt monoton funksjon eksistensen av en kontinuerlig gjensidig vedeksjon av bijeksjonsteoremet. Vi finner også svakere versjoner av denne teoremet: hvis f er en sammenheng fra I på J som kan differensieres ved a med et ikke-derivat ved a og hvis den gjensidige av f er kontinuerlig ved f ( a ), kan den differensieres ved f ( a ).
Følgende teorem kalles noen ganger "derivatgrense teorem" eller "teorem om utvidelsen av en differensierbar funksjon": hvis f er kontinuerlig på I og differensierbar på I \ { a } og hvis f ' har en reell grense ℓ i a da f er forskjellig i a og f ' ( a ) = =. Denne egenskapen er en direkte konsekvens av den endelige økningsteoremet . Det er i denne formen at eiendommen vanligvis siteres, men det er også sterkere versjoner der de innledende forholdene er mindre restriktive, og dermed:
Disse utvidelsessetningene er veldig nyttige i tilfelle der driftsreglene gjør det mulig å definere et derivat bortsett fra et punkt.
En konveks funksjon i et åpent intervall kan differensieres til høyre og til venstre når som helst, og settet med punkter der derivatet til høyre er forskjellig fra derivatet til venstre er høyest tellbart .
En monoton funksjon over et intervall I kan skille seg nesten overalt . Denne setningen tilskrives Henri-Léon Lebesgue . For en kontinuerlig monoton funksjon er det en relativt rimelig demonstrasjon . Ved å vise at en hoppfunksjon nesten overalt har et nullderivat , trekker vi ut resultatet for en hvilken som helst monoton funksjon og, med forskjell, for en funksjon med begrenset variasjon (se nedenfor). Vi kan også bruke avledningsegenskapen nesten overalt for funksjoner med avgrenset variasjon fordi en monoton funksjon er av avgrenset variasjon.
Vi sier at f er k- lipschitzian over et intervall jeg hvis
En k- lipschitzian- funksjon på I kan skille seg nesten overalt. Det er mulig å utlede denne egenskapen fra det faktum at en k -lipchitzian- funksjon har begrenset variasjon, men vi kan enklere bruke det faktum at funksjonen x ↦ f ( x ) - kx er kontinuerlig monoton avtagende.
Denne egenskapen er et spesielt tilfelle av en mer generell teoremet, gjelder Lipschitzian kartene over en åpen mengde av ℝ n i ℝ m : Rademacher teorem .
En funksjon med begrenset variasjon kan skille seg nesten overalt.
Denne teoremet omfatter spesielle tilfeller av Lipschitzian-funksjoner og monotone funksjoner. Det gjelder for funksjoner med verdier i settet med realer, men også for funksjoner av den virkelige variabelen med verdier i settet med komplekser.
Definisjonen av en funksjon n ganger differensierbar gjøres ved induksjon:
Disse funksjonene kan differensieres i ethvert reelt intervall der de er definert:
Disse funksjonene kan skille seg unntatt på et "eksepsjonelt" sett:
Følgende funksjoner kan ikke differensieres på ℝ :
En ubestemt (rød) integral av en firkantbølge (blå) er kontinuerlig, men ikke forskjellig.
En ubestemt integral (rød) av hele delen (blå) er kontinuerlig, men ikke forskjellig.
Funksjonen x ↦ x sin (1 / x ) er kontinuerlig i 0, men ikke differensierbar til venstre eller til høyre.
Definisjonen strekker seg som den skal til å fungere med verdier i ℝ n eller mer generelt i et normalisert vektorrom . Enten I et område som ikke er redusert til et punkt, og f en funksjon som er definert på jeg med verdier i en normert rom vektor E . Er en del av jeg . Funksjonen f er deriverbar ved en hvis grense eksisterer i E .
Vi finner på samme måte definisjonen av avledbarhet til høyre og til venstre, det faktum at en funksjon som kan differensieres til venstre og til høyre i en og hvis derivat til venstre sammenfaller med derivatet til høyre, kan avledes i a .
Deriverbarheten er kompatibel med summen av funksjonene og multipliseringen med et reelt. De forskjellige funksjoner som er definert på I , med verdier i E og differentiable på en er en lineær underrom av alle funksjoner som er definert på jeg med verdier på E .
Det er også forestillingen om en n differensierbar funksjon.
Ekstensjonssetningene eksisterer også: en kontinuerlig funksjon på I differensierbar på I \ { a } og hvis derivat har en grense på a er differensierbar ved a (vi kan til og med være fornøyde med en funksjon som kan differensieres til høyre). For å bekrefte at enhver funksjon som er definert og differensierbar på] a , b ], hvis derivat har en grense på a , kan utvides til en funksjon som kan differensieres til høyre ved a , er det nødvendig at, i vektorområdet E , hvilken som helst sekvens de Cauchy konvergerer. Denne versjonen av utvidelsessatsen er derfor bare gyldig når E er et Banach-rom .
Vi definerer fortsatt på samme måte differensierbarheten til en funksjon fra ℂ til ℂ. La f være en funksjon definert på en åpen U av ℂ med verdiene i ℂ, og har et element av u . Funksjonen f kan differensieres i en hvis eksisterer.
Det viser seg at situasjonen er dypt annerledes enn den virkelige saken, se kompleks analyse .
En funksjon av ℂ i ℂ kan betraktes som en funksjon av ℝ 2 i ℝ 2 . Det er differensierbart ved a = x + i y hvis og bare hvis det kan differensieres ved ( x , y ), og hvis de delvise differensialene verifiserer likhet på dette punktet Hvis vi betegner med f = u + i v hvor u og v er funksjoner av ℝ 2 i ℝ, resulterer den siste likheten i følgende dobbel likhet
Man kan også definere en avledbarhet for funksjoner av ℂ i et normalisert vektorrom E på ℂ.
Det er andre definisjoner av derivabilitet som gjør det mulig å utvide eller begrense settet med avledbare funksjoner. Egenskapene til disse nye derivatene er da, avhengig av tilfelle, svakere eller sterkere.
La f være en funksjon definert i et åpent intervall I , og i et punkt på I sier vi at f er differensierbar i henhold til Schwarz i a hvis det eksisterer en reell f s ( a ) slik at Denne virkelige kalles det symmetriske derivatet av f at a .
En differensierbar funksjon er alltid differensierbar i henhold til Schwarz, og det symmetriske derivatet tilsvarer det klassiske derivatet, men det omvendte er falskt. Dermed kan absoluttverdifunksjonen differensieres i henhold til Schwarz i 0, av null symmetriske derivater, mens den ikke kan avledes i 0 for den klassiske definisjonen. Det er ikke engang nødvendig at funksjonen er kontinuerlig ved 0 for å kunne differensieres i følge Schwarz.
Hvis funksjonen f er kontinuerlig på I og hvis f s er kontinuerlig ved a, kan f skiller seg ut ved a .
For en kontinuerlig funksjon på I er eksistensen av et positivt symmetrisk derivat nok til å si at f øker og eksistensen av et konstant null symmetrisk derivat er nok til å bevise at f er konstant.
Denne forestillingen om avledbarhet ble foreslått i 1892 av Giuseppe Peano , som fant den nærmere verktøyet som ble brukt i fysikk, og som foretrakk det i matematikk fordi det gir sterkere resultater.
La f være en reell funksjon definert på en åpen A og har en reell. Funksjonen f er sterkt differensierbar eller strengt differensierbar i a hvis det eksisterer en reell f * ( a ) slik at
En strengt differensierbar funksjon i a er differensierbar i a og den sterke derivatet er lik det klassiske derivatet, men det finnes differensierbare funksjoner som ikke er sterkt differensierbare. Dette er tilfelle for eksempel funksjonen f ( x ) = x 2 sin (1 / x ) utvidet med kontinuitet i 0 ved å sette f (0) = 0 som kan differensieres ved 0, men ikke sterkt differensierbar på dette punktet.
Hvis funksjonen f er kontinuerlig differensierbar i a, er den sterkt differensierbar i a, men det eksisterer sterkt differensierbare funksjoner i en hvis derivat i a ikke er kontinuerlig. Hvis f er sterkt forskjellig på et åpent, kan det kontinuerlig skille seg på det samme åpne.