Begrenset utvikling

I fysikk og matematikk er en begrenset utvidelse (betegnet DL ) av en funksjon på et punkt en polynomisk tilnærming av denne funksjonen i nærheten av dette punktet, det vil si skrivingen av denne funksjonen i form av summen:

av en polynomfunksjon , og
en ubetydelig rest i nærheten av det aktuelle punktet.

I fysikk er det vanlig å forveksle funksjonen med den begrensede utviklingen, forutsatt at feilen (dvs. resten) som er gjort så er mindre enn den tillatte feilen. Hvis vi er fornøyde med en utvidelse av ordre en, snakker vi om en lineær tilnærming eller en affin tilnærming.

I matematikk, de begrensede utvikling gjør det mulig å finne mer bare de grensene for funksjoner, for å beregne derivater , for å bevise at en funksjon er integrerbar eller ikke, eller for å studere de stillinger av kurvene i forhold til tangentene .

Definisjoner

La $f$ en reell verdi funksjon definert på et intervall $I$ , og $x 0 \in jeg$ . Vi sier at $f$ innrømmer en begrenset utvidelse av orden n (forkortet DL n ) i $x 0$ , hvis det eksisterer $n + 1$ reelle tall $a 0 , a 1 , ..., en n$ slik at funksjonen definert av: ${\ displaystyle R: Jeg \ til \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + ... + a_ {n } (x-x_ {0}) ^ {n} + R (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + R ( x)}

sjekker:

R ( x )

har en tendens til

0

når

x

har en tendens til

x 0

, og dette "raskere" enn den siste termen av summen, det vil si at:

\ lim _ {{x \ rightarrow x_ {0}}} {\ frac {R (x)} {(x-x_ {0}) ^ {n}}} = 0.

Funksjonene $R som$ verifiserer dette er betegnet $o (( x - x 0 ) n )$ (se artikkelen “ Asymptotisk sammenligning ”, og nærmere bestemt familien av Landau-notasjoner ). Vi skriver derfor:

f (x) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n} ).

Det er vanlig å skrive en begrenset utvidelse ved å sette $x = x 0 + h$ :

f (x_ {0} + h) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} h ^ {i} + o (h ^ {n}).

Umiddelbare konsekvenser

Hvis $f$ medgir en DL 0 i $x 0$ , deretter $en 0 = f ( x 0 )$ .
Hvis $f$ innrømmer en DL n ved $x 0$ , så innrømmer den en DL k ved $x 0$ for ethvert heltall k < n .
En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at $f skal$ tillate en DL n ved $x 0$ er eksistensen av et polynom $P$ slik at $f ( x ) = P ( x ) + o (( x - x 0 ) n )$ . Hvis det er et slikt polynom $P$ , så er det uendelig mange andre, men bare en av dem er av grad mindre enn eller lik $n$ : resten av den euklidiske divisjonen av $P ( X )$ med $( X - x 0 ) n +1$ . Det kalles den vanlige delen , eller hoveddelen , av DL n av $f$ ved $x 0$ . Noen ganger identifiserer vi, ved misbruk av språk, DL n med sin vanlige del.

Operasjoner på begrenset utvikling

Sum Hvis f og g tillater to DL n ved

x 0

, da innrømmer f + g en DL n ved

x 0

, hvor den vanlige delen oppnås ved å legge til de to vanlige delene av DL n av f og g . Multiplikasjon med en skalar Hvis f innrømmer en DL n ved

x 0

, innrømmer λ f en DL n ved

x 0

, hvor den vanlige delen oppnås ved å multiplisere den vanlige delen av DL n av f med λ. Produkt Hvis f og g tillater to DL n i

x 0

, av respektive vanlige deler P og Q , da fg og PQ tillater en DL n i

x 0

, av samme vanlige del. Hvis

x 0

= 0, er denne vanlige delen resten av den euklidiske delingen av PQ med X n +1 . Omvendt Hvis u (

x 0

) = 0 og hvis du innrømmer en DL n ved

x 0

, da

1 / 1 - u

innrømmer en DL n . Den faste del av dette begrenset utvidelse er at for DL n av ved

x

0

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} u ^ {k}

Quotient Vi kan kombinere produktet og det motsatte, eller dele i henhold til økende krefter for den vanlige delen av telleren med nevneren. Sammensetning Hvis u innrømmer en DL n i

x 0

av vanlig del P og hvis v innrømmer en DL n i u (

x 0

) av vanlig del Q , så har v ∘ u og Q ∘ P en DL n i

x 0

, av samme del vanlig. "Integrering" Hvis f innrømmer en DL n ved

x 0

, så innrømmer enhver primitiv F av f en DL n + 1 ved

x

0

som er

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n })}

{\ displaystyle F (x) = F (x_ {0}) + \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {i + 1}} (x-x_ {0} ) ^ {i + 1} + o ((x-x_ {0}) ^ {n + 1}).}

Derivasjon Det er ingen generell setning om eksistensen av en DL n ved

x 0

for derivatet av en funksjon som innrømmer en DL n + 1 ved

x 0

. For eksempel, i

0

, tillater funksjonen x ↦ x 3 sin (1 / x ) - utvidet med

0 \mapsto 0

- en DL 2 (den er

0 + o ( x 2 )

), men dens derivat tillater ikke fra DL 1 . På den annen side, hvis

F '

innrømmer en DL n ved

x 0

, er den vanlige delen av denne DL deriverte av den vanlige delen av DL n + 1 av F ved

x 0

Begrenset utvikling og avledbare funksjoner

Taylor - Young- setningen sørger for at en funksjon $f$ differensierbar $n$ ganger på punktet $x 0$ (med ) innrømmer en DL n på dette punktet: ${\ displaystyle ne \ geq 1}$ ${\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {f' '(x_ {0})} {2! }} (x-x_ {0}) ^ {2} + \ prikker + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})}$ enten i forkortet skrift $f (x) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} {\ frac {f ^ {{(i)}} (x_ {0})} {i!}} (x-x_ {0 }) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})$ .

Vi beviser det ved induksjon på n , takket være setningen ovenfor om term-til-term “integrering” av en DL.

Eksistensen av en DL 0 ved $x 0$ tilsvarer kontinuiteten ved $x 0$ , og eksistensen av en DL 1 ved $x 0$ tilsvarer differensierbarheten ved $x 0$ . På den annen side antyder eksistensen av en DL n i $x$ $0$ ikke at funksjonen er ganger differensierbar i $x$ $0$ (for eksempel x ↦ x 3 sin (1 / x ) - forlenget av kontinuitet i $0$ - innrøm, i $0$ , en DL 2, men ingen andre derivat). $n \ geq 2$ $ikke$

Noen bruksområder

Utviklingen av orden $0$ i $x 0$ tilsvarer å skrive at $f$ er kontinuerlig i $x 0$ : ${\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + o ((x-x_ {0}) ^ {0}) = f (x_ {0}) + o (1)}$

Den begrensede utvidelsen av orden $1$ i $x 0$ tilsvarer å nærme seg en kurve med dens tangens i $x 0$ ; vi snakker også om affin tilnærming : $f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0})$ . Dens eksistens tilsvarer avledbarheten til funksjonen ved $x 0$ .

Den begrensede utvidelsen av orden $2$ i $x 0$ tilsvarer å nærme seg en kurve ved en parabel , eller kvadratisk lov, i $x 0$ . Det gjør det mulig å spesifisere kurvens posisjon i forhold til dens tangens i nærheten av $x 0$ , forutsatt at koeffisienten til grad 2 ikke er null: tegnet på denne koeffisienten gir faktisk denne posisjonen (se også artikkelfunksjonen konveks ).

Endringen av variabel $h = 1 / x$ gjør det mulig å bruke en DL 0 ved $0 for$ å finne en grense ved uendelig, og fra en DL 1 ved $0$ bestemme ligningen til en asymptote (som for tangenten, gjør DL 2 det mulig å spesifisere posisjonen til kurve i forhold til asymptoten).

Noen eksempler

Følgende funksjoner har DL n i $0$ for ethvert heltall n .

${\ frac 1 {1-x}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} x ^ {i} + {\ frac {x ^ {{n + 1}}} {1-x} } = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} x ^ {i} + o (x ^ {n})$ (en konsekvens er summen av den geometriske serien ).
$ln (1 + x )$ ved integrering av forrige formel for n = m - 1, endring av x til –x og endring av indeks k = i + 1 ${\ displaystyle = \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}} x ^ {k} + o (x ^ {m})}$
$e x$ (ved bruk av Taylors formel) ${\ displaystyle = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} x ^ {i} + o (x ^ {n})}$
$sin for$ å bestille 2 n + 2. Hoveddelen av DL for å bestille 2 n + 1 er den samme fordi ordet i $x$ $2$ $n$ $+2$ er null (som alle ord med jevne eksponenter) og $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+2$ $) =$ $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+1$ $)$ . ${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} x ^ {2i + 1} + o (x ^ {2n + 2})}$
$cos$ i rekkefølge 2 n + 1. Hoveddelen av DL i rekkefølge 2 n er den samme, fordi begrepet i $x$ $2$ $n$ $+1$ er null (som alle termer med odde eksponent) og $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+1$ $) =$ $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $)$ . ${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} x ^ {2i} + o (x ^ {2n + 1})}$
$(1 + x ) a$ ${\ displaystyle = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} \ left (\ prod \ limits _ {j = 0} ^ {i-1} (aj ) \ høyre) x ^ {i} + o (x ^ {n}).}$

Disse eksemplene kan også utvikles i hele serien .

Skjema

Flere vanlige funksjoner tillater en utvidelse begrenset til $0$ , som kan brukes til å utvide spesialfunksjoner:

$(1 + x) ^ {a} = 1 + ax + {\ frac {a (a-1)} {2!}} X ^ {2} + {\ frac {a (a-1) (a-2 )} {3!}} X ^ {3} + \ cdots + {\ frac {a (a-1) (a-2) ... (a- (n-1))} {n!}} X ^ {n} + o (x ^ {n})$
${\ frac 1 {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots + x ^ {n} + o (x ^ {n})$
${\ frac 1 {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + \ cdots + (- 1) ^ {n} x ^ {n} + o (x ^ {n })$
${\ displaystyle \ ln {(1-x)} = - x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots - { \ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle \ ln {(1 + x)} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots + (- 1) ^ {n-1} {\ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} + o (x ^ {2n + 1})}$
${\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$tan$ , hvorer Bernoulli-tallene . ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} (- 4) ^ {n} (1-4 ^ {n})} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}$ $B_ {n}$
$koselig$ ${\ displaystyle x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n }} {(2n)!}} + O (x ^ {2n + 1})}$
$sinh$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + O (x ^ {2n + 2})}$
$tanh$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} 4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n} )}$
$bueskinn$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ {5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5} } + \ cdots + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1 )}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arccos$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} - x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ { 5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5}} - \ cdots - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arctan$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arsinh$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots ( 2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$artanh$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}$

Avgrens tilnærminger: begrenset utvidelse av ordre 1

Man bruker ofte begrensede utvidelser av ordre 1 (også kalt “affine approximations” , eller “tangent affine approximations” ), som gjør det mulig å legge til rette for beregninger, når det ikke kreves for stor presisjon; de er gitt, på punkt $x 0$ , av:

{\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + (x-x_ {0}) f '(x_ {0}) + o (x-x_ {0})}

(vi finner ligningen av tangenten til grafen til $f$ ).

Spesielt har vi på punkt $0$ :

(1+x)på=1+påx+o(x){\ displaystyle (1 + x) ^ {a} = 1 + ax + o (x)} ${\ displaystyle (1 + x) ^ {a} = 1 + ax + o (x)}$ og så
- ${\ frac 1 {1 + x}} = 1-x + o (x)$ og
- ${\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = 1 + {\ frac {x} {2}} + o (x) ~;}$
${\ displaystyle \ ln {(1 + x)} = x + o (x) ~;}$
${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + o (x).}$

Vanlig utvikling i $0$ av trigonometriske funksjoner

For å bestille 2:
- ${\ displaystyle \ sin x = x + o (x ^ {2})}$ , , ${\ displaystyle \ arcsin x = x + o (x ^ {2})}$
- ${\ displaystyle \ tan x = x + o (x ^ {2})}$ , , ${\ displaystyle \ arctan x = x + o (x ^ {2})}$ disse formlene er ofte kjent som tilnærminger med liten vinkel , og
å bestille 3: ${\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + o (x ^ {3})}$ .

Merknader og referanser

Begrepet begrensede utvikling kan generaliseres i det tilfelle hvor funksjonen har komplekse eller vektorverdier , men dette tilfellet ikke er kontaktet i denne artikkelen; for andre generaliseringer, se artikkelen asymptotisk utvikling .
Jacqueline Lelong-Ferrand og Jean-Marie Arnaudiès , matematikkurs , t. 2: Analyse , Bordas,1977, 4 th ed. , s. 148, definisjon IV.7.2; selve polynomet (som er unikt hvis det eksisterer) kalles av dem begrenset utviklet av $f$ , og betegnet $DL n ( f )$ eller, hvis presisjon er nødvendig, $DL n ( f , x 0 )$ .
For en demonstrasjon, se for eksempel § "Definisjon" i kapitlet "Begrenset utvikling" på Wikiversity .
For en demonstrasjon, se for eksempel § "Sum og produkt" i kapitlet "Begrenset utvikling" på Wikiversity .
Et eksempel presenteres i avsnittet "Komposisjon" i kapitlet "Begrenset utvikling" på Wikiversity .
Dette er en anvendelse av L'Hôpitals regel . For en demonstrasjon, se for eksempel § “Derivasjon og integrering term til term” i kapitlet “Begrenset utvikling” på Wikiversity .
Se for eksempel § “Taylor formler” av kapittelet “Limited utviklingen” på Wikiversity .

Relaterte artikler