Skalaeffekt

Den skala virkning omhandler de fysiske konsekvenser som kommer fra den endring av dimensjonen av et legeme eller mer generelt av en fysisk kvantitet .

Skalaeffekten gjelder menneskeskapte produkter, men også den levende verden og fysikk generelt. Når modifikasjonen er en homøthet , bevares proporsjonene.

Økonomi

Skalaeffekten manifesterer seg spesielt innen økonomi , når økningen i produksjonsvolum som er tillatt av arbeidsdelingen, genererer besparelser i den forstand klassiske økonomiske modeller forstår det. Dette er referert til som en stordriftsfordel .

Imidlertid viser loven om avtagende avkastning utover en viss grense at skalaeffekten ikke lenger fungerer som en besparelse, men som en ekstra kostnad.

Lov om firkanter og terninger

Lengden varierer i L, området i L 2 , volumet i L 3 . Når vi dobler dimensjonen til en kropp:

• dens område er multiplisert med 2 2 = 4; området øker dobbelt så raskt som lengden.
• dets volum er multiplisert med to 3 = 8; volumet øker dobbelt så raskt som overflaten.

ved konstant tetthet multipliseres massen også med 8.

• Søknad innen dynamikk. Vi vurderer kreftene relatert til bevegelse (f.eks. Klapping av vingene til en fugl av en kolibri). Ved like slagfrekvens er treghetsbegrensningene = 1/2 m V² relatert til hastigheten i kvadrat, derfor til lengden i kvadrat og til massen (lengden til kuben). Når vi dobler dimensjonen, multipliseres tregheten med 2 5 = 32.
• Søknad innen statikk. Bøyemomentet til en bjelke, under påvirkning av sin egen vekt, varierer med spennvidden L (avstanden mellom støtter):

Bøyemoment Mt = P. L / 8, med P = bjelkens masse

Bøying forårsaker strekk- og trykkspenninger som avhenger av strålens del:

spenning = Mt / t (høyde på bjelken)

For en bjelke med kvadratisk seksjon hvis høyde er lik en tidel av lengden, vil vi ha:

P = volum × tetthet = lengde × snitt × tetthet = L x ( 0,1  L x 0,1  L ) x tetthet = 0,01  L 3 × tetthet spenning = 0.01  L 3 x L x tetthet / 8 / 0,1  L = densitet x L 4 /80

Hvis vi dobler lengden på bjelken, multipliseres spenningen med 2 4 = 16.

Levende verden

Pustesystem

De insekter er liten og begrenset i størrelse av deres luftveiene , noe som gjøres ved trakeal lesings inne i kroppen. For et gitt oksygeninnhold i luften tillater ikke dette åndedrettssystemet mer effektiv gassutveksling, fordi det hovedsakelig er passivt. Utover noen få centimeter ville det indre kroppen til et insekt neppe bli oksygenert, noe som begrenser deres maksimale størrelse.
De virveldyr var i stand til å tilegne seg mye større størrelser fordi deres respiratoriske systemer ulike allierte i deres blodet er langt mer effektive og dermed ikke begrense deres størrelse som i tilfelle av insekter. Størrelsene deres er begrenset av andre faktorer, først og fremst vektbegrensninger på skjelettet .

Termisk energiforbruk

Eller et veldig lite dyr, gjennomsnittlig størrelse 3  cm , masse 3 gram. Tenk på et stort dyr, gjennomsnittlig størrelse 3  m , masse 3 tonn. Skalafaktoren er 100. Arealet multipliseres med 100 2 eller ti tusen, volumet med 100 3 eller en million.

Det store dyret har hundre ganger lavere hudoverflate / masseforhold.

Våre to dyr er varmblodige. Anta at den samme ytre temperaturen er lavere enn kroppens. Det lille dyret som har en overflate av huden ( varmetap ) 100 ganger sterkere (redusert til massen) vil bruke proporsjonalt 100 ganger mer energi for å opprettholde temperaturen. Med en sammenlignbar livsstil (fysisk aktivitet, romtemperatur), må han spise 100 ganger mer (i forhold til vekten, alltid).

Eksempler

• De største dyrene (sjøpattedyr, elefanter) spiser 2% til 7% tilsvarende vekten sin per dag.
• Mindre pattedyr og sjøfugler som bruker mye energi spiser tilsvarende sin egen vekt per dag.
• Kolibrien eller fluefuglen , varmblodig og flygende, kan spise dobbelt så mye som vekten per dag. Om natten lar noen kolibrier kroppstemperaturen synke for å begrense varmetapet.

Dyrstyveri

Fugler er varmblodede dyr, med lignende tetthet, med sammenlignbar motorisering og drivstoff (muskler, oksygen og glukose levert av blodet). Når størrelsen øker, øker massen raskere enn området. Siden vingens løftekoeffisient varierer lite, øker minimumshastigheten med størrelsen. En fugl som er fire ganger større, må fly minst 2 ganger raskere. Mindre fugler kan generere tilstrekkelig løft ved å klappe vingene med høy frekvens, men treghetskrefter assosiert med størrelse tvinger større fugler for å redusere denne frekvensen. De må løpe på bakken i vinden eller miste høyde for å nå minimum flyhastighet.

• Kolibrien er den minste fuglen. Vingespenn 10  cm , overflate ca. 25  cm 2 , masse 3 gram. Dens vingelast (masse / areal) på 1,2 kg / m 2 og dens lave treghetsbegrensninger tillater en veldig høy vingeflagfrekvens, rundt 50 ganger per sekund. Kolibrien er den eneste fuglen som kan opprettholde en svev.
• En passerine , 30 gram, 2,7 kg / m 2 , kan ikke fly på plass, men kan ta av uten å få starthastighet ved å klatre bratt i noen retning, uavhengig av vind.
• En hakkespett, 200 gram, 6 kg / m 2 er mer belastet per kvadratmeter. Den flyr av et tre, og begynner med å miste 1 til 2 meter i høyden for å få fart.
• En and eller måke, 1,2  kg , 7 til 8 kg / m 2 , tar av og lander medvind, bortsett fra i en nødsituasjon. En and kan lande på vannet med vinden på baksiden til tross for en tilnærmingshastighet som åpenbart er for høy: den utfører hydrodynamisk bremsing med svingete føtter bredt fra hverandre og danner avbøyninger, og avslutter løpet med et endelig sprut .
• De største fuglene, kondoren, 15  kg , ca 10 kg / m 2 , eller den raske 19  kg , den mest belastede per kvadratmeter, kan ikke fly uten lang drag i bakken eller uten hjelp fra motvind. Gribbene venter på de termiske oppstramningene på ettermiddagen for å fly. Bustards og svaner flyr lite, men raskt (høye energiforbruk som ikke kan opprettholdes lenge uten dynamisk eller termisk oppstramning). Det ser ikke ut til at en fugl som veier mer enn 25  kg kan ta av, bortsett fra i sterk motvind (> 10  m / s ) eller når du mister høyden (bekreftes).
• The Daedalus , en pedal plan designet og bygget av MIT i USA, kan betraktes som den største dyre- drevet fugl . Span 34  m , flåten vakuum 32  kg bare (meget lett, men også meget skjør), vingelaste 3,4 kg / m 2 , piloteffekten kontinuerlig omtrent 200 til 300  W . Det er dette ganske lave kraftnivået som forklarer den lave vingelastingen, fordi en høyere belastning vil føre til en flyhastighet som krever for mye kraft fra piloten. Flytid 4 timer, forbruk 1,5 liter per time energidrikk, dvs. et spesifikt forbruk på 5 kg / (kWt) (30 ganger mer enn en bensinmotor som krever rundt 160 g / (kWt)). Forutsatt 6 timers flytur per dag, ville vi ha en vekt på mat per dag på minst 10  kg , sammenlignet med totalvekten til fartøyet (104  kg ), noe som ville utgjøre 10%.

Anleggsvirksomhet, bygninger og jordvitenskap

Boliger

En isolert paviljong har mye mer utvekslingsflate i forhold til volumet enn en stor bygning. For eksempel :

• en liten enebolig på 70  m 2 beboelig (dimensjoner 10 x 7, høyde 2,5  m ) har en total fasade og et takareal (ved 45 ° ) på 185  m 2 ;
• en bygning som består av 8 ganger dette arealet på 4 nivåer, dimensjoner 48 x 12 x 10  m , vil ha 2300  m 2 av totalt utviklet areal for 32 leiligheter, dvs. 72  m 2 bytteareal per leilighet i gjennomsnitt, dvs. nesten 3 ganger mindre;
• en leilighet i denne bygningen, hvis den har naboer på sidene, over og under, kan bare ha 12  m fasade, dvs. 12 x 2,5 = 30  m 2 utvekslingsflate, noe som gjør 6 ganger mindre.

Områdeovergang

Som vi ser ovenfor multipliseres strekk- / trykkspenningen i materialet med 16 hvis vi dobler lengden på en bjelke .

• Steinspenn som arbeider i fleksjon (dolmens, lintels): egenvekten til steinblokkene og skalaeffekten begrenser bruken av stein som et kryssende materiale. Steinen motstår godt i kompresjon, men mye mindre godt i trekkraft (skal kvantifiseres). Fra et spenn på xx m bryter en steinbjelke under egen vekt.

Det tok oppfinnelsen av hvelvet (som får materialet til å fungere i komprimering og ikke lenger i bøyning) for å øke spennlengden og tillate bygging av steinbroer i stedet for tre.

• Store spenn: prinsippet om det lave hvelvet ( Anji-broen i Kina, 580 e.Kr  .; prinsippet anvendt i Europa 800 år senere) gjorde det mulig å øke spennet, på bekostning av en økning i trykkbelastning i steinen og veldig sterk sidestøt mot støttene. Grensen for bueprinsippet er materialets trykkfasthet og motstandskapasiteten til kantene som buen hviler på.
• Veldig store spenn. Prinsippet med solid bjelke er ekskludert, det ville ikke engang støtte sin egen vekt. Spenningsnivået i systemet reduseres ved å separere og spre så langt som mulig de strammede og komprimerte delene ( bindingsverkstruktur , kabelstansbroer ). Reduksjon av egen vekt ( stål dekk i stedet for betong, høyfast stålkabler ) er avgjørende.

Store steinbygninger

Du kan ikke øke høyden på en steinbygning på ubestemt tid. Det er en grense, der steinen ved bunnen av konstruksjonen krasjer under bygningens egen vekt. Arbeidet med å lette de øvre delene av katedralene oppfyller dette kravet. Det akademiske prosjektet til et 300 meter stort tårn som ble foreslått i stedet for Gustave Eiffels metalltårn, ville ha utgjort svært alvorlige mulighetsproblemer for selve bygningen, dens motstand mot vinden og også for dens fundament. Langs Seinen. Den høyeste steinbygningen ville være Washington Obelisk, 169  m høyde, ferdig i 1885.

Anleggsarbeid og geologi

Skalaeffekter er blitt observert i jord-struktur interaksjoner. Således er dispersjonskoeffisienten i rettlinjede karstiske ledninger utsatt for en skaleringseffekt, opp til en viss avstand utover hvilken den klassiske Fickian- dispersjonsprosessen gjelder , karakterisert ved en konstant dispersjonskoeffisient .

Utstyr

Transportmaskiner

Skalaeffekten bestemmer delvis energieffektiviteten til transport.

Kjøretøy

Sammenligning av bil / buss. Ved konstant hastighet avhenger total luftmotstand av den aerodynamiske luftmotstanden og rullemotstanden.

Den aerodynamiske luftmotstanden er en funksjon av frontområdet multiplisert med Cx bil, S = 1,80  m 2 , Cx = 0,34, S × Cx = 0,62  m 2 trener, S = 5,8  m 2 , Cx = 0,7, S × Cx = 4,1  m 2

Hvis bussen bærer 30 personer og bilen 2, er det et dragområde per person på 0,13  m 2 i bussen i stedet for 0,30 m 2 i bilen, til tross for vognens  mye mindre strømlinjeformede aerodynamikk. Frontområdet, som er avgjørende, øker mindre raskt enn volumet som er tilgjengelig for passasjerene.

merk: homøtheten respekteres ikke, bussen er lenger i proporsjon.Skip Stabiliteten til seilbåter

Under påvirkning av vinden hæler seilbåten (han lener seg). Likevektstilstanden oppnås når vippemomentet er lik rettingsmomentet. For en gitt vindkraft:

• vippemomentet avhenger av høyden på baldakinen og overflaten, varierer derfor i L x L 2 = L 3
• rettingsmomentet avhenger av vekten og den horisontale avstanden (av spakarmen) mellom midten av skroget og tyngdepunktet, varierer derfor i L x L 3 = L 4

Stabiliteten øker med L 4 / L 3 = L. Den øker med skaleringsfaktoren: en 1/10 skala modell av en seilbåt er 10 ganger mindre stabil enn den virkelige. For å korrigere, må den reduserte modellen være mer ballastert enn den virkelige. Modellkonkurranse-seilbåter (klasse M, lengde 1,27  m ) er ikke modeller av faktiske seilbåter. De har mer enn doblet trekk (ballastarm) og er veldig tungt ballastert (blytorpedoer). Forholdet mellom ballast og forskyvning er mye sterkere enn i virkeligheten (75% i stedet for 30%).

Motstand mot avansering i henhold til størrelse

Trekket (motstand mot fremrykk) av et skip avhenger av friksjonsoverflaten med havet og bølgedraget.

• Det fuktede området varierer med kvadratet av lengden. Jo større fartøy, jo lavere er den fuktede overflaten (friksjonsmotstand) til forskyvning (volum, vekt).
• Friksjonskoeffisienten avtar med økende lengde og med økende hastighet. Beregningen med en hastighet på 20 knop ( 10  m / s ) gir følgende størrelsesordener (× 10 −3 ):

lengde 50  m , Cf = 1,70 lengde 100  m , Cf = 1,56 lengde 200  m , Cf = 1,43 (0,001 43)

• Bølgedraget varierer med volumet (lengdekuben) og avhenger også av forholdet mellom hastighet og lengde, preget av Froude-tallet Fn):

Fn = V / (g × L) 0,5

Når farten forblir konstant, jo større skipet er, jo mindre bølgesystemet genereres av skroget, jo lavere er bølgekoeffisienten.

Skalaeffekten virker direkte på dragbalansen og derfor på den økonomiske avkastningen: store skip (oljetankskip, containerskip ) er de mest økonomiske.

Relativ vektmotstand (R / Delta) ved marsjfart:

Stort, tregt fartøy (300  m , 15 knop), Fn 0,15, R / D = 0,001 (motstand er en tusendel av vekten) Krigsskip (200  m , 25 knop), Fn 0,30, R / D = 0,030 (30  kg per tonn) NGV ( høyhastighetsfartøy ), Fn 0,70, R / D = 0,080 Utvalgt; Fn 1.0, R / D = 0.15 (150  kg per tonn, motstanden er 15% av vekten). Tankprøver av skrogene

Bassengmodellene er i redusert skala: skaleringsfaktoren er ofte større enn 10 eller 20. De større bassengene, som B-600 til DGA i Val-de-Reuil (545  m lange), tillater modeller opp til 10  m lang, dvs. 1/20 av en 200  m lang bygning. Mindre bassenger, som den 200  meter lange École centrale de Nantes , gjør det mulig å bruke modeller på 2 til 3 meter. Skalafaktoren kan da overstige 50. Overflate / volumforholdene til modellen og den virkelige er da veldig forskjellige, og nedbrytningen av det målte luftmotstanden er også veldig forskjellig: friksjonsslyngen (våt overflate) er større i bassenget .

Motstanden målt ved bekkenet er en total drag Rtot = friksjonsdrag (relatert til overflaten) + bølgedrag (relatert til volumet).

man bestemmer i henhold til planen for formene den våte overflaten (i statisk), vi beregner den teoretiske friksjonsmotstanden (Rf) av skroget , som blir ekstrapolert til kvadratet til det virkelige, vi finner ved subtraksjon (Rtot - Rf) bølgebanen, som vil bli ekstrapolert til kuben til den virkelige.

Siden den dynamisk fuktede overflaten er forskjellig fra den statiske fuktede overflaten, er dette en kilde til feil, spesielt når det gjelder raske fartøy  :

svever: reduksjon av den fuktede overflaten, ikke-høvling: økning i den laterale fuktede overflaten ( buebølge ).

Optimaliseringstester av form, trim, vedheng kan gi en fordel til bekkenet som vi ikke nødvendigvis finner i virkeligheten.

Problem med vedlegg og små lagerflater ( folier ): friksjonskoeffisientene er veldig forskjellige mellom modellen og den virkelige på grunn av laminariteten som kan være total på modellen (veldig lav luftmotstand) og den mye høyere ruheten til den virkelige . Disse laminaritetsproblemene kan reduseres ved å legge til turbulensstimulator til modellene.

Skalamodeller, tall uten dimensjoner

Spesielt i væskemekanikk utføres tester på store maskiner (skip, fly osv.) I liten skala. Jo større skaleringsfaktor, jo mer er fordelingen av de forskjellige stiene (friksjon, bølge) forskjellig mellom modellen og den virkelige; uttrykkets skalaeffekt får en presis betydning.

For eksempel, i studiet av en strømning rundt en hindring, må kjølvannet, i nærmeste skala, omfatte det samme systemet med bølger, virvler eller turbulens på modellen og prototypen. Å si at fenomenene er like mye som å si at visse invarianter må bevares når man endrer skala. Disse invarianter er derfor dimensjonsløse tall som må konstrueres ut fra dimensjonale størrelser som kjennetegner fenomenet (for mer detaljer, se Likhet med reduserte modeller ).

Blant disse dimensjonsløse tallene er noen lengdeforhold: deres bevaring karakteriserer den geometriske likheten som ikke krever spesielle kommentarer. Bare de som involverer fysiske mengder er av interesse her.

I noen problemer kan det antas at bare ett dimensjonsløst tall skal holdes. I aerodynamikk er dette ofte tilfelle med Mach-tallet i hastigheter som er høye nok til at kompressibiliteten til luften ikke lenger er ubetydelig.

Likhetsforhold

Vilkårene for likhet kan være uforenlige. Når du flytter et modellskip, vil det i prinsippet være nødvendig å holde samtidig:

• at Reynolds tall for å beskrive den friksjon på skroget,
• den Froude-tall for å beskrive bølgesystemet og kjølevannet på den frie overflate.

En rask inspeksjon av formlene viser at en reduksjon av skalaen, under disse forholdene, skal ledsages av begge:

• en økning i modellens hastighet for å tilfredsstille Reynolds likhet,
• en reduksjon i hastighet for å tilfredsstille Froudes likhet.

I umuligheten av å beregne teoretisk eller presist bølgedraget (det er nettopp for dette vi utfører tester i bassenget) respekterer man likheten til Froude, og man beregner den teoretiske friksjonsmotstanden med tanke på l'-stigen. Når skaleringsfaktoren er viktig, resulterer enhver upresisjon i beregningen av friksjonen (effektiv fuktet overflate, lokal hastighet høyere enn tilførselshastigheten, ruhet, omfanget av laminariteten mer eller mindre kjent) til en enda mer upresisjon. Høy bølgemotstand fordi den blir ekstrapolert til skalaen. Jo nærmere modellen er faktisk størrelse, jo mer nøyaktige beregninger. Det var dette som førte til konstruksjon av store testbassenger (over 500  meter lange).

Fly

Hvis vi øker størrelsen på et fly, øker massen raskere enn overflaten, øker vingebelastningen (F / S i newton per kvadratmeter ).

F = 1/2 ρ V 2 S Cz

Med samme løftekoeffisient (Cz) bør flyhastigheten i teorien økes: V skal følge roten til skalafaktoren: flyet dobbelt så stort skal fly 1,4 ganger raskere.

• Fartsgrense. Hvis vi ønsker å holde oss i det subsoniske området (under lydbarrieren) av økonomiske årsaker knyttet til aerodynamikk og motorisering, kan vi ikke overskride en hastighet på 0,86 Mach. Det er en ekte vegg. Hvis flyet er større, derfor tyngre, kan vi bare spille på vingebelastningen.
• men vingebelastningen er begrenset:

ved aerodynamisk luftmotstand under cruising (høyere F / S → høyere Cz → sterkere indusert drag ). Koeffisient for indusert drag: Cxi = Cz² / (π.λ) med λ = effektivt vingeforhold av kompleksiteten, vekten og kostnaden for høyløftesystemer (lameller og klaffer), ved start / landing hastigheter og avstander.

Det større planet vil ikke lenger være en enkel forstørrelse av det mindre: sammenlignet med skroget, vil vingen være større.

• Størrelsesgrense. Hvis vi vil være i et fotavtrykk som er kompatibelt med nåværende flyplasser, kan vi ikke øke størrelsen på ubestemt tid. Jo større plan har mer overflate, vil det ha et lavere sideforhold.
• Stabilisering. Dimensjoneringen av stabiliseringsflatene følger samme lov som den for lagerflatene. For å holde tilstrekkelige stabiliseringsmomenter (krefter x avstander) vil hastigheten være begrenset, for å øke dimensjonene på overflatene raskere enn skalaen. Begrensningene for dynamisk stabilisering (som involverer treghetseffekter, masser og kvadratiske avstander) fører til de samme konsekvensene. De større flyene vil ha større haleflater (alt tatt i betraktning) enn det mindre. Sammenligning A 380 - A320 skal kvantifiseres.
• Som med skip øker Reynolds-tallet med størrelse, og friksjonskoeffisienten synker. Beregning under cruising (høyde 9000 meter, Mach 0,83):

vingekord 3  m , Cf = 2,64 × 10 -3 6 m vingekord  , Cf = 2,38 × 10 -3 , dvs. en forsterkning på 10% vingekord 9  m , Cf = 2,24 × 10 -3 , dvs. en gevinst på 15%

• Menneskelig størrelse er konstant, det er dimensjonsnivåer forbundet med konfigurasjonsforskjeller, for eksempel: skrogbredder for 2, 3, 4, 5, 6 osv. forsetene. Noen "bastard" bredder er ikke interessante. Bredden som tillater 6 seter à jour, er en av de mest økonomiske: det er bare ett sirkulasjonsfelt (tapt område) for 6 passasjerer. skroghøyde og seksjonsoppsett: 1 dekk (50 plasser), 1 dekk pluss hold (100 til 400 steder), to dekk pluss hold (400 til 800 steder). To-bro-konfigurasjonen muliggjør mer fylling av seksjonen.
• Fylling: antall seter i forhold til kroppens omkrets (kostnad i fuktet overflate på skroget per passasjer). For en 1 m lang skrog  :

CRJ-700, diameter 2,69  m , 4 passasjerer foran, 2,11  m 2 / passasjer Airbus A-320, diameter 3,96  m , 6 passasjerer foran, 2,07  m 2 per passasjer. Bare ett dekk, arealet per passasjer reduseres ikke. Airbus A-380, ellipse 8,40 x 7,15  m , to dekk, 10 + 8 = 18 passasjerer foran, overflaten faller til 1,36  m 2 per passasjer (gevinst ca. 35%)

• Gulvbelastning (antall hjul). For et gitt antall hjul øker lagerflaten på bakken mindre raskt enn vekten til flyet: det større flyet må øke antall hjul for å opprettholde en belastning per kvadratmeter (begrenset av materialet på sporet ) konstant. Antall hovedhjul:
  • Airbus A-320: 4 hjul
  • Airbus A-340: 10 eller 12 hjul, avhengig av versjon
  • Airbus A-380: 20 hjul
• Akselerasjon under manøvrer. De minste flyene, som Colomban MC-10 , enkeltseter, 70  kg tomme, har veldig lite treghet (tregheten varierer med kraften 5 på skalaen). En plutselig manøvrering av kontrollene kan føre til et veldig høyt akselerasjonsnivå, noe som alvorlig kan hindre piloten og overskride de strukturelle grensene til flyet. Kontrollflatens utforming (overflate, avbøyning) må ta hensyn til denne særegenheten knyttet til skalaen.

Vindtunneltester

Fysisk

Fallhastighet i luft

Den endelige (stabiliserte) hastigheten er nådd når vekten (massen utsatt for tyngdekraften) balanserer luftens aerodynamiske bremsing (som er relatert til frontflaten).

Lydbølger

Klokker, lydfrekvens direkte relatert til midjen. Samme stemmegaffel, strengeinstrumenter ( diskant fiolin - basscello ), blåseinstrumenter, organer.

Varmemotorer

Friksjonsmotstand i forhold til volum (til forskyvning), antall sylindere, spesifikk effektivitet.

Merknader og referanser

1. Lille Mechanics Laboratory - Lille Central School Scaling effect of dispersion in a karst duct. Lineær hypotese og fraktalhypotese, Erick Carlier - 1996

Bibliografi

• D'Arcy Thompson , Forme et développement ["On Growth and Form"], Éditions du Seuil , koll.  "Åpen vitenskap",1917( opptrykk  2009), 334  s. ( ISBN  2-02-098834-8 ) , “II. On Magnitude "D'Arcy Thompson var den første forfatteren som brukte likhetsprinsippet i biologi. Denne summen konsentrerer de fleste av hans ideer om spørsmålet.
• (en) Peter Smith Stevens ( oversatt  fra engelsk av J. Matricon, D. Morello), Les Formes dans la Nature ["  Patterns in Nature  "], Paris, Seuil, koll.  "Åpen vitenskap",1976( opptrykk  1978), 231  s. , 22 × 27 cm ( ISBN  2-02-004813-2 ) , kap.  1 (“Rom og størrelse”) , s.  24-40tilbyr en enkel og detaljert presentasjon av skalaeffekten, med flere eksempler hentet fra statistiske observasjoner.

Se også

Relaterte artikler

• Skalaøkonomi