Fréchet plass

Et Fréchet-rom er en matematisk struktur av et topologisk vektorrom som tilfredsstiller visse teoremer knyttet til Banach-rom selv i fravær av en norm . Dette navnet refererer til Maurice Fréchet , en fransk matematiker som spesielt deltok i grunnleggelsen av topologi og dens anvendelser i funksjonell analyse . Det er i dette siste domenet strukturen til Fréchet-rom er spesielt nyttig, særlig ved å gi en naturlig topologi til rom med uendelig differensierbare funksjoner og til distribusjonsrom .

Definisjon

Et ekte topologisk vektorrom kalles et Fréchet-rom hvis det er samtidig:

lokalt konveks ;
metriserbar ;
og fullstendig i betydningen ensartede rom ,

eller mer enkelt: hvis det er lokalt konveks og kan måles med en full avstand og uforanderlig ved oversettelse.

For et Fréchet-rom som ikke er null, eksisterer det flere avstander som er uforanderlige ved oversettelse som induserer topologien, og de er alle komplette siden de induserer den samme enhetlige strukturen.

I funksjonell analyse brukes følgende ekvivalente definisjon direkte:

Et Fréchet-rom er et komplett reelt topologisk vektorrom (i ensartet forstand) hvis topologi er indusert av en tellbar og skille familie av semi-normer .

På samme måte er det ikke noe kanonisk valg av en slik familie av semi-normer. Det er heller ingen naturlig sammenheng mellom de kompatible og invariante avstandene, og disse familiene av semi-normer.

Eksempler

Ethvert Banach-rom er et Fréchet-rom, men det omvendte er falskt, dvs. noen Fréchet-mellomrom, som C ∞ ([0, 1]) eller C (ℝ), er ikke normerbare .

Rommet C ∞ ([0, 1]) av uendelig differensierbare funksjoner over intervallet [0, 1] er forsynt med semi-normer for ethvert heltall k ≥ 0: ${\ displaystyle p_ {k} (f) = \ sup _ {x \ in [0,1]} \ left | f ^ {(k)} (x) \ right |}$ hvor f (0) = f og for alle k > 0, betegner f ( k ) k - derivatet av f . I dette rommet konvergerer en sekvens ( f n ) av funksjoner til funksjonen f ∈ C ∞ ([0, 1]) hvis og bare hvis for alle k ≥ 0, konvergerer sekvensen ( f n ( k ) ) jevnt til f ( k ) .
Fréchet-rommet C ( X ) for kontinuerlige funksjoner på et topologisk rom X σ-compact er utstyrt med semi-normene definert av sup- normene på en serie kompakter K n som dekker X (for X = ℝ kan vi ta K n = [- n , n ]). Topologien oppnådd er identifisert med kompakt-åpen topologi . For eksempel for mellomrommet C ( ℕ ) av sekvenser (ekte eller kompleks), kan vi ta singletoner som kompakter . De tilsvarende semi-normene knytter til hver sekvens modulen til en fast indeksperiode for sekvensen. Konvergensen av en serie sekvenser utgjør derfor term-til-term konvergens.

Ved å kombinere disse to ideene, definerer vi en Fréchet-struktur på rommet til klassefunksjonene C m ( m ≤ $\infty$ ) på en åpen Ω på ℝ p , og med verdier i et Banach-rom , ved hjelp av semi-standarder ${\ displaystyle p_ {k, n} (f): = \ sup _ {| \ alpha | = k} \ sup _ {x \ in K_ {n}} \ | \ partial ^ {\ alpha} f (x) \ | \ quad (n, k \ in \ mathbb {N} {\ text {and}} k \ leq m)}$ hvor a betegner multi-indekser og sekvensen av komprimerer K n deksler w.

Vi definerer det samme, mer generelt, Fréchet-funksjonsrommet i klasse C m en rekke σ-kompakt klasse C m .

Eiendommer

Fullstendighetshypotesen gjør det mulig å anvende Baires teorem og dens konsekvenser blant annet på Fréchet-rom :
- teoremet fra Banach-Steinhaus : enhver enkelt avgrenset familie av lineære kart over et Fréchet-rom i et topologisk vektorrom er like kontinuerlig;
- det åpne kartteoremet : ethvert surjectivt kontinuerlig lineært kart mellom to Fréchet-rom er åpent ;
- dens følge: ethvert kontinuerlig lineært bijektivt kart mellom to Fréchet-rom er en homeomorfisme ;
- den lukkede grafsetningen : enhver lineær anvendelse av en lukket graf mellom to Fréchet-mellomrom er kontinuerlig.

Lokal konveksitet sikrer også følgende egenskaper:
- punktene i et Fréchet-rom er atskilt med dets topologiske dualitet (jf. Hahn-Banach-teorem ).
- enhver kompakt konveks i et Fréchet-rom er vedheftet til den konvekse konvolutten til dens ytterpunkt (jf. Kerin-Milman-teoremet ).

Den lokale inversionssatsen gjelder generelt ikke for Fréchet-rom, men en svak versjon er funnet under navnet Nash-Moser-teoremet .
Ethvert kvotient av et Fréchet-rom med et lukket vektorunderrom er komplett (er derfor et Fréchet-rom). Metrisabilitetshypotesen er avgjørende her.

Avledet fra Gateaux

Rommet med kontinuerlige lineære kart mellom to Fréchet-rom som ikke utgjør a priori et Fréchet-rom, konstruksjonen av en differensial for kontinuerlige funksjoner mellom to Fréchet-rom går gjennom definisjonen av derivatet av Gateaux .

Φ er en funksjon som er definert på en åpen U en Frechet plass X , med verdier i en Frechet plass Y . Den Gateaux derivat av Φ i et punkt x i U , og i en retning h av X er grensen i Y (når det foreligger)

${\ displaystyle \ Phi '(x; h) = \ lim _ {t \ til 0 \ oppå t \ neq 0} \, {\ frac {1} {t}} {\ Big (} \ Phi (x + th ) - \ Phi (x) {\ Big)},}$

der variabelen t blir tatt reell.

Funksjonen said sies å være Gateaux-differensierbar i x hvis det eksisterer et kontinuerlig lineært kart Φ ' G ( x ) fra X til Y slik at for enhver h av X , (,' G ( x )) ( h ) = Φ '( x; h ).

Den differensielle av Φ søknad kan da sees som en funksjon som er definert på en del av Frechet plass X x X med verdier i Y . Det kan muligens differensieres etter tur.

For eksempel er den avledede lineære operatoren D : C ∞ ([0,1]) → C ∞ ([0,1]) definert av D ( f ) = f ' uendelig differensierbar. Dens første differensial er for eksempel definert for hvert par ( f , h ) av uendelig deriverbare funksjoner ved D ' ( f ) ( h ) = h' , det vil si D ' ( f ) = D .

Imidlertid strekker Cauchy-Lipschitz-setningen seg ikke til å løse vanlige differensialligninger på Fréchet-rom i all alminnelighet.

Merknader og referanser

(in) Jean Dieudonné , avhandling om analyse , Vol. 2, s. 66 .
(en) SM Khaleelulla, moteksempler i topologiske vektorområder , NML 936, s. 108, gir et eksempel (nevnt på MathOverflow ) av et lokalt konvekst komplett rom hvis kvotient av et bestemt lukket underområde ikke engang er sekvensielt komplett.

Se også

Relaterte artikler

Bibliografi

N. Bourbaki , Elements of mathematics , EVT , Masson editions , 1981
(en) François Treves , Topologiske vektorområder, distribusjoner og kjerner , Dover-publikasjoner ,2013( 1 st ed. , 1967, Academic Press ), 592 s. ( ISBN 978-0-486-31810-3 , les online )