Perfekt væske

I væskemekanikk sies en væske å være perfekt hvis det er mulig å beskrive dens bevegelse uten å ta hensyn til effekten av viskositet og termisk ledning . Væskens bevegelse er derfor adiabatisk , beskrevet av Eulers ligninger .

Alle væsker har viskositet (unntatt superfluid , som i praksis bare gjelder helium med lav temperatur og det indre av en nøytronstjerne ). Den perfekte væsken kan derfor bare være en tilnærming for en viskositet som går mot null. Dette tilsvarer å gjøre Reynolds-tallet til en tendens mot uendelig. Denne typen situasjoner er imidlertid veldig vanlig, for eksempel i aerodynamikk (hvor veldig store Reynolds-tall er involvert). Under disse forholdene er områder med høy skjæring (hvor viskositet og turbulens er innflytelsesrike) konsentrert i trange rom, kalt grenselag .

I kosmologi kan de forskjellige materialformene som fyller universet vurderes, i det minste i skalaer der universet er homogent som perfekte væsker. Ettersom strømmen av en slik væske er isentropisk, bortsett fra i regioner der det vises singulariteter (sjokk, glidelag) beskrevet av Rankine-Hugoniot-forhold , blir utvidelsen av universet noen ganger beskrevet som adiabatisk , s 'Identifisering i visse aspekter til utvidelse av en gass uten varmeutveksling med utsiden.

Viktige egenskaper

En perfekt ukomprimerbar væske adlyder Eulers ligninger for bevaring av masse og momentum , disse to ligningene danner de grunnleggende ligningene for ikke-dissipative væsker, samt en versjon av det første prinsippet om termodynamikk , disse to aspektene ( fluidmekanikk og termodynamikk ) er tett koblet.

De første to ligningene er skrevet, ved å notere ρ at tettheten av fluidet, P dens trykk og v dens hastighet  :

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ mathbf {v}}) = 0} , ∂v∂t+(v⋅∇)v=-∇Pρ+f{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {v}}} {\ partial t}} + ({\ mathbf {v}} \ cdot \ nabla) {\ mathbf {v}} = - {\ frac { \ nabla P} {\ rho}} + {\ mathbf {f}}} ,

hvor er tettheten av krefter som virker på væsken. For eksempel, hvis vi vurderer tyngdekraften , har vi det f{\ displaystyle {\ mathbf {f}}}

f=g{\ displaystyle {\ mathbf {f}} = {\ mathbf {g}}},

g{\ displaystyle {\ mathbf {g}}}som representerer tyngdekraftens akselerasjon .

Termodynamiske aspekter

Vanligvis avhenger den indre energitettheten til et fysisk system (i den nåværende sammenheng, en liten region som inneholder en gitt væske), av tettheten til væsken og dens entropi . Faktisk sier det første prinsippet for termodynamikk at den indre energien U i et system varierer i henhold til

dU=-PdV+TdS{\ displaystyle {\ mathrm {d}} U = -P {\ mathrm {d}} V + T {\ mathrm {d}} S},

hvor P står for dens trykk , V den volumet , T den temperatur og S entropi. I tilfelle av en perfekt væske, har vi per definisjon , derav dS=0{\ displaystyle {\ mathrm {d}} S = 0}

dU=-PdV{\ displaystyle {\ mathrm {d}} U = -P {\ mathrm {d}} V},

som tilsvarer å si at væskeelementet har en en-til-en sammenheng mellom energitettheten og trykket, ikke avhengig av en ekstern parameter. Hvis vi går til den interne energitettheten definert av

ϵ=UV{\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {U} {V}}},

vi får da

d(ϵV)=-PdV{\ displaystyle {\ mathrm {d}} (\ epsilon V) = - P {\ mathrm {d}} V},

fra hvor

dϵ=-(P+ϵ)dVV{\ displaystyle {\ mathrm {d}} \ epsilon = - (P + \ epsilon) {\ frac {{\ mathrm {d}} V} {V}}}.

Matematisk formalisme

En perfekt fluid kan beskrives ved hjelp av en pulsenergi tensor T . Fra hvilke vi kan finne ligningene (bevaring av masse og Euler, pluss første prinsipp for termodynamikk) som den perfekte væsken adlyder. Dette er skrevet

T=(P+ρ)u⊗uvs.2-Pg{\ displaystyle {\ mathbf {T}} = \ left (P + \ rho \ right) {\ frac {{\ mathbf {u}} \ otimes {\ mathbf {u}}} {c ^ {2}}} - P {\ mathbf {g}}},

eller, når det gjelder komponenter,

Tαβ=(P+ρ)uαuβvs.2-Pgαβ{\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = \ left (P + \ rho \ right) {\ frac {u ^ {\ alpha} u ^ {\ beta}} {c ^ {2}}} - Pg ^ {\ alpha \ beta}},

hvor betegner den energitettheten til fluidet, at summen av dens indre energitettheten og tettheten av masse energi , blir tettheten av det fluidelement, og c den med lysets hastighet , u den fire-hastigheten av væsken (dvs. den totale hastighet dette elementet), og g den metriske tensoren . Spesiell relativitet og generell relativitetsteori forutsetter at energimomentstensoren til en væske er "konservert", dvs. dens divergens er null. Denne ligningen er skrevet, i form av komponenter, ρ{\ displaystyle \ rho}ϵ{\ displaystyle \ epsilon} μvs.2{\ displaystyle \ mu c ^ {2}}μ{\ displaystyle \ mu}

Dα((P+ρ)uαuβvs.2-Pgαβ)=0{\ displaystyle D _ {\ alpha} \ left (\ left (P + \ rho \ right) {\ frac {u ^ {\ alpha} u ^ {\ beta}} {c ^ {2}}} - Pg ^ {\ alpha \ beta} \ right) = 0},

D som representerer det vanlige derivatet (i spesiell relativitet) eller det kovariante derivatet (generelt relativitet). Beregningen gir da

uαuβvs.2Dα(P+ρ)+(P+ρ)uαvs.2Dαuβ+(P+ρ)uβvs.2Dαuα-DβP=0{\ displaystyle {\ frac {u ^ {\ alpha} u ^ {\ beta}} {c ^ {2}}} D _ {\ alpha} \ left (P + \ rho \ right) + \ left (P + \ rho \ høyre) {\ frac {u ^ {\ alpha}} {c ^ {2}}} D _ {\ alpha} u ^ {\ beta} + \ left (P + \ rho \ right) {\ frac {u ^ {\ beta}} {c ^ {2}}} D _ {\ alpha} u ^ {\ alpha} -D ^ {\ beta} P = 0}.

Det er denne ligningen som gjør det mulig å finne de tre nevnte ligningene.

Demonstrasjon 1

Vi vil vise at den forrige ligningen inneholder bevaring av energi. I det klassiske tilfellet tilsvarer dette å ta den tidsmessige komponenten i ligningen (indeks 0).

Mengden måler variasjonen av en størrelse X langs banen til væskeelementet. Det tilsvarer derfor variasjonen av denne mengden som transporteres av væskeelementet. Det er ofte bemerket , som den naturlige tiden assosiert med væskeelementet. Vi oppnår dermed uαDαX{\ displaystyle u ^ {\ alpha} D _ {\ alpha} X}d/dτ{\ displaystyle {\ mathrm {d}} / {\ mathrm {d}} \ tau}τ{\ displaystyle \ tau}

uβvs.2ddτ(P+ρ)+(P+ρ)1vs.2duβdτ+(P+ρ)uβvs.2Dαuα-DβP=0{\ displaystyle {\ frac {u ^ {\ beta}} {c ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} \ tau}} \ venstre (P + \ rho \ høyre) + \ venstre (P + \ rho \ høyre) {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ mathrm {d}} u ^ {\ beta}} {{\ mathrm {d}} \ tau}} + \ left (P + \ rho \ right) {\ frac {u ^ {\ beta}} {c ^ {2}}} D _ {\ alpha} u ^ {\ alpha } -D ^ {\ beta} P = 0}.

Ved å utføre det skalære produktet av denne ligningen med firdoblingshastigheten, kommer den da, ved å merke et derivat med hensyn til , τ{\ displaystyle \ tau}

(P˙+ρ˙)+(P+ρ)uβvs.2u˙β+(P+ρ)Dαuα-P˙=0{\ displaystyle \ left ({\ dot {P}} + {\ dot {\ rho}} \ right) + \ left (P + \ rho \ right) {\ frac {u _ {\ beta}} {c ^ {2}}} {\ dot {u}} ^ {\ beta} + \ left (P + \ rho \ right) D _ {\ alpha} u ^ {\ alpha} - {\ dot {P}} = 0 }.

Den firdobbelte hastigheten har en konstant norm ,, en mengde av typen er null. Så han kommer uβuβ=vs.2{\ displaystyle u _ {\ beta} u ^ {\ beta} = c ^ {2}}uβu˙β{\ displaystyle u _ {\ beta} {\ dot {u}} ^ {\ beta}}

ρ˙+(P+ρ)Dαuα=0{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} + \ left (P + \ rho \ right) D _ {\ alpha} u ^ {\ alpha} = 0}.

Begrepet , vanligvis bemerket , kalles utvidelse av væskeelementet. Innenfor den ikke-relativistiske grensen tilsvarer den divergensen i hastighetsvektoren, som tilsvarer endringshastigheten til volumet. Dermed har vi Dαuα{\ displaystyle D _ {\ alpha} u ^ {\ alpha}}θ{\ displaystyle \ theta}

θ=dVVdt{\ displaystyle \ theta = {\ frac {{\ mathrm {d}} V} {V {\ mathrm {d}} t}}},

som gjør det mulig å skrive om ligningen i

∂∂tρ+(P+ρ)dVVdt=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho + \ left (P + \ rho \ right) {\ frac {{\ mathrm {d}} V} {V {\ mathrm {d} } t}} = 0}.

Til slutt skrives hypotesen om bevaring av antall partikler

∂∂tikke+ikkedVVdt=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} n + n {\ frac {{\ mathrm {d}} V} {V {\ mathrm {d}} t}} = 0},

hvor n representerer partikkeltettheten. Det er relatert til dens massenergitetthet med formelen

ikke=μvs.2mvs.2{\ displaystyle n = {\ frac {\ mu c ^ {2}} {mc ^ {2}}}},

m er massen av partiklene. Denne ligningen tolkes av det faktum at antall partikler i væskeelementet er konstant, variasjonen av tettheten av disse langs strømmen skyldes bare variasjonen i volumet til elementet En I praksis, hvis vi går tilbake i når det gjelder koordinater, er tettheten av partikler en funksjon av koordinatene til rom og tid ,. Hvis væskeelementet har en bane , blir dens variasjon langs banen gjort i henhold til den , og tilsvarer derfor ikke(x,t){\ displaystyle n ({\ mathbf {x}}, t)}x(t){\ displaystyle {\ mathbf {x}} (t)}ikke(x(t),t){\ displaystyle n ({\ mathbf {x}} (t), t)}

dikkedt=∂∂tikke+dxdt⋅∇ikke{\ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} n} {{\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} n + {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ mathbf {x}}} {{\ mathrm {d}} t}} \ cdot \ nabla n}.

Dermed oppnår vi

∂∂tikke+v⋅∇ikke+ikke∇⋅v=0.{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} n + {\ mathbf {v}} \ cdot \ nabla n + n \ nabla \ cdot {\ mathbf {v}} = 0.},

som kan grupperes i

∂∂tikke+∇⋅(ikkev)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} n + \ nabla \ cdot (n {\ mathbf {v}}) = 0}.

Dermed forlater den første ligningen bare

∂∂tϵ=-(P+ϵ)1V∂V∂t{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ epsilon = - (P + \ epsilon) {\ frac {1} {V}} {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} },

hva blir omskrevet

dϵ=-(P+ϵ)dVV{\ displaystyle {\ mathrm {d}} \ epsilon = - (P + \ epsilon) {\ frac {{\ mathrm {d}} V} {V}}} ;

som kunngjort finner vi bevaring av energien til væskepartikkelen:

d(ϵV)=-PdV{\ displaystyle {\ mathrm {d}} (\ epsilon V) = - P {\ mathrm {d}} V}.  

Å skaffe

På et mikroskopisk nivå kan energimomentstensoren til en væske fremdeles bestemmes av en streng prosess, startende med en mengde som kalles Lagrangian . For eksempel blir energimomentstensoren til en punktpartikkel umiddelbart utledet fra Lagrangian som beskriver den. I væskemekanikk anses det at fordelingen av partiklene som komponerer væsken, kan utover en viss skala betraktes som et kontinuerlig medium .

På den annen side, på makroskopisk nivå, gjør ingenting det mulig å bekrefte med sikkerhet at energitensorimpulsen kan stamme fra en makroskopisk Lagrangian. Vanligvis bestemmes energitensoren til en væske først ved å skrive momentant energitensoren til en partikkel, og deretter ved å anta en viss fordeling av partikler i et område av rommet (en funksjon av distribusjon ), deretter ved å beregne den individuelle momentenergien i gjennomsnitt tensorer over et volum lite sammenlignet med dimensjonene til problemet, men stort i forhold til separasjonen mellom partikler. Ingenting gjør det mulig å bekrefte at det er mulig å finne et energitensormoment som starter fra en Lagrangian som allerede ville være "gjennomsnittet" på et sett med partikler. Den perfekte væsken er i denne forbindelse et spesielt tilfelle, fordi det er mulig å bestemme det på denne måten, selv om demonstrasjonen ikke er triviell.

Generalisering

Utover den perfekte væsketilnærmingen, snakker vi om tyktflytende væske, beskrevet av Navier-Stokes-ligningene .

Populær kultur

• I den andre sesongen av Agent Carter blir Zero Matter beskrevet som en form for perfekt væske.

Se også

Referanser

• (en) Charles W. Misner , Kip S. Thorne og John Archibald Wheeler , Gravitation , New York , WH Freeman and Company,1973( Repr.  1997 ... 2003, 2006, 2008) ( 1 st  ed. 1970), 1280  s. ( ISBN  978-0-716-70334-1 og 978-0-716-70344-0 , OCLC  585119 ), side 562 til 565.

Merknader

1. (in) Lev Landau og Evgeny Lifshitz , Fluid Mechanics , Oxford, Pergamon Press,1987, 539  s. , PDF ( ISBN  0-08-033933-6 , leses online )
2. Demonstrasjonen av dette er bare veldig sjelden gitt. Dens brede konturer vises i (en) SW Hawking og GFR Ellis , The Large Scale Structure of Space-Time , Cambridge University Press , koll.  "Cambridge Monographs on Mathematical Physics",1975, 400  s. ( ISBN  0521099064 ), side 69 og 70.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">