Nøyaktig funksjon

I matematikk , en eksakt funktor er et funktor som pendler ved induktive og projektive grenser . Tilsvarende er det en funktor som bevarer de nøyaktige sekvensene av abeliske kategorier, og dette er hva denominasjonen kommer fra. Funktorer av denne typen vises naturlig i homologi og generelt i kategoriteori , hvor egenskapene deres tillater elegante beregninger . "Mangelen på korrekthet" måles av avledede funksjoner , for eksempel Tor- og Ext-funksjonene . Det viktigste eksemplet på en eksakt funksjon er Hom-funksjonen .

Nøyaktig funksjon mellom abeliske kategorier

La F  : P → Q være en additiv kovariant funksjon (av) av abeliske kategorier.  

Vi sier at F er:

• halv nøyaktig hvis for en hvilken som helst kort eksakt sekvens 0 → A → B → C → 0 av objekter av P , er sekvensen F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) nøyaktig  ;
• nøyaktig til venstre hvis selv sekvensen 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) er nøyaktig;
• riktig eksakt hvis selv sekvensen F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 er nøyaktig;
• riktig hvis det er riktig til venstre og til høyre.

Vi beviser da at:

• F er nøyaktig igjen (hvis og) bare hvis for en eksakt sekvens 0 → A → B → C , er sekvensen 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) nøyaktig;
• F er riktig eksakt (hvis og) bare hvis for en hvilken som helst eksakt sekvens A → B → C → 0, er sekvensen F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 nøyaktig;
• F er nøyaktig (hvis og) bare hvis for en eksakt sekvens A → B → C , er sekvensen F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) nøyaktig.

En additiv kontravariant-funksjon G  : P → Q sies å være halvnøyaktig (hhv. Nøyaktig til venstre, eksakt til høyre, nøyaktig) hvis den tilknyttede kovariante funksjonen F  : P op → Q er.

Relaterte artikler

• Nøyaktig kategori
• Avledet kategori
• Trekantet kategori
• Assistent embetsmann

Henvisning

(no) Saunders Mac Lane , kategorier for arbeidsmatematikeren [ detalj av utgaven ]