Tor-funksjon

I matematikk , den funktor Tor er den deriverte funktor forbundet med tensorprodukt funktor . Den finner sin opprinnelse i homologisk algebra , der den vises spesielt i studiet av spektrale sekvenser og i formuleringen av Künneths teorem .

Motivasjon

Avledede funktorer forsøker å måle feilheten til en funktor . La R være en ring , vurder kategorien RMod av R - moduler og ModR av R - moduler til høyre.

La være en kort nøyaktig sekvens av R- moduler til venstre:

0 \ til X {\ stackrel {\ alpha} {\ to}} Y {\ stackrel {\ beta} {\ to}} Z \ til 0

Påføringen av tensorproduktet til venstre av et R- modul til høyre A er nøyaktig til høyre , vi får den korte eksakte sekvensen av abeliske grupper :

{\ displaystyle A \ otimes _ {R} X {\ stackrel {{\ mathsf {id}} _ {A} \ otimes \ alpha} {\ longrightarrow}} A \ otimes _ {R} Y {\ stackrel {{\ mathsf {id}} _ {A} \ otimes \ beta} {\ longrightarrow}} A \ otimes _ {R} Z \ to 0}

Søknaden er vanligvis ikke injiserende, og følgelig kan man ikke utvide den eksakte sekvensen til venstre. ${\ mathsf {id}} _ {A} \ otimes \ alpha$

Definisjon

Hvis vi med T betegner funksjonen til kategorien ModR av R- moduler til høyre i kategorien Ab for abeliske grupper som tilsvarer tensorproduktet. Denne funksjonen er nøyaktig til høyre, men ikke til venstre, vi definerer Tor-funksjonene fra funksjonene avledet til venstre av: $L_ {n} T$

{\ mathrm {Tor}} _ {n} ^ {R} (A, B) = L_ {n} T (A)

Det er derfor en bifunktor av ModR × RMod i Ab .

Eiendommer

Den Tor funktor er additiv, dvs. at vi har:

{\ mathrm {Tor}} ^ {R} (A \ oplus A ', B) \ simeq {\ mathrm {Tor}} ^ {R} (A, B) \ oplus {\ mathrm {Tor}} ^ {R } (A ', B)

;

{\ mathrm {Tor}} ^ {R} (A, B \ oplus B ') \ simeq {\ mathrm {Tor}} ^ {R} (A, B) \ oplus {\ mathrm {Tor}} ^ {R } (A, B ')

Den bytter til og med vilkårlige direkte summer .

I tilfelle der ringen R er kommutativ , hvis r ikke er en deler på null , har vi:

{\ mathrm {Tor}} _ {1} ^ {R} (R / (r), B) = \ {b \ i B \, | \, rb = 0 \},

som forklarer opprinnelsen til navnet "Tor": det er, i dette tilfellet, undergruppen av torsjon . Spesielt,

{\ mathrm {Tor}} ({\ mathbb Z} / m {\ mathbb Z}, {\ mathbb Z} / n {\ mathbb Z}) \ simeq {\ mathbb Z} / {\ mathrm {pgcd}} ( m, n) {\ mathbb Z}

der den største fellesdeleren til heltallene m og n forekommer . I kraft av struktursetningen til abeliske grupper av endelig type , og egenskapen til additivitet, gjør dette det mulig å studere funksjonen Tor for enhver abelian gruppe av endelig type.

Hvis ringen R er primær , tillater Tor R n = 0 for alle n ≥ 2 for alle R- modul en oppløsning (in) fri lengde 1.

Null vri

En modul er flat hvis og bare hvis den første Tor-funksjonen er triviell (og da alle Tor-funksjonene er). Spesielt kan vi definere Tor fra en flat oppløsning i stedet for prosjektiv.

Hvis A er en abelsk gruppe , er følgende forslag ekvivalente:

A er vridningsfri , dvs. at den ikke har noe endelig ordenselement bortsett fra 0;
Tor ( A , B ) = 0 for enhver abelsk gruppe B ;
En kort eksakt sekvens forblir nøyaktig etter tensorisering med A ;
Hvis er en injeksjons homomorfisme av grupper, er injiserende. $\ alpha: X \ til Y$ ${\ mathsf {id}} _ {A} \ otimes \ alpha$