Elementær funksjon

I matematikk er en elementær funksjon en funksjon av en variabel konstruert av et endelig antall eksponensialer , logaritmer , konstanter og n- te røtter ved komposisjon og kombinasjoner ved hjelp av de fire elementære operasjonene (+ - × ÷). Ved å la disse funksjonene (og konstantene) være komplekse , er trigonometriske funksjoner og deres inverser elementære.

Elementære funksjoner ble først introdusert av Joseph Liouville i en serie publikasjoner fra 1833 til 1841 . En algebraisk behandling av disse funksjonene ble startet av Joseph Ritt på 1930-tallet.

Eksempler

Noen eksempler på grunnleggende funksjoner er:

• tillegg, f.eks. : x + 3;
• multiplikasjon, f.eks. : 8 x  ;
• (x+synd2⁡x)2(synd⁡(x2)+xsynd⁡(x3)) ;{\ displaystyle \ left (x + \ sin ^ {2} x \ right) ^ {2} \ left ({\ dfrac {\ sin (x ^ {2}) + x} {\ sin (x ^ {3} )}} \ høyre) ~;}
• -Jegln⁡(x+Jeg1-x2).{\ displaystyle - {\ rm {i}} \ ln (x + {\ rm {i}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}).}

To eksempler på ikke- elementære funksjoner er Gauss- feilfunksjonen

erf⁡(x)=2π∫0xe-t2dt{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t}

og den integrerte sinusfunksjonen

Ja⁡(x)=∫0xsynd⁡ttdt.{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \ mathrm {d} t.}

Dette faktum er resultatet av Liouvilles teorem  ; den Risch algoritmen gjør det generelt mulig å bestemme hvorvidt eller ikke en gitt elementær funksjon har en elementær primitive.

Merknader

1. Se spesielt Liouville 1833a , Liouville 1833b og Liouville 1833c .
2. Ritt 1950 .

Referanser

• Joseph Liouville , "  Første avhandling om bestemmelse av integraler hvis verdi er algebraisk  ", Journal de l'École Polytechnique , vol.  bind XIV, 1833a, s.  124-148 ( les online ).
• Joseph Liouville , "  Andre avhandling om bestemmelse av integraler hvis verdi er algebraisk  ", Journal de l'École Polytechnique , vol.  bind XIV, 1833b, s.  149-193 ( les online ).
• Joseph Liouville , "  Merknad om bestemmelse av integraler hvis verdi er algebraisk  ", Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol.  10, 1833c, s.  347-359 ( les online ).
• Joseph Ritt , Differensiell algebra , AMS ,1950( les online ).
• Maxwell Rosenlicht , “  Integration in finite terms  ”, American Mathematical Monthly , vol.  79, n o  9,1972, s.  963–972 ( DOI  10.2307 / 2318066 , JSTOR  2318066 ).

Studiepoeng

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen "  Elementary function  " ( se listen over forfattere ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">