Iscenesatt funksjon

En enkel funksjon er en numerisk funksjon hvis bilde består av et endelig antall reelle (eller muligens komplekse ) verdier ;
En trinnvis funksjon er en enkel funksjon definert på et målbart rom og som i seg selv er en målbar funksjon ;
En trinnfunksjon er en trinnfunksjon definert på settet med reell og hvis verdier (faktiske) er konstante over intervaller : de er derfor funksjoner stykkevis konstante .

I de tre betydningene kan hver av disse funksjonene uttrykkes som en lineær (derfor endelig) kombinasjon av karakteristiske funksjoner .

Disse funksjonene spiller en viktig rolle i integrasjonsteorien :

de iscenesatte funksjonene for Lebesgue-integralen ;
de trapp funksjonene for Riemann og Kurzweil-Henstock integral .

Felles karakteristisk eiendom

Eiendom - En funksjon er enkel hvis og bare hvis den er en lineær kombinasjon av karakteristiske funksjoner.

Bevis

Trenge :

La $f være$ en enkel funksjon og har k i n- verdiene den kan ta. La A k betegne det gjensidige bildet av {a k } , altså . Siden A k er to og to skillelinjer , så for alle x i definisjonsområdet for $f$ : ${\ displaystyle A_ {k} = f ^ {- 1} ({a_ {k}})}$

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} 1_ {A_ {k}} (x).}

For iscenesatte funksjoner bemerker vi at A k er målbar siden $f$ skal være.

Tilstrekkelig:

La n sett B være en funksjon $f$ definert av

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} 1_ {B_ {k}} (x)}

der n- verdiene b k er gitt.

Siden x kan samtidig tilhøre flere B k (når krysningene ikke er tomme), antallet distinkte verdier som $f$ kan ta er begrenset av 2 n . Så $f$ er en enkel funksjon.

For funksjoner enkel (henholdsvis forskjøvet , trapp ), de følgende egenskaper skyldes den definisjon og de foregående egenskap:

En enkel funksjon er en lineær kombinasjon av formens karakteristiske funksjoner

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x)}

der

A 1 , ..., A n

er en endelig sekvens av sett og

en 1 , ..., er en n

en endelig sekvens av verdier i ℝ (eller ℂ).

Blant de forskjellige mulige representasjonene uttrykt ved hjelp av den foregående relasjonen, er det en bestemt (kalt kanonisk ) som
- settene $A k$ er to eller to usammenhengende,
- verdiene $a k$ er forskjellige og ikke null,
- $n = 0$ hvis og bare hvis $f = 0$ .
Summen eller produktet av to enkle funksjoner, eller produktet av en enkel funksjon av en reell (eller en kompleks) er alltid enkle funksjoner.
Settet med enkle funksjoner utgjør en ℝ (eller ℂ) - kommutativ algebra , og a fortiori et vektorrom .
For en trinnvis funksjon , derfor målbar og definert på et målbart rom , er settene $A$ $k$ for den kanoniske representasjonen målbare. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

Tetthet av trinnvise funksjoner

Teorem -

Enhver positiv målbar funksjon er en enkel grense for en økende sekvens av trinnvise funksjoner.
Enhver målbar funksjon er en enkel grense for trinnvise funksjoner.
Enhver begrenset målbar funksjon er en ensartet grense for trinnvise funksjoner.

Demonstrasjon

1 : la $f være$ en positiv målbar funksjon. For ethvert naturlig tall $n$ er $[0, + \infty]$ delt inn i $N n = 2 2 n + 1$ delintervall definert av

{\ displaystyle I_ {n, k} = \ left [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ right [}

for

1 \leq k \leq N n - 1

{\ displaystyle I_ {n, N_ {n}} = [2 ^ {n}, + \ infty].}

Vi definerer de målbare mengdene $A n , k = f -1 ( I n , k )$ for $1 \leq k \leq N n$ .

Funksjonssuiten

{\ displaystyle f_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {N_ {n}} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ { n, k}}}

øker deretter og konvergerer ganske enkelt til $f$ .

2 trekkes umiddelbart fra 1 fordi de positive og negative delene av en målbar funksjon er målbare.

3 : for en positiv funksjon $f$ avgrenset av $y > 0$ , tillater konstruksjonen utviklet under 1 oss å si det

{\ displaystyle | f (x) -f_ {n} (x) | \ leq 2 ^ {- n}}

så snart

2 n > y

. Ensartet konvergens er derfor tilfredsstilt.

For enhver avgrenset funksjon tillater nedbrytningen presentert under 2 oss å konkludere.

Integrering av en iscenesatt funksjon

I målingsteori er å definere integralet til en positiv trinnfunksjon et av de første trinnene som fører til definisjonen av integralet med hensyn til en positiv måling .

La være et målt rom . For alt vi definerer ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle A \ i {\ mathcal {A}},}$

${\ displaystyle \ int 1_ {A} \, d \ mu = \ mu (A).}$

For en positiv trinnfunksjon pålegger integralens linearitet følgende forhold: ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

${\ displaystyle \ int f \, d \ mu = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}).}$

For å gi denne relasjonen definisjonens status, er det tilrådelig å sikre dens konsistens ved å kontrollere at integriteten til en positiv trinnfunksjon er uavhengig av dens representasjon i form av en lineær kombinasjon av karakteristiske funksjoner.

Demonstrasjon

Av forskjell er det tilstrekkelig å verifisere det ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0 \ Rightarrow \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = 0.}$ For en hvilken som helst n -tuple $ε$ elementer som er lik ± 1, note $B ε$ skjæringen mellom $A k ε k$ hvor $A k + 1$ betegner den faste $A k$ og $A k -1$ betegner dens komplementære i $X$ . Den $B ε$ er derfor to eller to disjoints, hver $A k$ er foreningen av de for hvilke $ε k = 1$ , og dens mål er summen av de målinger av disse $B ε$ . Hypotesen ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0}$ deretter omskrevet ${\ displaystyle \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} {\ mathbf {1}} _ {B _ {\ varepsilon}} = 0 {\ text {with}} a _ {\ varepsilon} = \ sum _ {\ varepsilon _ {k} = 1} a_ {k},}$ det vil si at for alle $ε$ er $B ε$ tom eller $a ε$ er null. Så det har vi gjort ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} \ mu (B _ {\ varepsilon} ) = 0.}$

Vi sjekker så at dette kartet ∫ er lineært , og at det øker (hvis $f \leq g$ så $\int f d μ \leq \int g d μ$ ) så snart $μ$ er et positivt mål .

I det spesielle tilfellet der $X$ er et reelt segment som følger med Lebesgue-tiltaket , defineres ∫ spesielt på trinnfunksjonene og tilfredsstiller Chasles-forholdet .

Integrert en trappefunksjon på et segment

Iscenesatte funksjoner er etter Lebesgues teori om integrasjon hva trappefunksjoner er for Riemann eller Kurzweil-Henstock integrasjon.

For eksempel, i det spesielle tilfellet hvor $A 1 , ..., A n$ er sammenhengende stykker av samme lengde $Δ$ , og hvor $en jeg$ er en evaluering av et funksjon $g$ i sentrum av intervallene $A i$ uttrykket er et spesielt tilfelle av Riemann sum . ${\ displaystyle I_ {n} = \ Delta \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$

Generelt presentert over et gitt intervall, kan trappefunksjonene utvides med 0 over ℝ heltall, noe som gjør det mulig å bli kvitt intervallet og vurdere et enkelt sett med funksjoner.

Merknader

For en trappefunksjon er settene $A k$ foreningen av et endelig antall intervaller.
$I$ $n$ er også en tilnærming som ofte brukes for numerisk beregning av en integral , bedre kjent under navnet midtpunktmetoden .