Prüfer-gruppen
I matematikk , og nærmere bestemt i gruppeteori , kaller vi Prüfer's p-gruppe , eller p-kvasi-sykliske gruppe , for et gitt primtall p , hvilken som helst gruppe isomorf til den multiplikative gruppen
VSs∞={eksp(2πJegikke/sm)∣ikke∈Z,m∈IKKE}{\ displaystyle \ mathbf {C} _ {p ^ {\ infty}} = \ {\ exp (2 \ pi in / p ^ {m}) \ mid n \ in \ mathbf {Z}, m \ in \ mathbf {IKKE} \}}dannet av de komplekse røttene til enheten hvis ordrer er krefter på s .
Det er derfor en tellbar abelsk p-gruppe .
Prüfer p-gruppene er isomorfe til hverandre, vi snakker lett om "den" Prüfer p-gruppen, uten å spesifisere en spesielt. Vi vil si at en gruppe G er en Prüfer-gruppe hvis det eksisterer et primtall p slik at G er en Prüfer-p-gruppe.
De p -grupper av Prufer er så oppkalt etter matematikeren Heinz Prufer .
Tilsvarende definisjoner
La p være et primtall og G en gruppe. Hver av de følgende fem egenskapene tilsvarer at G er en Prüfer p-gruppe (og hver av disse egenskapene kan derfor tjene som en definisjon for Prüfer p-grupper):
a) G er isomorf til kvotienten der den betegner undergruppen til ( Q , +) dannet av tallene på skjemaet , med .
Z[1/s]/Z,{\ displaystyle \ mathbf {Z} [1 / p] / \ mathbf {Z},}Z[1/s]{\ displaystyle \ mathbf {Z} [1 / p]}ikke/sm{\ displaystyle n / p ^ {m}}ikke∈Z,m∈IKKE{\ displaystyle n \ in \ mathbf {Z}, m \ in \ mathbf {N}}
Berettigelse. Homomorfisme er surjektiv og innrømmer som en kjerne.
Z[1/s]→VSs∞:q↦eksp(2πJegq){\ displaystyle \ mathbf {Z} [1 / p] \ rightarrow \ mathbf {C} _ {p ^ {\ infty}}: q \ mapsto \ exp (2 \ pi iq)}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}b) G er isomorf til et kvotient F / R, hvor F er en fri abelgruppe (dvs. en Z - fri modul ) som tillater en teller uendelig basis og R undergruppen av F generert av .
{ på0,på1,...påikke,...}{\ displaystyle \ {\ a_ {0}, a_ {1}, \ ldots a_ {n}, \ ldots \}}{spå0,på0-spå1,på1-spå2,...påikke-spåikke+1,...}{\ displaystyle \ {\, pa_ {0}, a_ {0} -pa_ {1}, a_ {1} -pa_ {2}, \ ldots a_ {n} -pa_ {n + 1}, \ ldots \} }
c) G innrømmer en presentasjon
⟨x1,x2,...|x1s=1,x2s=x1,x3s=x2,...⟩.{\ displaystyle \ langle x_ {1}, x_ {2}, \ dots | x_ {1} ^ {p} = 1, x_ {2} ^ {p} = x_ {1}, x_ {3} ^ {p } = x_ {2}, \ dots \ rangle.}
Berettigelse. La L være en
gratis (ikke-
abelsk )
gruppe som innrømmer en uendelig uendelig basis og S den
normale undergruppen av L generert av . For det naturlige tallet i , la det kanoniske bildet av i L / S. Det er klart at, av to , er det alltid en som er kraften til den andre, så de bytter mellom dem. Siden de genererer L / S, er L / S derfor abelisk, med andre ord inneholder S
gruppen avledet fra D (L) fra L. Derfor, ifølge den
tredje isomorfismen , er L / S isomorf til (L / D ( L)) / (S / D (L)). Nå er L / D (L) en fri abelsk gruppe (som en abelsk gruppe) som innrømmer som grunnlag bildene i L / D (L) av elementene , og S / D (L) er undergruppen til L / D (L ) gytt av . Vi avslutter ved hjelp av punkt b).
{ vs.0,vs.1,...vs.ikke,...}{\ displaystyle \ {\ c_ {0}, c_ {1}, \ ldots c_ {n}, \ ldots \}}{vs.0s,vs.0vs.1-s,vs.1vs.2-s,...vs.ikkevs.ikke+1-s,...}{\ displaystyle \ {c_ {0} ^ {p}, c_ {0} c_ {1} ^ {- p}, c_ {1} c_ {2} ^ {- p}, \ ldots c_ {n} c_ { n + 1} ^ {- p}, \ ldots \}}xJeg{\ displaystyle x_ {i}}vs.Jeg{\ displaystyle c_ {i}}xJeg{\ displaystyle x_ {i}}xJeg{\ displaystyle x_ {i}}{ d0,d1,...dikke,...}{\ displaystyle \ {\ d_ {0}, d_ {1}, \ ldots d_ {n}, \ ldots \}}{ vs.0,vs.1,...vs.ikke,...}{\ displaystyle \ {\ c_ {0}, c_ {1}, \ ldots c_ {n}, \ ldots \}}{d0s,d0d1-s,d1d2-s,...dikkedikke+1-s,...}{\ displaystyle \ {d_ {0} ^ {p}, d_ {0} d_ {1} ^ {- p}, d_ {1} d_ {2} ^ {- p}, \ ldots d_ {n} d_ { n + 1} ^ {- p}, \ ldots \}}
d) G innrømmer en genererende familie slik at , og for alle .
(påikke)ikke∈Z{\ displaystyle \ (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {Z}}} på0≠1{\ displaystyle \ a_ {0} \ not = 1} på0s=1{\ displaystyle \ a_ {0} ^ {p} = 1} påikke+1s=påikke{\ displaystyle \ a_ {n + 1} ^ {p} = a_ {n}}ikke≥0{\ displaystyle n \ geq 0}
e) G er foreningen av en uendelig stigende sekvens hvor, for hver indeks n , Cn er en syklisk gruppe av orden p n .
VS0≤VS1≤...≤VSikke≤...{\ displaystyle C_ {0} \ leq C_ {1} \ leq \ ldots \ leq C_ {n} \ leq \ ldots}
Diverse egenskaper
- Enhver undergruppe som eier en gruppe Prüfer er syklisk og spesielt ferdig (ved egen undergruppe av en gruppe G betyr her en undergruppe av G som er forskjellig fra G, og syklisk gruppe , her betyr vi endelig monogen gruppe ). For ethvert naturlig tall n , tillater Prüfer p-gruppen en og bare en undergruppe av ordren p n . Settet med undergrupper i en Prüfer-gruppe er ordnet etter inkludering. Dette bestilte settet er ikke eterisk .
- Den p -gruppen av Prufer er den eneste p -gruppen, som alle uendelig Abelsk undergrupper eier er sykliske.
- Prüfer-gruppene er de eneste uendelige abeliske gruppene der alle riktige undergrupper er endelige.
- En uendelig abelsk gruppe G er en Prüfer-gruppe hvis og bare hvis den er isomorf til G / H for en hvilken som helst riktig undergruppe H av G.
Prüfer-gruppene er delbare . Deres betydning kommer fra følgende teorem:
Enhver delbar abelsk gruppe er den direkte summen av en familie (endelig eller uendelig) grupper som hver er en Prüfer-gruppe eller en gruppe isomorf til additivgruppen med rasjonelle tall.
For eksempel er tilsetningsgruppen Q / Z den direkte summen av Sylow-undergruppene , som er ingen ringere enn Prüfer-gruppene (for hvert primtall).
Merknader og referanser
-
De to navnene "Prüfer's p-group" og "p-quasi-cyclical group" er indikert av J. Calais, Elements of group theory , Paris, PUF ,1984, kap. IV, trening. 34, s. 172.
-
Notasjonen er i samsvar med Calais 1984 , kap. IV, trening. 34, s. 172. I S. Lang, Algèbre , Paris, Dunod, 2004, s. 53, er symbolet .VSs∞{\ displaystyle \ mathbf {C} _ {p ^ {\ infty}}}μ[s∞]{\ displaystyle \ mathbf {\ mu [p ^ {\ infty}]}}
-
For ekvivalensen mellom denne eiendommen og definisjonen gitt i denne artikkelen, se (en) Joseph J. Rotman (en) , En introduksjon til teorien om grupper [ detalj av utgaver ], 4 th ed., 1995 , teoretisk. 10,13, s. 314, og trene. 10.5, iv, s. 317.
-
For en demonstrasjon, se for eksempel Calais 1984 , kap. IV, trening. 34, e), s. 172, ved å merke seg at dersom G har egenskapen c), er en n pendle, derfor G er abelsk.
-
For et bevis, se for eksempel B. Baumslag og B. Chandler, Gruppe Theory , Mc-Graw Hill, 1968, teoretisk. 6.31, s. 206.
-
For eiendommene angitt i dette avsnittet, se for eksempel Rotman 1995 , øvelse. 10,5, s. 317.
-
For et bevis på at en Prüfer-gruppe er isomorf for alle dens kvotienter av riktige undergrupper, se Calais 1984 , kap. IV, trening. 34, f), s. 172. For det omvendte, se Rotman 1995 , øvelse. 10.40, iii, s. 330.
-
For et bevis, se for eksempel Rotman 1995 , teorien. 10.28, s. 323.
Relatert artikkel
Tarski monster group (en)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">