Bestilt gruppe

En bestilt gruppe er en gruppe forsynt med en ordreforhold respektert av oversettelsene.

Definisjoner

La ( G ,). En gruppe (den lov av gruppen som er betegnet multiplikativt ) og ≤ en ordre forhold på G . Vi sier at dette er kompatibelt med gruppens lov når forholdet x ≤ y for alle elementene x , y og z i gruppen medfører de to relasjonene zx ≤ zy og xz ≤ yz . En bestilt gruppe er et sett levert samtidig med en gruppelov og en kompatibel ordrerelasjon. Vi kaller en helt organisert gruppe en ordnet gruppe hvis ordre forhold er total .

I en ordnet gruppe G sies et element å være positivt hvis det er større enn det nøytrale elementet e G , og negativt hvis det er mindre enn det.

En del P av en gruppe G danner settet med positive elementer av G for en viss kompatibel rekkefølge hvis og bare hvis P er en positiv kjegle , det vil si: PP ⊂ P , P ∩ P −1 = { e G } og P er stabil ved konjugasjon .

Eksempler

Tilsetningsgruppen med reelle tall , (ℝ, +), er en abelsk gruppe helt ordnet etter vanlig rekkefølge.

Takket være de tre første egenskapene nedenfor trekker vi straks ut mange andre helt eller delvis ordnede abeliske grupper.

Eiendommer

• Enhver undergruppe av en bestilt (resp. Totalt bestilt) gruppe er en bestilt (resp. Totalt bestilt) gruppe ved å begrense gruppens rekkefølge.
• Ethvert produkt (til og med uendelig) av bestilte grupper er en gruppe bestilt av den delordren som produseres . Hvis settet med indekser er ordnet godt , får produktet også en leksikografisk rekkefølge som også er kompatibel.
• Enhver gruppe som er isomorf til en bestilt (resp. Totalt bestilt) gruppe er en bestilt (resp. Totalt bestilt) gruppe etter den induserte ordren .
• I en ordnet gruppe, for alle elementene x , y , x ' og y' , innebærer ulikhetene x ≤ y og x ' ≤ y' ulikheten xx '≤ yy' .Med andre ord kan vi komponere ulikheter av samme betydning, medlem for medlem. I følge definisjonen innebærer ulikheten x ≤ y faktisk xx ' ≤ yx' . Likeledes resulterer ulikheten x ' ≤ y' i yx ' ≤ yy' . Vi konkluderer med transitivitet av ordreforholdet.
• I en ordnet gruppe medfører ulikheten x ≤ y for alle elementene x og y ulikheten y −1 ≤ x −1 .Med andre ord, vi kan gå tilbake til en ulikhet ved å endre dens betydning. For å oppnå dette resultatet er det tilstrekkelig å multiplisere ulikheten x ≤ y med y −1 til venstre og med x −1 til høyre.
• I en totalt ordnet gruppe bevarer bøyningen "  tegnet  " ( y > e G ⇔ xyx −1 > e G ), og hvert element har unike røtter (for et ikke- heltall n , x n = y n ⇒ x = y ).
• Enhver fullstendig bestillbar gruppe er torsjonsfri .Det omvendte er sant hvis gruppen er abelsk , men falsk i det generelle tilfellet: for eksempel er den grunnleggende gruppen til Klein-flasken , dvs. gruppen med to generatorer a og b bare koblet av aba −1 = b −1 , er torsjons- gratis, men (i henhold til forrige punkt) ikke helt bestillbar.
• Hölders 's teorem (1902): et hvilket som helst helt beordret Arkimedes- gruppe er abelsk og er nedsenket i (ℝ, +, ≤).

Se også

• Axiom of Archimedes
• Ordnet kropp
• Bestilt vektorplass  (i)

Referanser

1. T. S. Blyth, Gitter og ordnede algebraiske strukturer , Springer,2005( ISBN  1-85233-905-5 ) , s.  143.
2. (i) Dale Rolfsen, "  Ordered Groups and Topology  " , på UBC ,2001.