Sfærisk harmonisk
Stoffet i denne matematikkartikkelen skal kontrolleres (desember 2016).
Forbedre det eller diskutere ting å sjekke .
Hvis du nettopp har festet banneret, vennligst angi punktene du skal sjekke her .
I matematikk , sfæriske harmoniske er spesielle harmoniske funksjoner , det vil si funksjoner med Laplace-operatoren er null. Sfæriske harmoniske er spesielt nyttige for å løse problemer som er uvarige ved rotasjon, fordi de er egenvektorene til visse operatører relatert til rotasjoner.
De harmoniske polynomene P ( x , y , z ) av grad l danner et vektorrom med dimensjon 2 l + 1 , og kan uttrykkes i sfæriske koordinater ( r , θ , φ ) som lineære kombinasjoner av ( 2 l + 1 ) funksjoner :
rlYl,m(θ,φ){\ displaystyle r ^ {l} \, Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}, med .
-l≤m≤+l{\ displaystyle -l \ leq m \ leq + l}De sfæriske koordinatene ( r , θ , φ ) er henholdsvis avstanden til midten av sfæren, bredden og lengdegraden .
Ethvert homogent polynom bestemmes helt av begrensningen til enhetssfæren S 2 .
Definisjon - Funksjonene på sfæren oppnådd ved begrensning av homogene harmoniske polynomer er sfæriske harmoniske.
Dette er grunnen til at den radiale delen av Laplace-ligningen, forskjellig i henhold til det studerte problemet, ikke vises her.
Sfæriske harmonier brukes i matematisk fysikk, så snart begrepet orientering ( anisotropi ) og derfor rotasjon ( ortogonal symmetri gruppe SO (3) ) kommer til spill og laplacian kommer inn i bildet:
Løse Laplace-ligningen
Vi ser etter funksjonene Y l , m ( θ , φ ) i form av et produkt av to funksjoner av en enkelt variabel:
Yl,m(θ,φ)=kPl,m(cosθ)e+Jegmφ{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = kP_ {l, m} (\ cos \ theta) \ mathrm {e} ^ {+ \, i \, m \, \ varphi}}
hvor k er en konstant, som vil bli fikset senere av normaliseringen. Egenverdiligning blir en lineær differensialligning av orden to for funksjonen P l , m (cos θ ) :
-1syndθd dθ(syndθdPl,m(cosθ)dθ)+m2synd2θPl,m(cosθ)=El,mPl,m(cosθ){\ displaystyle - {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l, m} (\ cos \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta }} P_ {l, m} (\ cos \ theta) = E_ {l, m} P_ {l, m} (\ cos \ theta)}
Vi gjør endringen av variabel: som fører til den generelle differensiallikningen til Legendre:
θ↦x=cosθ{\ displaystyle \ theta \ mapsto x = \ cos \ theta}
-d dx[(1-x2)dPl,m(x)dx]+m2(1-x2)Pl,m(x)=El,mPl,m(x){\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l, m } (x)} {\ mathrm {d} x}} \ right] + {\ frac {m ^ {2}} {(1-x ^ {2})}} P_ {l, m} (x) = E_ {l, m} P_ {l, m} (x)}
Egenverdiene til denne ligningen er uavhengige av m :
El,m=l(l+1) {\ displaystyle E_ {l, m} = l (l + 1) ~}
Egenfunksjonene P l , m ( x ) er de tilhørende Legendre-polynomene . De er bygget fra Legendre-polynomene P l ( x ) som er egenfunksjonene til den vanlige Legendre-differensiallikningen, som tilsvarer saken m = 0 :
-d dx[(1-x2)dPl(x)dx]=l(l+1)Pl(x){\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l} ( x)} {\ mathrm {d} x}} \ right] = l (l + 1) P_ {l} (x)}
Vi har genereringsformelen til Olinde Rodrigues :
Pl(x)=12ll!dl dxl[x2-1]l{\ displaystyle P_ {l} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {l} l!}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {l} ~} {\ mathrm {d} x ^ {l}}} \ venstre [x ^ {2} -1 \ høyre] ^ {l}}
Vi konstruerer deretter egenfunksjonene P l , m ( x ) med formelen:
Pl,m(x)=(-1)m[1-x2]m/2dmPl(x)dxm{\ displaystyle P_ {l, m} (x) = (- 1) ^ {m} \ left [1-x ^ {2} \ right] ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {m} P_ {l} (x)} {\ mathrm {d} x ^ {m}}}}
enten eksplisitt:
Pl,m(x)=(-1)m2ll![1-x2]m/2dl+m dxl+m[x2-1]l{\ displaystyle P_ {l, m} (x) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {l} l!}} \ venstre [1-x ^ {2} \ høyre] ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {l + m} ~} {\ mathrm {d} x ^ {l + m}}} \ venstre [x ^ {2} -1 \ høyre] ^ {l}}
Merk: I praksis er det tilstrekkelig å beregne funksjonene P l , m ( x ) for m ≥ 0 , fordi det eksisterer en enkel sammenheng mellom P l , m ( x ) og P l , - m ( X ) :
Pl,-m(x)=(-1)m(l-m)!(l+m)!Pl,m(x){\ displaystyle P_ {l, -m} (x) = (- 1) ^ {m} {\ frac {(lm)!} {(l + m)!}} P_ {l, m} (x)}
Uttrykk av sfæriske overtoner
Vi får da uttrykket som er oppført nedenfor. En enkel måte å huske dette uttrykket på er som følger:
Yl,0=Pl(cosθ)⋅2l+14π{\ displaystyle Y_ {l, 0} = P_ {l} (\ cos \ theta) \ cdot {\ sqrt {\ frac {2l + 1} {4 \ pi}}}},
hvor P l ( x ) er Legendre-polynom av grad l .
Vi får da:
J+Yl,m=(l2-m2)+(l-m)⋅Yl,m+1{\ displaystyle J _ {+} Y_ {l, m} = {\ sqrt {(l ^ {2} -m ^ {2}) + (lm)}} \ cdot Y_ {l, m + 1}}
eller
J+=eJegϕ(∂∂θ+Jegsolbrunθ⋅∂∂ϕ){\ displaystyle J _ {+} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} + {\ frac {\ mathrm {i }} {\ tan \ theta}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ høyre)}
er operatøren for "stigende stige".
For negativ m ,Yl,m=(-1)m⋅Yl,-m∗{\ displaystyle Y_ {l, m} = (- 1) ^ {m} \ cdot Y_ {l, -m} ^ {*}}
Ofte er denne basen bemerket :
|lm⟩{\ displaystyle | lm \ rangle}
hvilken som helst funksjon på sfæren S 2 kan derfor skrives:
f(θ,ϕ)=fl,m⋅|lm⟩{\ displaystyle f (\ theta, \ phi) = f ^ {l, m} \ cdot | lm \ rangle}
(i Einsteins summeringskonvensjon ), de komplekse koeffisientene f l , m spiller rollen som komponenter av f i basen til (vi noen ganger sier generaliserte Fourier-koeffisienter).
|lm⟩{\ displaystyle | lm \ rangle}
I kjemi eller geofysikk hender det at vi foretrekker å bruke “ekte” sfæriske overtoner og ekte Fourier-koeffisienter.
Matematisk uttrykk
De sfæriske overtonene danner en ortogonal basis på enhetssfæren, enhver kontinuerlig funksjon f ( θ , φ ) brytes ned i en serie sfæriske overtoner:
f(θ,φ)=∑l=0+∞∑m=-l+lVSlm⋅Ylm(θ,φ){\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} C_ {l} ^ {m} \ cdot Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
hvor l og m er heltallindekser , Cm
l er en konstant koeffisient og tar ofte i matematikk navnet generalisert Fourier-koeffisient i forhold til dette grunnlaget.
Utvidelsen i sfæriske harmoniske er ekvivalent, brukt på vinkelfunksjoner, av utviklingen i Fourier-serien for periodiske funksjoner .
Ym
ler den virkelige delen av en kompleks funksjon Ym
l
Ylm(θ,φ)=Re(Ylm_(θ,φ)){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = \ operatorname {Re} \ left ({\ understreket {Y_ {l} ^ {m}}} (\ theta, \ varphi) \ høyre )}
Ym
l kalles “assosiert Legendre-funksjon” og er definert av
Ylm_(θ,φ)=2⋅(l-m)!(l+m)!⋅Plm(cosθ)⋅eJegmφ{\ displaystyle {\ understrek {Y_ {l} ^ {m}}} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} \ cdot P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} m \ varphi}}
hvor jeg er det imaginære og Pm
ler det tilhørende Legendre-polynomet :
Plm(X)=(-1)m2l⋅l!⋅(1-X2)m/2⋅∂m+l∂Xm+l[(X2-1)l]{\ displaystyle P_ {l} ^ {m} (X) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {l} \ cdot l!}} \ cdot (1-X ^ {2} ) ^ {m / 2} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {m + l}} {\ partial X ^ {m + l}}} \ left [(X ^ {2} -1) ^ {l} \ Ikke sant]}
Så det har vi gjort
Ylm(θ,φ)=2⋅(l-m)!(l+m)!⋅Plm(cosθ)⋅cos(mφ){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} \ cdot P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cdot \ cos (m \ varphi)}
Vi har for eksempel:
-
P00(cosθ)=1{\ displaystyle P_ {0} ^ {0} (\ cos \ theta) = 1}( Y0
0 er isotrop);
-
P10(cosθ)=cosθ{\ displaystyle P_ {1} ^ {0} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta} ;
-
P11(cosθ)=-syndθ{\ displaystyle P_ {1} ^ {1} (\ cos \ theta) = - \ sin \ theta} ;
-
P31(cosθ)=32⋅syndθ⋅(-5⋅cos2θ+1){\ displaystyle P_ {3} ^ {1} (\ cos \ theta) = {\ frac {3} {2}} \ cdot \ sin \ theta \ cdot (-5 \ cdot \ cos ^ {2} \ theta + 1)} ;
Y- funksjonerm
l( θ , φ ) presenterer flere og flere symmetrier når l øker (unntatt når l = 0 , siden Y0
0 er en konstant funksjon og beskriver derfor en sfære).
Legendre polynomer
For sirkulære harmoniske, polynomer P l av cosinus blir funksjonen som brukes :
Yl(θ)=Pl(cosθ){\ displaystyle Y_ {l} (\ theta) = P_ {l} (\ cos \ theta)}
Polynomene P l som brukes er Legendre-polynomene :
Pl(X)=12l⋅l!⋅dldXl[(X2-1)l]{\ displaystyle P_ {l} (X) = {\ frac {1} {2 ^ {l} \ cdot l!}} \ cdot {\ frac {d ^ {l}} {dX ^ {l}}} \ venstre [(X ^ {2} -1) ^ {l} \ høyre]}
(
Rodrigues formel , fransk matematiker)
Vi oppnår :
-
P0(cosθ)=1 {\ displaystyle P_ {0} (\ cos \ theta) = 1 ~} (isotrop funksjon);
-
P1(cosθ)=cosθ {\ displaystyle P_ {1} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta ~} ;
-
P2(cosθ)=12(3cos2θ-1){\ displaystyle P_ {2} (\ cos \ theta) = {\ frac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1)} ;
-
P3(cosθ)=12(5cos3θ-3cosθ){\ displaystyle P_ {3} (\ cos \ theta) = {\ frac {1} {2}} (5 \ cos ^ {3} \ theta -3 \ cos \ theta)} ;
Standardiserte sfæriske overtoner
Ortonnormalt grunnlag for sfæriske overtoner
Blant de 2 l + 1- funksjonene har det blitt vanlig å velge en ortonormal basis på sfæren som følger med målingen
S2{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}
dμ=14πsyndθdθdϕ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mu = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi},
enten skalarproduktet ( Hermitian faktisk):
⟨f1∣f2⟩=14π∬S2f1∗f2syndθdθdϕ{\ displaystyle \ langle f_ {1} \ mid f_ {2} \ rangle = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iint _ {S ^ {2}} f_ {1} ^ {*} f_ { 2} \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi}
Sfæriske overtoner er løsningene til egenverdi ligningen:
-ΔYl,m(θ,φ)=l(l+1)Yl,m(θ,φ){\ displaystyle - \ Delta Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = l (l + 1) Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}
hvor den laplaciske operatøren er skrevet i sfæriske koordinater på sfæren til enhetsradius J 2 :
Δf(θ,φ)=defJ2f=1syndθ∂ ∂θ(syndθ∂f∂θ)+1synd2θ∂2f∂φ2{\ displaystyle \ Delta f (\ theta, \ varphi) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} J ^ {2} f = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial ~} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2 } \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}}}
De er de rette funksjonene til operatøren :
J3=-Jeg∂∂ϕ{\ displaystyle J_ {3} = - \ mathrm {i} {\ tfrac {\ partial} {\ partial \ phi}}}
J3Yl,m=m⋅Yl,m{\ displaystyle J_ {3} Y_ {l, m} = m \ cdot Y_ {l, m}}
Disse, når de først er normalisert på sfæren, blir da betegnet Y l, m ( θ , φ ) , hvor vinklene ( θ , φ ) er de sfæriske koordinatene på sfæren med enhetsradius, og l og m er to tall heltall som 0 ≤ l og - l ≤ m ≤ + l
Standardisering
De sfæriske harmonene utgjør et ortonormalt grunnlag for egenfunksjonene til den laplaciske operatøren på sfæren til enhetsradius S 2 i den forstand at:
De er ortogonale for følgende skalære produkt:
∬S2dΩ(θ,φ)Y¯l′,m′(θ,φ)Yl,m(θ,φ)=δl,l′δm,m′{\ displaystyle \ iint _ {S_ {2}} \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) {\ overline {Y}} _ {l ', m'} (\ theta, \ varphi) Y_ { l, m} (\ theta, \ varphi) = \ delta _ {l, l '} \ delta _ {m, m'}}
I denne formelen representerer dΩ ( θ , φ ) den elementære faste vinkelen :
dΩ(θ,φ)=syndθdθdφ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) = \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ varphi}
Enhver tilstrekkelig vanlig funksjon f ( θ , φ ) innrømmer en serieutvidelse:
f(θ,φ)=∑l=0+∞∑m=-l+lpål,mYl,m(θ,φ){\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} a_ {l, m} Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}
der de komplekse koeffisientene a l , m beregnes av:
pål,m=∬S2dΩ(θ,φ)Y¯l,m(θ,φ)f(θ,φ){\ displaystyle a_ {l, m} = \ iint _ {S_ {2}} \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) {\ overline {Y}} _ {l, m} (\ theta, \ varphi) f (\ theta, \ varphi)}
Uttrykk av normaliserte sfæriske overtoner
De generaliserte sfæriske harmoniene er definert på sfæren S 3 . Normaliseringen av sfæriske overtoner fører til det endelige uttrykket:
Yl,m(θ,φ)=(-1)12(m+|m|)(2l+1)4π(l-|m|)!(l+|m|)!Pl,|m|(cosθ)eJegmφ{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} (m + | m |)} {\ sqrt {{\ frac {( 2l +1)} {4 \ pi}} {\ frac {(l- | m |)!} {(L + | m |)!}}}} P_ {l, | m |} (\ cos \ theta ) \ mathrm {e} ^ {i \, m \, \ varphi}}
"Ekte" form for sfæriske harmonier
Hvis m ≠ 0 har de sfæriske overtonene komplekse verdier. Det er imidlertid mulig for en gitt verdi å definere lineære kombinasjoner som er virkelige, mens de fremdeles utgjør en normalisert base på enhetssfæren.
Yℓ,m{\ displaystyle Y _ {\ ell, m}}ℓ{\ displaystyle \ ell}Yℓ,m{\ displaystyle Y _ {\ ell, m}}
Det er tilstrekkelig for dette å ta følgende lineære kombinasjoner:
Y~ℓm={Jeg2(Yℓm-(-1)mYℓ-m)hvis m<0,Yℓ0hvis m=0,12(Yℓ-m+(-1)mYℓm)hvis m>0.={Jeg2(Yℓ-|m|-(-1)mYℓ|m|)hvis m<0,Yℓ0hvis m=0,12(Yℓ-|m|+(-1)mYℓ|m|)hvis m>0.{\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {Y}} _ {\ ell m} & = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ mathrm {i} \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {m} - (- 1) ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {- m} \ right) & {\ text {si}} \ m <0, \ \\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} & {\ text {si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell } ^ {- m} + (- 1) ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {m} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0. \ end {cases}} \ \ & = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ mathrm {i} \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {- | m |} - (- 1) ^ { m} \, Y_ {\ ell} ^ {| m |} \ right) & {\ text {si}} \ m <0, \\\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} & {\ text { si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {- | m |} + (- 1) ^ {m} \ , Y _ {\ ell} ^ {| m |} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0. \ end {cases}} \\\ end {aligned}}}Det er lett å kontrollere at disse uttrykkene er normalisert til enhet. Disse forholdene kan lett reverseres for å gi:
Yℓm={12(Y~ℓ|m|-JegY~ℓ,-|m|)hvis m<0,Y~ℓ0hvis m=0,(-1)m2(Y~ℓ|m|+JegY~ℓ,-|m|)hvis m>0.{\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} = {\ begin {cases} \ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left ({\ tilde {Y}} _ {\ ell | m |} - \ mathrm {i} {\ tilde {Y}} _ {\ ell, - | m |} \ right) & {\ text {si}} \ m <0, \\\ displaystyle {\ tilde {Y }} _ {\ ell 0} & {\ text {si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {(-1) ^ {m} \ over {\ sqrt {2}}} \ left ({\ tilde {Y}} _ {\ ell | m |} + \ mathrm {i} {\ tilde {Y}} _ {\ ell, - | m |} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0 . \ end {cases}}}Ved å erstatte de foregående uttrykkene for sfæriske overtoner, får vi følgende generelle uttrykk:
Y~ℓm={2(2ℓ+1)4π(ℓ-|m|)!(ℓ+|m|)!Pℓ|m|(cosθ)synd|m|φhvis m<0,(2ℓ+1)4πPℓ0(cosθ)hvis m=0,2(2ℓ+1)4π(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm(cosθ)cosmφhvis m>0.{\ displaystyle {\ tilde {Y}} _ {\ ell m} = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {(\ ell - | m |)! \ over (\ ell + | m |)!}}} P _ {\ ell} ^ {| m |} (\ cos \ theta) \ sin | m | \ varphi & {\ mbox {si}} m <0 , \\\ displaystyle {\ sqrt {(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi}} P _ {\ ell} ^ {0} (\ cos \ theta) & {\ mbox {si}} m = 0 , \ \\ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {(\ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cos m \ varphi & {\ mbox {si}} m> 0. \ end {cases} }}Disse funksjonene brukes ofte i kvantekjemi for å representere vinkeldelene til de forskjellige atomorbitalene assosiert med de forskjellige elektronene i den elektroniske prosesjonen av atomer .
Grafiske fremstillinger
Sfærisk representasjon
Hvis vi bruker den sfæriske representasjonen
ρ=ρ0+ρ1⋅Ylm(θ,φ){\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} + \ rho _ {1} \ cdot Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
da er den representative overflaten en humpete kule; støtene tilsvarer delene der Ym
ler positiv, dalene ved delene der Ym
ler negativ. Når θ og φ beskriver intervallet [0; 2π [ , Ym
l( θ , φ ) forsvinner i henhold til l sirkler:
-
m sirkler etter en meridian , en iso- lengdegrad (skjæringspunkt mellom et plan som inneholder Oz og sfæren);
-
l - m sirkler langs en parallell , en iso- breddegrad (skjæringspunkt mellom et plan parallelt med Oxy og sfæren).
Parameteren l kalles "grad", m kalles "azimutal rekkefølge". Mellom kanselleringssirklene er funksjonen vekselvis positiv eller negativ.
Nedenfor er representert fire tverrsnitt av den sfæriske harmoniske Y2
3 :
Som før kan vi representere funksjonen ved kurven i sfæriske koordinater:
Y32{\ displaystyle Y_ {3} ^ {2}}
|
|
ρ=ρ0+ρ1⋅Y32(θ,φ){\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} + \ rho _ {1} \ cdot Y_ {3} ^ {2} (\ theta, \ varphi)} delene i hvitt er positive, i blå negative
|
ρ=|Y32(θ,φ)|2{\ displaystyle \ rho = | Y_ {3} ^ {2} (\ theta, \ varphi) | ^ {2}}
|
Seksjonsrepresentasjon
Sfæriske overtoner kan vises på en enklere måte uten å vibrere magene, og holder bare nodene, som vist i tabellen nedenfor. Dette er kulene til toppfiguren, projisert på et vertikalt plan. Vi finner på den siste linjen de fire kulene i den første figuren over der l = 3 . De fire verdiene til m y varierer fra 0 til 3 i absolutt verdi. I figuren nedenfor skiller vi de negative verdiene for å ta hensyn til at rotasjonen kan gjøres i den ene eller den andre retningen for m > 0 . For å vise samsvar med harmonene, er deres enkleste uttrykk gitt under hver sfære.
Vi gjenkjenner de sekundære kvantetallene l , som tilsvarer s , p , d , f og m , magnetiske underlag av hydrogenatomet. Hovedkvantetallet n vises ikke fordi de radiale modusene er forskjellige i henhold til det studerte problemet, akustisk resonans, hydrogenatom eller annet.
For å vise samsvar med litteraturen, blir uttrykket av de sfæriske harmonene gitt under hver sfære. Antallet og verdien av nullene til de tilknyttede ikke-normaliserte Legendre-polynomene gir antall paralleller og deres posisjon på den vertikale aksen. Den imaginære eksponensielle eksp (i mϕ ) , av enhetsmodul , vanligvis brukt i stedet for sinus og cosinus, gir antall meridianer. Verdiene på l ≥ 4 observeres bare i eksiterte tilstander eller Rydberg-atomer der den vanlige verdien av l er 50 og hvis bane ikke er representert av en kule, men av en ring.
Kartesisk og polær representasjon
Vi kan representere sirkulære harmonier på tre måter:
Tre første sirkulære harmonier
|
Kartesisk representasjon
|
Polar representasjoner (manuell tegning)
|
Polære representasjoner (nøyaktig plot)
|
---|
Y 1 |
|
|
|
Y 2 |
|
|
Y 3 |
|
|
Andre harmoniske
Sirkulære harmoniske
I flyet er nedbrytningen skrevet:
f(θ)=∑l=0+∞VSl⋅Yl(θ){\ displaystyle f (\ theta) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} C_ {l} \ cdot Y_ {l} (\ theta)}
Y 0 er en konstant funksjon, representasjonskurven i polare koordinater r = Y 0 ( θ ) er derfor en sirkel med radius r 0 .
Y l er en funksjon invariant ved en rotasjon av en vinkel på1/l +1 tur, det vil si det
Yl(θ+2πl+1)=Yl(θ){\ displaystyle Y_ {l} \ left (\ theta + {\ frac {2 \ pi} {l + 1}} \ right) = Y_ {l} (\ theta)}
vi sier at Y l innrømmer en symmetri av orden l + 1 .
Generelle sfæriske overtoner
Når du vurderer orienteringen til et objekt i rommet, er det nødvendig å appellere til tre vinkler; vi bruker vanligvis Euler-vinkler ( ψ , θ , φ ) .
Tenk på en kontinuerlig funksjon av orientering f ( ψ , θ , φ ) ; Som tidligere kan denne funksjonen brytes ned i generaliserte sfæriske overtoner
f(ψ,θ,φ)=∑l=0+∞∑m=-l+l∑ikke=-l+lVSlmikke⋅Ylmikke(ψ,θ,φ){\ displaystyle f (\ psi, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} \ sum _ {n = - l} ^ {+ l} C_ {l} ^ {mn} \ cdot Y_ {l} ^ {mn} (\ psi, \ theta, \ varphi)}
hvor Cmn
ler en konstant. Y- funksjonenmn
l er skrevet:
Ylmikke(ψ,θ,φ)=eJegmφ⋅Plmikke(cosθ)⋅eJegikkeψ{\ displaystyle Y_ {l} ^ {mn} (\ psi, \ theta, \ varphi) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} m \ varphi} \ cdot P_ {l} ^ {mn} (\ cos \ theta) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} n \ psi}}
Polynomet Pmn
l er det generaliserte Legendre-polynomet
Plmikke(X)=(-1)l-m⋅Jegikke-m2l⋅(l-m)!⋅[(l-m)!(l+ikke)!(l+m)!(l-ikke)!]1/2⋅(1-X)-ikke-m2{\ displaystyle P_ {l} ^ {mn} (X) = {\ frac {(-1) ^ {lm} \ cdot \ mathrm {i} ^ {nm}} {2 ^ {l} \ cdot (lm) !}} \ cdot \ left [{\ frac {(lm)! (l + n)!} {(l + m)! (ln)!}} \ right] ^ {1/2} \ cdot (1- X) ^ {- {\ frac {nm} {2}}}}⋅(1+X)-ikke+m2⋅∂l-ikke∂Xl-ikke[(1-X)l-m(1+X)l+m]{\ displaystyle \ cdot (1 + X) ^ {- {\ frac {n + m} {2}}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {ln}} {\ partial X ^ {ln}}} \ venstre [(1-X) ^ {lm} (1 + X) ^ {l + m} \ høyre]}
Når X beskriver intervallet [-1; 1] , denne funksjonen Pmn
ler enten ekte eller ren imaginær. Y00
0( ψ , θ , φ ) er den isotropiske funksjonen (sfærisk symmetri).
I henhold til loven om rotasjonssammensetning har vi:
Ylmikke(ψ1+ψ2,θ1+θ2,φ1+φ2)=∑s=-l+lYlms(ψ1,θ1,φ1)⋅Ylsikke(ψ2,θ2,φ2){\ displaystyle Y_ {l} ^ {mn} (\ psi _ {1} + \ psi _ {2}, \ theta _ {1} + \ theta _ {2}, \ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}) = \ sum _ {s = -l} ^ {+ l} Y_ {l} ^ {ms} (\ psi _ {1}, \ theta _ {1}, \ varphi _ {1}) \ cdot Y_ {l} ^ {sn} (\ psi _ {2}, \ theta _ {2}, \ varphi _ {2})}
og spesielt
Plmikke(cos(θ1+θ2))=∑s=-l+lPlms(cosθ1)⋅Plsikke(cosθ2){\ displaystyle P_ {l} ^ {mn} (\ cos (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})) = \ sum _ {s = -l} ^ {+ l} P_ {l} ^ {ms} (\ cos \ theta _ {1}) \ cdot P_ {l} ^ {sn} (\ cos \ theta _ {2})}
Generelt har vi:
Plmikke=Plikkem=Pl-m-ikke{\ displaystyle P_ {l} ^ {mn} = P_ {l} ^ {nm} = P_ {l} ^ {- mn}}
For eksempel for l = 1 :
P1mikke(cosθ){\ displaystyle P_ {1} ^ {mn} (\ cos \ theta)}
m
|
ikke
|
---|
-1
|
0
|
+1
|
-1
|
12(1+cosθ){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos \ theta)}
|
-Jeg2syndθ{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
12(cosθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ cos \ theta -1)}
|
0
|
-Jeg2syndθ{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
cosθ{\ displaystyle \ cos \ theta}
|
-Jeg2syndθ{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
1
|
12(cosθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ cos \ theta -1)}
|
-Jeg2syndθ{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
12(1+cosθ){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos \ theta)}
|
For l = 2 :
P2mikke(cosθ){\ displaystyle P_ {2} ^ {mn} (\ cos \ theta)}
m
|
ikke
|
---|
-2
|
-1
|
0
|
+1
|
+2
|
-2
|
14(cosθ+1)2{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta +1) ^ {2}}
|
-Jeg2syndθ(cosθ+1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
-1232(1-cos2θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-Jeg2syndθ(cosθ-1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
14(cosθ-1)2{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta -1) ^ {2}}
|
-1
|
-Jeg2syndθ(cosθ+1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
12(2cos2θ+cosθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta + \ cos \ theta -1)}
|
-32Jegsyndθcosθ{\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(2cos2θ-cosθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta - \ cos \ theta -1)}
|
-Jeg2syndθ(cosθ-1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
0
|
-1232(1-cos2θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-32Jegsyndθcosθ{\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(3cos2θ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1)}
|
-32Jegsyndθcosθ{\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
-1232(1-cos2θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
1
|
-Jeg2syndθ(cosθ-1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
12(2cos2θ-cosθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta - \ cos \ theta -1)}
|
-32Jegsyndθcosθ{\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(2cos2θ+cosθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta + \ cos \ theta -1)}
|
-Jeg2syndθ(cosθ+1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
2
|
14(cosθ-1)2{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta -1) ^ {2}}
|
-Jeg2syndθ(cosθ-1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
-1232(1-cos2θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-Jeg2syndθ(cosθ+1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
14(cosθ+1)2{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta +1) ^ {2}}
|
Merknader og referanser
-
Vi introduserte et minustegn for å ha positive egenverdier . Laplacian-operatøren er faktisk en negativ operatør i den forstand at vi for enhver jevn funksjon ϕ med kompakt støtte har:∫ϕΔϕ=-∫‖grpådϕ‖2{\ displaystyle \ int \ phi \ Delta \ phi = - \ int \ | \ mathrm {grad} \ phi \ | ^ {2}}
Denne likheten demonstreres ved å bruke forholdet Δ = div grad og ved å integrere med deler .
-
Bernard Schaeffer, Relativiteter og kvantum avklart , Publibook, 2007
-
Sirkulære atomer: egenskaper og forberedelse
Se også
Relaterte artikler
Eksterne linker
Bibliografi
- Isaac Todhunter, en elementær avhandling om Laplace's funksjoner, Lame's funksjoner og Bessels funksjoner , Macmillan og Co, 1875.
- Norman McLeod Ferrers, En elementær avhandling om sfæriske harmonier og emner knyttet til dem , Macmillan og Co, 1877.
- William Ellwood Byerly, En elementær avhandling om Fouriers serie og sfæriske, sylindriske og ellipsoide harmoniske med anvendelser til problemer i matematisk fysikk , Ginn & Co, 1893.
- René Lagrange, Polynômes et functions de Legendre coll. “Memorial of Mathematical Sciences”, n o 97, Gauthier Villars-1939.
- IS Gradshteyn og IM Ryzhik, tabell over integraler, serier og produkter , red. Alan Jeffrey og Daniel Zwillinger, Academic Press ( 6 th edition, 2000) ( ISBN 0-12-294757-6 ) . Errata på forlagets nettsted: [http: //www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com].
- John D. Jackson, Klassisk elektrodynamikk - kurs og øvelser i elektromagnetisme , Dunod, 2001) ( ISBN 2-10-004411-7 ) . Fransk oversettelse av 3 rd utgaven av den store amerikanske klassiker.
-
JL Basdevant og J. Dalibard, Quantum Mechanics [ detalj av utgaver ].
-
C. Cohen-Tannoudji , B. Diu og F. Laloë , kvantemekanikk [ detalj av utgaven ].
-
Albert Messiah , Quantum Mechanics [ detalj av utgaver ].
- H.-J. Bunge, Texture analysis in materials science - Mathematical methods , red. Butterworths, 1969 (1982 for engelsk oversettelse): for generaliserte sfæriske harmonier.
-
Yvette Kosmann-Schwarzbach , Grupper og symmetrier: endelige grupper, grupper og Lie algebras, representasjoner , Éditions de l'École polytechnique,juli 2006 ; kapittel 7, “Sfæriske harmoniske” ( ISBN 978-2-7302-1257-1 ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">