Hyperfunksjon
Begrepet hyperfunksjon , på grunn av Mikio Satō , generaliserer distribusjon (i betydningen Schwartz ). Hyperfunksjoner på den virkelige linjen er definert som forskjeller mellom "kantverdiene" på den virkelige aksen til holomorfe funksjoner ; de gjør det mulig å finne ikke-trivielle løsninger på lineære differensiallikninger hvis eneste løsning er null i fordelingsrommet. Området for hyperfunksjoner er derfor "større" enn distribusjonene; mens en distribusjon er "lokalt av endelig orden", kan en hyperfunksjon være "lokalt av uendelig rekkefølge" fordi den er "lokalt" en analytisk funksjonell (dvs. en kontinuerlig lineær form i et rom med analytiske funksjoner ). En annen fordel er at bunten med hyperfunksjoner er "slapp" (det vil si at begrensningsmorfismen fra et åpent til et mindre åpent er antagelig), en egenskap som ikke deles av pakken. Distribusjoner. Til slutt er hyperfunksjoner kohomologiklasser med koeffisienter i bunten av analytiske funksjoner; en slik kohomologiske tolkning er helt fremmed for teorien av fordelinger, og det forklarer at hyperfunctions egner seg bedre enn fordelingene til en algebraisk behandling av differensialligninger og partielle differensialligninger ( " algebraisk analyse "). Etter arbeidet med Satō ble teorien om hyperfunksjoner utviklet av flere matematikere, inkludert Komatsu, Martineau , Harvey og Schapira . Det har gitt opphav til flere pedagogiske arbeider som utvikler forskjellige synspunkter. Denne artikkelen gjenopptas i sin brede oversikt, med noen komplement, presentasjonen av et verk som blant annet avslører bruken av hyperfunksjoner til teorien om lineære systemer (i betydningen automatisk ).
Hyperfunksjoner i et åpent fra ekte høyre
Definisjon av hyperfunksjon
La være en åpen fra den virkelige linjen. Et komplekst nabolag av er definert som et åpent U av det komplekse planet som er relativt lukket i , dvs. hvis skjæringspunktet med den virkelige aksen er . Delsettet av det komplekse planet er åpent.
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
U-Ω{\ displaystyle U- \ Omega}![{\ displaystyle U- \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970212dfc0bfefc7e288d03476b8cb9ffec3c72e)
Vi betegner (resp. ) The - algebra av funksjoner med komplekse, analytiske verdier i U (resp. ). Siden (med en åpenbar notasjon), kan vi danne kvotienten
O(U){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (U \ right)}
O(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
O(U)⊂O(U-Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (U \ right) \ subset {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (U \ right) \ subset {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52544c88db6ade0a26d82181663522542d75d08)
B(Ω)=O(U-Ω)/O(U){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right) / {\ mathcal {O}} \ left (U \ right )}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right) / {\ mathcal {O}} \ left (U \ right )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6393cf9ace75689a1fe943a29722de980ce1fce9)
Vi viser takk til en setning på grunn av Mittag-Leffler som bare avhenger av og ikke av det komplekse nabolaget U vurderes, noe som rettferdiggjør notasjonen. Vi kan derfor også skrive
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
B(Ω)=lim⟶U∈U(Ω)O(U-Ω)/O(U){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = \ lim \ limits _ {\ underset {U \ in {\ mathfrak {U}} \ left (\ Omega \ right)} {\ longrightarrow }} {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right) / {\ mathcal {O}} \ left (U \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = \ lim \ limits _ {\ underset {U \ in {\ mathfrak {U}} \ left (\ Omega \ right)} {\ longrightarrow }} {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right) / {\ mathcal {O}} \ left (U \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4805afddea395492676cc3514cbcc4172d18933)
hvor er det induktive systemet for komplekse nabolag ordnet etter inkludering.
U(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {U}} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
Definisjon -
Området for hyperfunksjoner i est .
Ω{\ displaystyle \ Omega}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d12d7902ebd42b09554bf17d83b20bd5dda3026)
Rommet er lik , dvs. den første gruppen av kohomologi av U modulo og koeffisienter i bunten av holomorfe funksjoner (dette er relativ kohomologi (en) for åpne par, utviklet av Satō og uavhengig, i en mer generell, Grothendieck ). Det følger at det er en bjelke.
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
HΩ1(U;O){\ displaystyle H _ {\ Omega} ^ {1} \ left (U; {\ mathcal {O}} \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
O{\ displaystyle {\ mathcal {O}}}
B:Ω↦B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}}: \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}}: \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a565924efa7c30979e6792f4e57503042ea8fe)
Enten . Siden hvor kan den ovennevnte analytiske funksjonen skrives unikt som hvor . Det kanoniske bildet i kvotensrom (dvs. hyperfunksjonen definert av denne analytiske funksjonen) er notert . Ved å dra nytte av det andre uttrykket ovenfor av , som en induktiv grense , skriver vi for altφ∈O(U-Ω){\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}
U-Ω=U+∪U-{\ displaystyle U- \ Omega = U _ {+} \ cup U _ {-}}
U±={z∈U:±ℑ(z)>0}{\ displaystyle U _ {\ pm} = \ left \ {z \ in U: \ pm \ Im \ left (z \ right)> 0 \ right \}}
φ{\ displaystyle \ varphi}
φ+-φ-{\ displaystyle \ varphi _ {+} - \ varphi _ {-}}
φ±∈O(U±){\ displaystyle \ varphi _ {\ pm} \ i {\ mathcal {O}} \ venstre (U _ {\ pm} \ høyre)}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
x∈Ω{\ displaystyle x \ in \ Omega}
[φ](x)=φ(x+Jeg0)-φ(x-Jeg0)=[φ(z)]z=x{\ displaystyle \ venstre [\ varphi \ høyre] \ venstre (x \ høyre) = \ varphi \ venstre (x + i0 \ høyre) - \ varphi \ venstre (x-i0 \ høyre) = \ venstre [\ varphi \ venstre (z \ høyre) \ høyre] _ {z = x}}![{\ displaystyle \ venstre [\ varphi \ høyre] \ venstre (x \ høyre) = \ varphi \ venstre (x + i0 \ høyre) - \ varphi \ venstre (x-i0 \ høyre) = \ venstre [\ varphi \ venstre (z \ høyre) \ høyre] _ {z = x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffd934f75e0eef2f4c86ce9a2a676f981ead4a5)
.
Vi kaller en definisjonsfunksjon av . Vi har (per definisjon) if (og bare hvis) . De verdier ved kanten av den holomorfe funksjon er
φ∈O(U-Ω){\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}
[φ]=0{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] = 0}
φ∈O(U){\ displaystyle \ varphi \ i {\ mathcal {O}} \ venstre (U \ høyre)}
φ(z)∈O(U-Ω){\ displaystyle \ varphi \ left (z \ right) \ i {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}![{\ displaystyle \ varphi \ left (z \ right) \ i {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fcdf85e2e02a24d844d48b029c5307560e42f6)
φ(x+Jeg0)=[εφ]{\ displaystyle \ varphi \ left (x + i0 \ right) = \ left [\ varepsilon \ varphi \ right]}![{\ displaystyle \ varphi \ left (x + i0 \ right) = \ left [\ varepsilon \ varphi \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d97acd81b2687a42e7fbd6b2bd3bfb8e514ed5e)
og
φ(x-Jeg0)=-[ε¯φ]{\ displaystyle \ varphi \ left (x-i0 \ right) = - \ left [{\ bar {\ varepsilon}} \ varphi \ right]}
hvor og (merk at og begge tilhører ). Vi definerer de to operatørverdiene på kanten .
ε(z)={1 hvis ℑ(z)>00 hvis ℑ(z)<0{\ displaystyle \ varepsilon \ left (z \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {c} 1 {\ text {si}} \ Im \ left (z \ right)> 0 \\ 0 {\ tekst {si}} \ Im \ left (z \ right) <0 \ end {array}} \ right.}
ε¯(z)={0 hvis ℑ(z)>01 hvis ℑ(z)<0{\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} \ left (z \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {c} 0 {\ text {si}} \ Im \ left (z \ right)> 0 \\ 1 {\ text {si}} \ Im \ left (z \ right) <0 \ end {array}} \ right.}
ε{\ displaystyle \ varepsilon}
ε¯{\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}}}
O(U-Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}
b±:O(U-Ω)→B(Ω):φ↦φ(x±Jeg0){\ displaystyle \ mathbf {b} _ {\ pm}: {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right) \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right): \ varphi \ mapsto \ varphi \ left (x \ pm i0 \ høyre)}![{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {\ pm}: {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right) \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right): \ varphi \ mapsto \ varphi \ left (x \ pm i0 \ høyre)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f551b27a2a9d65d455882547dccd9f075258f0)
Operasjoner på hyperfunksjoner
Multiplikasjon med en analytisk funksjon
Enten . Det eksisterer et komplekst nabolag U av slike som f strekker seg over U ; eller en slik utvidelse. Vi definerer deretter produktet
f∈O(Ω){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
f~{\ displaystyle {\ tilde {f}}}![{\ displaystyle {\ tilde {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cb99679a4b79cb5ca3c242811bd91220c91f2e)
f[φ]: =[f~φ]{\ displaystyle f \ left [\ varphi \ right]: = \ left [{\ tilde {f}} \ varphi \ right]}![{\ displaystyle f \ left [\ varphi \ right]: = \ left [{\ tilde {f}} \ varphi \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738017f17e83285979aa9726cbc88fb18f85d235)
,
som gir en struktur av - modul .
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
O(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2380ab9c8f0ff9e23ab42039565ff7ff8e29366e)
Fordypning av rommet til analytiske funksjoner i rommet til hyperfunksjoner
La og dens utvidelse til et komplekst nabolag i . Vurder hyperfunksjon . Søknaden er veldefinert og injiserende fra inn , noe som gjør det mulig å fordype det første rommet i det andre.
f∈O(Ω){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
f~{\ displaystyle {\ tilde {f}}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
[f~ε]=-[f~ε¯]{\ displaystyle \ left [{\ tilde {f}} \ varepsilon \ right] = - \ left [{\ tilde {f}} {\ bar {\ varepsilon}} \ right]}
f↦[f~ε]{\ displaystyle f \ mapsto \ left [{\ tilde {f}} \ varepsilon \ right]}
O(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d12d7902ebd42b09554bf17d83b20bd5dda3026)
Derivasjon
Derivatet (hvor ) er definert av forholdet
∂[φ]{\ displaystyle \ partial \ left [\ varphi \ right]}
∂=d/dx{\ displaystyle \ partial = d / dx}![{\ displaystyle \ partial = d / dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406bdfad6330792642dc096670b50d2308a26dcf)
∂[φ]=[dφdz]{\ displaystyle \ partial \ left [\ varphi \ right] = \ left [{\ frac {d \ varphi} {dz}} \ right]}![{\ displaystyle \ partial \ left [\ varphi \ right] = \ left [{\ frac {d \ varphi} {dz}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d9e290a242d0cbf3621ae4e1c50df4355d3ac2)
.
Mer generelt, det vil si en differensialoperatør med analytiske koeffisienter. Vi definerer, ved å stilleP=P(x,∂)=∑k=0ikkepåJeg(x)∂Jeg{\ displaystyle P = P \ venstre (x, \ delvis \ høyre) = \ sum \ grenser _ {k = 0} ^ {n} a_ {i} (x) \ delvis ^ {i}}
z=x+Jegy{\ displaystyle z = x + iy}
P[φ]=[∑k=0ikkepåJeg(z)dJegφdzJeg]{\ displaystyle P \ left [\ varphi \ right] = \ left [\ sum \ limits _ {k = 0} ^ {n} a_ {i} (z) {\ frac {d ^ {i} \ varphi} { dz ^ {i}}} \ høyre]}![{\ displaystyle P \ left [\ varphi \ right] = \ left [\ sum \ limits _ {k = 0} ^ {n} a_ {i} (z) {\ frac {d ^ {i} \ varphi} { dz ^ {i}}} \ høyre]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e91e4e62fecb9ae4f5479f0ef239a3faab87cb)
.
Dette er fortsatt mulig hvis P er en operatør av uendelig rekkefølge, dvs. hvis vi erstatter over n med , forutsatt at serien konvergerer i Fréchet-rommet (utstyrt med topologien for den ensartede konvergensen på en hvilken som helst kompakt ). En slik operatør vil selvfølgelig ikke ha noen betydning for en distribusjon.
+∞{\ displaystyle + \ infty}
∑k=0+∞påJegdJegφdzJeg{\ displaystyle \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {i} {\ frac {d ^ {i} \ varphi} {dz ^ {i}}}}
O(U-Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfa2f90ec87db7dbe4781d00f974b7eeb2a4750)
Begrensning og støtte for hyperfunksjon
La en åpne fra den virkelige linjen ,, og en åpne fra den virkelige linjen inkludert i . Vi definerer begrensningen av til av forholdet . Vi har følgende to resultater:
Ω{\ displaystyle \ Omega}
[φ]∈B(Ω){\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ i {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
Ω′{\ displaystyle \ Omega ^ {\ prime}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
[φ]|Ω′{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right.}
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}
Ω′{\ displaystyle \ Omega ^ {\ prime}}
[φ]|Ω′=[φ|Ω′]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right. = \ left [\ varphi \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right . \ Ikke sant]}![{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right. = \ left [\ varphi \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right . \ Ikke sant]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba3fa407c99c39b671102668521103393e0ac0d)
Teorem -
Restriksjonsmorfismen er surjektiv, med andre ord er bunten av hyperfunksjoner på den virkelige linjen slap.
ρΩΩ′:B(Ω)→B(Ω′){\ displaystyle \ rho _ {\ Omega} ^ {\ Omega ^ {\ prime}}: {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega ^ {\ prime} \ høyre)}
Ω↦B(Ω){\ displaystyle \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c2f5d6b799fa6d2f7ee8569bc9f56c4c33c48d)
Teorem og definisjon - Det er en større åpen slik at . Delsettet , relativt lukket , er unikt bestemt og kalles støtte fra (bemerket ).
Ω′⊂Ω{\ displaystyle \ Omega ^ {\ prime} \ delmengde \ Omega}
[φ]|Ω′=0{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right. = 0}
Ω-Ω′{\ displaystyle \ Omega - \ Omega ^ {\ prime}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}
suss[φ]{\ displaystyle supp \ left [\ varphi \ right]}![{\ displaystyle supp \ left [\ varphi \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae0d0681b04e5a33d8d34050b83f2a8ba1b17d6)
Eksempler på hyperfunksjoner
Hyperfunksjon av Dirac og dets derivater
La være et åpent intervall for den virkelige linjen som inneholder 0, og vurder hyperfunksjonen
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
δ=[-12πJegz]=12πJeg(x+Jeg0)-12πJeg(x-Jeg0){\ displaystyle \ delta = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi iz}} \ right] = {\ frac {1} {2 \ pi i \ left (x + i0 \ right)}} - {\ frac {1} {2 \ pi i \ left (x-i0 \ right)}}}![{\ displaystyle \ delta = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi iz}} \ right] = {\ frac {1} {2 \ pi i \ left (x + i0 \ right)}} - {\ frac {1} {2 \ pi i \ left (x-i0 \ right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56df7cdf13090aa60918fd3806d5eb069997c71)
.
La og U være et ganske enkelt sammenkoblet komplekst nabolag av , liten nok til at en utvidelse til U blir tatt opp, en fortsettelse som vi vil merke igjen for ikke å komplisere skriftene. Vi antar videre at U har en kant som, kanonisk orientert, er en kontinuerlig differensierbar blonder (vi vil da si at kanten er vanlig ; i forlengelsen, i det følgende, kan en vanlig kant være foreningen av vanlige kanter i den forstand begrenset som nettopp har blitt definert hvis disse kantene er to og to usammenhengende). Hyperfunksjon virker som følger på :
ψ∈O(Ω){\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
ψ{\ displaystyle \ psi}
ψ{\ displaystyle \ psi}
∂U{\ displaystyle \ delvis U}
∂U{\ displaystyle \ delvis U}
δ{\ displaystyle \ delta}
ψ{\ displaystyle \ psi}![\ psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
⟨δ,ψ⟩: =-∮∂U-12πJegzψ(z)dz{\ displaystyle \ left \ langle \ delta, \ psi \ right \ rangle: = - \ anint \ nolimits _ {\ partial U} {\ frac {-1} {2 \ pi iz}} \ psi \ left (z \ høyre) dz}![{\ displaystyle \ left \ langle \ delta, \ psi \ right \ rangle: = - \ anint \ nolimits _ {\ partial U} {\ frac {-1} {2 \ pi iz}} \ psi \ left (z \ høyre) dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dce2edebbaa62fbccfcb541e1b02a3854aea8e7)
.
The Cauchy integralsetningen antyder det , som tilsvarer den "generaliserte funksjonen" Dirac som representerer massen +1 ved punkt 0.
⟨δ,ψ⟩=ψ(0){\ displaystyle \ left \ langle \ delta, \ psi \ right \ rangle = \ psi \ left (0 \ right)}![{\ displaystyle \ left \ langle \ delta, \ psi \ right \ rangle = \ psi \ left (0 \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3a0ed28fb6b2a37ef195fcf4c8b82474d1cbde)
Derivatet av orden n av er gitt av
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
δ(ikke)=-12πJeg[dikkedzikke1z]=(-1)ikke+1ikke!2πJeg[1zikke+1]=(-1)ikke+1ikke!2πJeg(1(x+Jeg0)ikke+1-1(x-Jeg0)ikke+1).{\ displaystyle \ delta ^ {\ left (n \ right)} = {\ frac {-1} {2 \ pi i}} \ left [{\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}} } {\ frac {1} {z}} \ right] = \ left (-1 \ right) ^ {n + 1} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ left [{\ frac { 1} {z ^ {n + 1}}} \ høyre] = \ venstre (-1 \ høyre) ^ {n + 1} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ venstre ({\ frac {1} {\ left (x + i0 \ right) ^ {n + 1}}} - {\ frac {1} {\ left (x-i0 \ right) ^ {n + 1}}} \ right). }![{\ displaystyle \ delta ^ {\ left (n \ right)} = {\ frac {-1} {2 \ pi i}} \ left [{\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}} } {\ frac {1} {z}} \ right] = \ left (-1 \ right) ^ {n + 1} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ left [{\ frac { 1} {z ^ {n + 1}}} \ høyre] = \ venstre (-1 \ høyre) ^ {n + 1} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ venstre ({\ frac {1} {\ left (x + i0 \ right) ^ {n + 1}}} - {\ frac {1} {\ left (x-i0 \ right) ^ {n + 1}}} \ right). }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8486e2b65ed4e1758e511da48919cfe7a5078e)
La være en analytisk funksjon definert som ovenfor. Cauchys integrerte setning innebærer en formel som ligner den som er oppnådd med derivatet av orden n av Dirac- fordelingen .
ψ{\ displaystyle \ psi}
⟨δ(ikke),ψ⟩=(-1)ikkeψ(ikke)(0){\ displaystyle \ left \ langle \ delta ^ {\ left (n \ right)}, \ psi \ right \ rangle = \ left (-1 \ right) ^ {n} \ psi ^ {\ left (n \ right) } \ venstre (0 \ høyre)}![{\ displaystyle \ left \ langle \ delta ^ {\ left (n \ right)}, \ psi \ right \ rangle = \ left (-1 \ right) ^ {n} \ psi ^ {\ left (n \ right) } \ venstre (0 \ høyre)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915193df1c251bc61c8e0b3e92a538e045157332)
Det skal bemerkes at Dirac-hyperfunksjonen og alle dens derivater støttes .
{0}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}![{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92fb4ba1dbe6e7512b5fc989753060a7e15261)
Heaviside hyperfunksjon
Heaviside hyperfunksjon er definert av
Υ(x)=[-12πJegln(-z)]z=x{\ displaystyle \ Upsilon \ left (x \ right) = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi i}} \ ln \ left (-z \ right) \ right] _ {z = x}}![{\ displaystyle \ Upsilon \ left (x \ right) = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi i}} \ ln \ left (-z \ right) \ right] _ {z = x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e389586b3b1e2f7bfee2e1ba38ce1c62503ba97a)
hvor er hovedbestemmelsen til logaritmen , og vi sjekker umiddelbart at dens derivat er lik Dirac-hyperfunksjonen .
ln{\ displaystyle \ ln}
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
En hyperfunksjon av uendelig rekkefølge
Fra det som går foran, har vi hvis denne hyperfunksjonen er null for . På den annen side , derfor
[12πJegzikke+1]=(-1)ikke+1ikke!δ(ikke){\ displaystyle \ left [{\ frac {1} {2 \ pi iz ^ {n + 1}}} \ right] = {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1}} {n !}} \ delta ^ {\ left (n \ right)}}
ikke≥0{\ displaystyle n \ geq 0}
ikke=-1{\ displaystyle n = -1}
e1z=1+∑ikke=0+∞1(ikke+1)!1zikke+1{\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {z}} = 1+ \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {\ left (n + 1 \ right) !}} {\ frac {1} {z ^ {n + 1}}}}![{\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {z}} = 1+ \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {\ left (n + 1 \ right) !}} {\ frac {1} {z ^ {n + 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0efe58f0a310042c43d8ce766aba35831f50a9)
[-12πJege1z]=∑ikke=0+∞(-1)ikkeikke!(ikke+1)!δ(ikke){\ displaystyle \ left [- {\ frac {1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac {1} {z}} \ right] = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n! \ left (n + 1 \ right)!}} \ delta ^ {\ left (n \ right)}}![{\ displaystyle \ left [- {\ frac {1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac {1} {z}} \ right] = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n! \ left (n + 1 \ right)!}} \ delta ^ {\ left (n \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166e74ab5d2cada141bf412ceb2a5242042c2fe8)
som er en støttende hyperfunksjon . Denne hyperfunksjonen er av uendelig rekkefølge, den kan ikke identifiseres med en distribusjon (som alltid er lokal endelig orden), noe som skyldes at 0 er et essensielt entallpunkt for den definerende funksjonen.
{0}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}![{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92fb4ba1dbe6e7512b5fc989753060a7e15261)
Kompakte støtte hyperfunksjoner
Definisjon
La Ω være en åpen linje av den virkelige linjen og K en kompakt delmengde av Ω. La være rommet for frø av analytiske funksjoner definert i et komplekst (åpent) nabolag av K , nemlig den induktive grensen
O(K){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99cf2e3e79d65fa6e4fc1a9e80f852769ea31ac)
O(K)=lim⟶U⊃KO(U).{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) = \ lim \ limits _ {\ underset {U \ supset K} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {O}} \ left (U \ right ).}![{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) = \ lim \ limits _ {\ underset {U \ supset K} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {O}} \ left (U \ right ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d4c6be14fb9f79469a8cf304763aceac17ced2)
Er også løpet av hyperfunctions på Ω støtte inkludert i K . Rommet med kontinuerlige lineære former på er et kjernefysisk Fréchet - Schwartz- rom , og det samme gjelder . Det følger av et teorem på grunn Köthe at de to mellomrom og er algebraisk og topologisk isomorfe, og kan derfor bli identifisert.
BK(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}
O(K)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}
O(K){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}
BK(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}
O(K)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}
BK(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ea59def1bfd6c1d8785b669a15c2e4f3a7b736)
Mer presist, la , og U være et komplekst nabolag i K , inkludert i og med vanlig kant. Dualitetsbraketten er definert av
ψ∈O(K){\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}
T=[φ]∈BK(Ω){\ displaystyle T = \ left [\ varphi \ right] \ in {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
⟨T,ψ⟩=-∮∂Uψ(z)φ(z)dz{\ displaystyle \ left \ langle T, \ psi \ right \ rangle = - \ anint \ nolimits _ {\ partial U} \ psi \ left (z \ right) \ varphi \ left (z \ right) dz}![{\ displaystyle \ left \ langle T, \ psi \ right \ rangle = - \ anint \ nolimits _ {\ partial U} \ psi \ left (z \ right) \ varphi \ left (z \ right) dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af1c3a29b2c3164be3f41b646a03ae01b361364)
.
Rommet for hyperfunksjoner med kompakt støtte har derfor en "god struktur" av topologisk vektorrom, noe som ikke er tilfelle for rommet for hyperfunksjoner med noen støtte, som bare kan leveres med grov topologi. (Se nedenfor ).
Konvolusjon
La , , , og
TJeg=[φJeg]∈BKJeg(R){\ displaystyle T_ {i} = \ left [\ varphi _ {i} \ right] \ in {\ mathcal {B}} _ {K_ {i}} \ left (\ mathbb {R} \ right)}
φJeg∈O(VS-KJeg){\ displaystyle \ varphi _ {i} \ i {\ mathcal {O}} \ venstre (\ mathbb {C} -K_ {i} \ høyre)}
Jeg=1,2{\ displaystyle i = 1,2}![{\ displaystyle i = 1,2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608b3c5e448c465889913a88a105e38e7316fba7)
φ(z)=∮∂Uφ1(w)φ2(z-w)dw{\ displaystyle \ varphi \ left (z \ right) = \ anint \ nolimits _ {\ partial U} \ varphi _ {1} \ left (w \ right) \ varphi _ {2} \ left (zw \ right) dw }![{\ displaystyle \ varphi \ left (z \ right) = \ anint \ nolimits _ {\ partial U} \ varphi _ {1} \ left (w \ right) \ varphi _ {2} \ left (zw \ right) dw }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c016b74bcf0dae0964d07596cc3d035113b050)
.
der U er et tilstrekkelig lite komplekst nabolag i . Så og vi kan derfor definere hyperfunksjonen
K1{\ displaystyle K_ {1}}
φ∈O(VS-(K1+K2)){\ displaystyle \ varphi \ i {\ mathcal {O}} \ left (\ mathbb {C} - \ left (K_ {1} + K_ {2} \ right) \ right)}![{\ displaystyle \ varphi \ i {\ mathcal {O}} \ left (\ mathbb {C} - \ left (K_ {1} + K_ {2} \ right) \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108660902dc42d2fe740224e5b1675c5496d5bca)
T1⋆T2=[φ]∈BK1+K2(R){\ displaystyle T_ {1} \ star T_ {2} = \ left [\ varphi \ right] \ in {\ mathcal {B}} _ {K_ {1} + K_ {2}} \ left (\ mathbb {R } \ Ikke sant)}![{\ displaystyle T_ {1} \ star T_ {2} = \ left [\ varphi \ right] \ in {\ mathcal {B}} _ {K_ {1} + K_ {2}} \ left (\ mathbb {R } \ Ikke sant)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbbfd74ddd28ec4a8239a9fdb45418cf1d335c6)
kalt konvolusjonsproduktet til de to kompakte støttede hyperfunksjonene og . Dette konvolusjonsproduktet kan fremdeles defineres hvis bare ett har kompakt støtte.
T1{\ displaystyle T_ {1}}
T2{\ displaystyle T_ {2}}
T1{\ displaystyle T_ {1}}![T _ {{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f304724948a3ef606c4a92459e22b87a954d993)
Hyperfunksjon definert av en distribusjon med kompakt støtte
Ω er en åpen av den virkelige linje, K en kompakt undergruppe av Ω og T en bærer fordeling som inngår i K . La derimot være et komplekst nabolag av K med en vanlig kant og forU⊂Ω{\ displaystyle U \ subset \ Omega}
z∈U-Ω{\ displaystyle z \ i U- \ Omega}
φT(z)=12πJeg∮Ω1x-zdT(x){\ displaystyle \ varphi _ {T} \ left (z \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint \ nolimits _ {\ Omega} {\ frac {1} {xz}} dT \ left (x \ right)}![{\ displaystyle \ varphi _ {T} \ left (z \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint \ nolimits _ {\ Omega} {\ frac {1} {xz}} dT \ left (x \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c090b88a5d30185a6b27bda35b0a960dd5af552)
(der, for å forenkle skrivingen, bemerket vi T som et mål). Da er hyperfunksjonen definert av T- fordelingen . Støtten til denne hyperfunksjonen er identisk med den til T, og applikasjonen er injeksjonsdyktig, noe som gjør det mulig å fordype distribusjonsrommet med kompakt støtte i rommet for hyperfunksjoner med kompakt støtte. For eksempel sjekker man umiddelbart at hyperfunksjonen til Dirac som er definert ovenfor, faktisk er.
[φT]{\ displaystyle \ left [\ varphi _ {T} \ right]}
T↦[φT]{\ displaystyle T \ mapsto \ left [\ varphi _ {T} \ right]}
[φδ]{\ displaystyle \ left [\ varphi _ {\ delta} \ right]}![{\ displaystyle \ left [\ varphi _ {\ delta} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d1ce7fc1e79499c82c2064a237e475af048c57)
Nedsenkelse av distribusjonsrommet i hyperfunksjonsrommet
Generelt prinsipp
Enhver hyperfunksjon i en åpen av den virkelige linjen kan skrives som summen av en lokalt endelig serie av hyperfunksjoner i kompakt støtte. Det samme gjelder en distribusjon. Takket være den forrige konstruksjonen kan vi derfor fordype distribusjonsrommet i , i rommet til hyperfunksjoner i . Denne innebyggingen holder støtten.
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
Eksempel
Tenk på Dirac-kammen Ш hvor er Dirac-fordelingen som representerer massen +1 i punkt n . Det er en herdet distribusjon , av ikke-kompakt støtte. Det er kanonisk assosiert med "Dirac comb hyperfunction"
=∑ikke=-∞+∞δ(ikke){\ displaystyle = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta _ {\ left (n \ right)}}
δ(ikke){\ displaystyle \ delta _ {\ left (n \ right)}}![{\ displaystyle \ delta _ {\ left (n \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebcc4904aaa68914befda03b67d4088ed89c42d)
Ш .
=12πJeg∑ikke=-∞+∞[1ikke-z]{\ displaystyle = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ left [{\ frac {1} {nz}} \ right ]}![{\ displaystyle = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ left [{\ frac {1} {nz}} \ right ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49e9d49390c113eba121fbb8bb4c22194102427)
Enestående støtte og spektrum; multiplikasjon av hyperfunksjoner
Enestående støtte
Den snevre støtte av en fordelings (resp. Av en hyperfunksjon ) er settet av punkter med for hvilken det ikke er noen åpne nabolag , slik at restriksjonen er en ubestemt differentiable funksjon (hhv. En virkelig analytisk funksjon). Den enestående støtten til en distribusjon eller en hyperfunksjon er en lukket delmengde av støtten.
T∈D′(Ω){\ displaystyle T \ i {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}
T∈B(Ω){\ displaystyle T \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
sJegikkeg.sussT{\ displaystyle sing.suppT}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
V⊂Ω{\ displaystyle V \ subset \ Omega}
T|V{\ displaystyle T \ left \ vert _ {V} \ right.}![{\ displaystyle T \ left \ vert _ {V} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168809d1c87a20172ebb24d043184799b371a0b2)
Schwartz viste at du ikke kan multiplisere noen to distribusjoner. Men vi kan multiplisere to distribusjoner hvis entallstøtter er usammenhengende. Det samme gjelder hyperfunksjoner, men multiplikasjonen deres er mulig i mer generelle tilfeller. For å avklare tilstanden som muliggjør multiplikasjon av hyperfunksjoner, er begrepet singular spectrum nødvendig.
Enkelt spektrum
Definisjon
Tenk på den usammenhengende foreningen , hvor , og betegn med det punktet hvis projeksjon på er x . La denne projeksjonen være.
JegS∗Ω: =Ω+∐Ω-{\ displaystyle iS ^ {\ ast} \ Omega: = \ Omega _ {+} \ coprod \ Omega _ {-}}
Ω+=Ω-=Ω{\ displaystyle \ Omega _ {+} = \ Omega _ {-} = \ Omega}
(x,±Jeg∞){\ displaystyle \ left (x, \ pm i \ infty \ right)}
Ω±{\ displaystyle \ Omega _ {\ pm}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
π:JegS∗Ω→Ω:(x,±Jeg∞)↦x{\ displaystyle \ pi: iS ^ {\ ast} \ Omega \ rightarrow \ Omega: \ left (x, \ pm i \ infty \ right) \ mapsto x}![{\ displaystyle \ pi: iS ^ {\ ast} \ Omega \ rightarrow \ Omega: \ left (x, \ pm i \ infty \ right) \ mapsto x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ebb0edaf3fbc63514964e187aaa0fe21357e57)
La hvor , U være et komplekst nabolag , og la . Hyperfunksjonen T sies å være mikroanalytisk ved punktet (resp. ) Av hvis (resp. ) Kan utvides analytisk i et åpent område av . Dette tilsvarer å si at det eksisterer et reelt nabolag av , et komplekst nabolag av og en funksjon slik at (resp. ).
T=[φ]∈B(Ω){\ displaystyle T = \ left [\ varphi \ right] \ i {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
φ∈O(U-Ω){\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
x0∈Ω{\ displaystyle x_ {0} \ in \ Omega}
(x0,Jeg∞){\ displaystyle \ left (x_ {0}, i \ infty \ right)}
(x0,-Jeg∞){\ displaystyle \ left (x_ {0}, - i \ infty \ right)}
JegS∗Ω{\ displaystyle iS ^ {\ ast} \ Omega}
φ+=φ|U+{\ displaystyle \ varphi _ {+} = \ varphi \ left \ vert _ {U _ {+}} \ right.}
φ-=φ|U-{\ displaystyle \ varphi _ {-} = \ varphi \ left \ vert _ {U _ {-}} \ right.}
x0{\ displaystyle x_ {0}}
V0{\ displaystyle V_ {0}}
x0{\ displaystyle x_ {0}}
U0{\ displaystyle U_ {0}}
V0{\ displaystyle V_ {0}}
ψ∈O(U0-V0){\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {O}} \ left (U_ {0} -V_ {0} \ right)}
T|V0(x)=ψ(x-Jeg0){\ displaystyle T \ left \ vert _ {V_ {0}} \ right. \ left (x \ right) = \ psi \ left (x-i0 \ right)}
T|V0(x)=ψ(x+Jeg0){\ displaystyle T \ left \ vert _ {V_ {0}} \ right. \ left (x \ right) = \ psi \ left (x + i0 \ right)}![{\ displaystyle T \ left \ vert _ {V_ {0}} \ right. \ left (x \ right) = \ psi \ left (x + i0 \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9617dfd602d4629f9ac1f1bc94aea790c79995f)
Vi kaller entall spekteret av T , og vi betegner settet av punktene over som T er ikke mikro-analytisk. Det følger av definisjonene at .
S.S.T{\ displaystyle SST}
JegS∗Ω{\ displaystyle iS ^ {\ ast} \ Omega}
π(S.S.T)=sJegikkeg.sussT{\ displaystyle \ pi \ left (SST \ right) = sing.suppT}![{\ displaystyle \ pi \ left (SST \ right) = sing.suppT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1176e09b95187db3350897614d0411d519bca40b)
Eksempler
- Tenk på Dirac-hyperfunksjonen . Vi , .δ{\ displaystyle \ delta}
S.S.δ={(0,Jeg∞),(0,-Jeg∞)}{\ displaystyle SS \ delta = \ left \ {\ left (0, i \ infty \ right), \ left (0, -i \ infty \ right) \ right \}}
sJegikkeg.sussδ=sussδ={0}{\ displaystyle sing.supp \ delta = supp \ delta = \ left \ {0 \ right \}}![{\ displaystyle sing.supp \ delta = supp \ delta = \ left \ {0 \ right \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b195615a0d4f66d27dd189c9e2bedc7c4a2c9c4e)
- Vurder hyperfunksjon . Vi , , .T=1x+Jeg0{\ displaystyle T = {\ frac {1} {x + i0}}}
S.S.T={(0,Jeg∞)}{\ displaystyle SST = \ left \ {\ left (0, i \ infty \ right) \ right \}}
sJegikkeg.sussT={0}{\ displaystyle sing.suppT = \ venstre \ {0 \ høyre \}}
sussT=R{\ displaystyle suppT = \ mathbb {R}}![{\ displaystyle suppT = \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff4ce819fbd85c92a839a2b6dce99ba07d9ca94)
Multiplikasjon av hyperfunksjoner
Eller den antipolare applikasjonen .
på:(x,±Jeg∞)↦(x,∓Jeg∞)=(x,±Jeg∞)på{\ displaystyle a: \ left (x, \ pm i \ infty \ right) \ mapsto \ left (x, \ mp i \ infty \ right) = \ left (x, \ pm i \ infty \ right) ^ {a }}![{\ displaystyle a: \ left (x, \ pm i \ infty \ right) \ mapsto \ left (x, \ mp i \ infty \ right) = \ left (x, \ pm i \ infty \ right) ^ {a }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43891479c32e0030f30494656b04668b91a451e6)
Teorem - Hvis det er to hyperfunksjoner slik at vi kan definere produktet .
T,U∈B(Ω){\ displaystyle T, U \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
S.S.T∩S.S.(U)på=∅{\ displaystyle SST \ cap SS \ left (U \ right) ^ {a} = \ varnothing}
T.U∈B(Ω){\ displaystyle TU \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle TU \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7340a3e6ba871d7650c0ac67a11619c85ec44120)
Eksempler
- Vi kan definere produktet .(1x+Jeg0)(1x+Jeg0)=(1x+Jeg0)2{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x + i0}} \ right) \ left ({\ frac {1} {x + i0}} \ right) = \ left ({\ frac {1} { x + i0}} \ høyre) ^ {2}}
![{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x + i0}} \ right) \ left ({\ frac {1} {x + i0}} \ right) = \ left ({\ frac {1} { x + i0}} \ høyre) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b8486045665e83111fc398f033f12b14cc6467)
- Vi kan definere produktet hvis T er mikroanalytisk på de to punktene og . Det har vi da .δT{\ displaystyle \ delta T}
(0,Jeg∞){\ displaystyle \ left (0, i \ infty \ right)}
(0,-Jeg∞){\ displaystyle \ left (0, -i \ infty \ right)}
δT=δT(0){\ displaystyle \ delta T = \ delta T (0)}![{\ displaystyle \ delta T = \ delta T (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f130b68b3cbdcf9b6557a3d3309c44f520477d)
- Mer generelt kan vi definere produktet hvis T er mikroanalytisk på punkter og . Vi har daδ(ikke)T{\ displaystyle \ delta ^ {\ left (n \ right)} T}
(0,Jeg∞){\ displaystyle \ left (0, i \ infty \ right)}
(0,-Jeg∞){\ displaystyle \ left (0, -i \ infty \ right)}![{\ displaystyle \ left (0, -i \ infty \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4d1de6a1b7d2983b9bc6fdec6e6db2bc73021f)
δ(ikke)T=∑j=0ikke(-1)j(ikkej)δ(ikke-j)Tj(0){\ displaystyle \ delta ^ {\ left (n \ right)} T = \ sum \ limit _ {j = 0} ^ {n} \ left (-1 \ right) ^ {j} \ left ({\ begin { array} {c} n \\ j \ end {array}} \ right) \ delta ^ {\ left (nj \ right)} T ^ {j} \ left (0 \ right)}![{\ displaystyle \ delta ^ {\ left (n \ right)} T = \ sum \ limit _ {j = 0} ^ {n} \ left (-1 \ right) ^ {j} \ left ({\ begin { array} {c} n \\ j \ end {array}} \ right) \ delta ^ {\ left (nj \ right)} T ^ {j} \ left (0 \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad9a0f65a187d7ae9a189d0b5623440165910d5)
.
Dette uttrykket har en betydning siden det eksisterer et reelt åpent nabolag på 0 slik at det er en analytisk funksjon.
V0{\ displaystyle V_ {0}}
T|V0{\ displaystyle T \ left \ vert _ {V_ {0}} \ right.}![{\ displaystyle T \ left \ vert _ {V_ {0}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be9d23329a294726e99b1561dc79790ff678aa6)
Laplace hyperfunksjoner
Plassen til Laplace-hyperfunksjoner med begrenset støtte til venstre er definert av
B[på,+∞[eksp=Oeksp(VS-[på,+∞[)/Oeksp(VS){\ displaystyle B _ {\ left [a, + \ infty \ right [} ^ {\ exp} = {\ mathcal {O}} ^ {\ exp} \ left (\ mathbb {C} - \ left [a, + \ infty \ right [\ right) / {\ mathcal {O}} ^ {\ exp} \ left (\ mathbb {C} \ right)}![{\ displaystyle B _ {\ left [a, + \ infty \ right [} ^ {\ exp} = {\ mathcal {O}} ^ {\ exp} \ left (\ mathbb {C} - \ left [a, + \ infty \ right [\ right) / {\ mathcal {O}} ^ {\ exp} \ left (\ mathbb {C} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab82ce5b90c6a367cb4197247639174017c1e67)
hvor, når er et åpent av det sammensatte planforeningen av lukkede kjegler av formen , betegner de holomorfe funksjonene av eksponensiell type i , dvs. de holomorfe funksjonene som tilfredsstiller et forhold slik at
U{\ displaystyle U}
Σ={z∈VS:α≤arg(z-på)≤β}{\ displaystyle \ Sigma = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ alpha \ leq \ arg \ left (za \ right) \ leq \ beta \ right \}}
Oeksp(U){\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ exp} \ left (U \ right)}
U{\ displaystyle U}![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
|f(z)|≤vs.eh|z|,z∈Σ{\ displaystyle \ venstre \ vert f \ venstre (z \ høyre) \ høyre \ vert \ leq ce ^ {h \ venstre \ vert z \ høyre \ vert}, z \ i \ Sigma}![{\ displaystyle \ venstre \ vert f \ venstre (z \ høyre) \ høyre \ vert \ leq ce ^ {h \ venstre \ vert z \ høyre \ vert}, z \ i \ Sigma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b30d4340e546205f5db93b29e40be8c447f0c20)
for hver lukket kjegle .
Σ⊂U{\ displaystyle \ Sigma \ delmengde U}![{\ displaystyle \ Sigma \ delmengde U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31b9a8f328994d1301424fbfbb4d3adf3ae986c)
Vi kan definere Laplace-transformasjonen av en venstrebegrenset støtte Laplace-hyperfunksjon , og Laplace-transformasjonen er injeksjonsdyktig . La oss for enkelhets skyld vurdere en hyperfunksjon T med kompakt støtte (som innebærer at det er en Laplace-hyperfunksjon); Laplace-transformasjonen er da hele funksjonen definert av forholdet
T^{\ displaystyle {\ hat {T}}}
T=[φ]{\ displaystyle T = \ left [\ varphi \ right]}
T↦T^{\ displaystyle T \ mapsto {\ hat {T}}}![{\ displaystyle T \ mapsto {\ hat {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f805ee822ea613c05308cbeaa6cc7ce354651878)
T^(s)=⟨T,ϵs⟩{\ displaystyle {\ hat {T}} \ left (s \ right) = \ left \ langle T, \ epsilon _ {s} \ right \ rangle}![{\ displaystyle {\ hat {T}} \ left (s \ right) = \ left \ langle T, \ epsilon _ {s} \ right \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df052b564d77d64641422137834adbcab45edc91)
hvor . For eksempel, og ved å stille ,
ϵs:x↦e-sx{\ displaystyle \ epsilon _ {s}: x \ mapsto e ^ {- sx}}
δ(ikke)^(s)=sikke{\ displaystyle {\ widehat {\ delta ^ {\ left (n \ right)}}} \ left (s \ right) = s ^ {n}}
T=[-12πJege1z] {\ displaystyle T = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac {1} {z}} \ right] ~}![{\ displaystyle T = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac {1} {z}} \ right] ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54fdaecd9f590c07a0a0ba9c6a3220feba5df39b)
T^(s)=∑ikke=0+∞(-s)ikkeikke!(ikke+1)!{\ displaystyle {\ hat {T}} \ left (s \ right) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-s) ^ {n}} {n! \ left (n + 1 \ right)!}}}![{\ displaystyle {\ hat {T}} \ left (s \ right) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-s) ^ {n}} {n! \ left (n + 1 \ right)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22955dd5e24672a588349cffd9aa8c649dbc036b)
(se et annet eksempel i Laplace-transformasjoner av hyperfunksjoner ).
Hyperfunksjoner og differensiallikninger
Klassifisering av differensialoperatører
La være en differensialoperatør med analytiske koeffisienter i et intervall av den virkelige linjen, hvor . (Her og i alt det følgende er x en "dummyvariabel": i all strenghet bør koeffisientene skrives og operatøren skal skrives P eller , men likevel vil dette misbruket av skriving, veldig utbredt i litteraturen, vise seg å være beleilig.)
P(x,∂)=∑k=0ikkepåJeg(x)∂Jeg{\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right) = \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {n} a_ {i} (x) \ partial ^ {i}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
påikke≠0{\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}
påJeg:x↦påJeg(x){\ displaystyle a_ {i}: x \ mapsto a_ {i} (x)}
P(∂){\ displaystyle P \ left (\ partial \ right)}![{\ displaystyle P \ left (\ partial \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d02526b11e3d7eb3d13b8ca2e06904145989f73)
Punktene x som er nuller kalles singulære punkter for operatøren . Anta at x er et entallpunkt og noter rekkefølgen for mangfoldet av dette nullet. Tenk på Newtons polygon ved punkt x , nemlig den høyeste konvekse polyhedronen under punktene , og legg merke til dens største skråning . (Mange forfattere, som kommer tilbake til tilfellet der entallpunktet er opprinnelsen, tar som en ny avledning i stedet for , noe som selvfølgelig fører til modifisering av Newtons polygon.) Entallpunktet x sies å være vanlig-entall hvis og uregelmessig- entall hvis .
påikke{\ displaystyle a_ {n}}
P(x,∂){\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right)}
ordxpåikke{\ displaystyle ord_ {x} a_ {n}}
ikke+1{\ displaystyle n + 1}
(j,ordxpåj), 0≤j≤ikke{\ displaystyle \ left (j, ord_ {x} a_ {j} \ right), \ 0 \ leq j \ leq n}
σx{\ displaystyle \ sigma _ {x}}
D=x∂{\ displaystyle D = x \ partial}
∂=d/dx{\ displaystyle \ partial = d / dx}
σx≤1{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ leq 1}
σx>1{\ displaystyle \ sigma _ {x}> 1}![{\ displaystyle \ sigma _ {x}> 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2b0f8e649920330c46aa9429e3f330611a17a9)
Setningene til Satō og Komatsu
Satos teorem -
Operatøren antar at in . (For å være mer eksplisitt, gitt en hyperfunksjon , innrømmer ligningen alltid en løsning i .)
P(x,∂){\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right)}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
T∈B(Ω){\ displaystyle T \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
P(x,∂)f=T{\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right) f = T}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d12d7902ebd42b09554bf17d83b20bd5dda3026)
Denne teoremet viser at hvis er en ring av differensialoperatører med analytiske koeffisienter i , er en venstre-delbar -modul. Spesielt hvis er en ikke-kommutativ Dedekind-ring , som den første Weyl-algebraen , er en venstre injeksjonsmodul . Dette har viktige konsekvenser i teorien om lineære systemer .
D(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
D(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ left (\ Omega \ right)}
D(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ left (\ Omega \ right)}
PÅ1(VS){\ displaystyle A_ {1} \ left (\ mathbb {C} \ right)}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
D(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99993f4e05bb9580ee6a9864e1aee1159d07dc86)
Komatsu har vist følgende:
Komatsus teorem -
(1) .
SolVSkerB(Ω)P(x,∂)=ikke+∑x∈Ωordxpåikke{\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)} P \ left (x, \ partial \ right) = n + \ sum \ begrenser _ {x \ in \ Omega} ord_ {x} a_ {n}}![{\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)} P \ left (x, \ partial \ right) = n + \ sum \ begrenser _ {x \ in \ Omega} ord_ {x} a_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9fc69e8157100eab6dee5637ff8b97ad2d8294)
(2) Følgende forhold er ekvivalente:
(a) ikke har noe entall,
P(x,∂){\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right)}![{\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fb471d599910788c28ece2bf4833ce7dea402d)
(b) ;
kerB(Ω)P(x,∂)⊂O(Ω){\ displaystyle \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)} P \ left (x, \ partial \ right) \ subset {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right )}![{\ displaystyle \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)} P \ left (x, \ partial \ right) \ subset {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6be3078041afaa7236528d9ead50cedb6149374)
(c) innebærer .
P(x,∂)f∈O(Ω){\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right) f \ in {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
f∈O(Ω){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
(3) Følgende forhold er ekvivalente:
(d) Alle entallpunktene til er vanlige entall;
P(x,∂){\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right)}![{\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fb471d599910788c28ece2bf4833ce7dea402d)
(e) ;
kerB(Ω)P(x,∂)⊂D′(Ω){\ displaystyle \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)} P \ left (x, \ partial \ right) \ subset {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ høyre)}![{\ displaystyle \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)} P \ left (x, \ partial \ right) \ subset {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ høyre)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bbdcefda944b0ee5a0a7151e17a6037c3dd6ea)
(f) antyder .
P(x,∂)f∈D′(Ω){\ displaystyle P \ left (x, \ partial \ right) f \ in {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}
f∈D′(Ω){\ displaystyle f \ i {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}
Eksempler
- Tenk på differensiallikningen
(x2ddx-1)f=0{\ displaystyle \ left (x ^ {2} {\ frac {d} {dx}} - 1 \ right) f = 0}![{\ displaystyle \ left (x ^ {2} {\ frac {d} {dx}} - 1 \ right) f = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00328cc5107458bd732301d1fdc812cac6ab68fb)
.
Det eneste entallpunktet er 0 . Ved å plotte Newtons polygon får vi , derfor er 0 uregelmessig-entall. Del (1) av Komatsus teorem antyder det . Den klassiske løsningen er den uendelig differensierbare funksjonen ( ) utvidet med kontinuitet med verdien 0 på . To andre lineært uavhengige løsninger er for eksempel hyperfunksjonene og : den første er en utvidelse av løsningen på (ingen distribusjon er en slik utvidelse), den andre støttes av opprinnelsen (ingen distribusjon støttet av opprinnelsen er er løsning).
σ0=2{\ displaystyle \ sigma _ {0} = 2}
SolVSkerB(Ω)P(D)=3{\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)} P \ left (D \ right) = 3}
x↦e-1/x{\ displaystyle x \ mapsto e ^ {- 1 / x}}
x∈]0,+∞[{\ displaystyle x \ in \ left] 0, + \ infty \ right [}
]-∞,0]{\ displaystyle \ left] - \ infty, 0 \ right]}
e-1/(x+Jeg0){\ displaystyle e ^ {- 1 / \ left (x + i0 \ right)}}
[e-1/z]{\ displaystyle \ left [e ^ {- 1 / z} \ right]}
x↦e-1/x{\ displaystyle x \ mapsto e ^ {- 1 / x}}
]-∞,0[{\ displaystyle \ left] - \ infty, 0 \ right [}![{\ displaystyle \ left] - \ infty, 0 \ right [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d10c3a4dbadb446d3509e7d7f25654de172d94be)
(x3ddx+1)f=0{\ displaystyle \ left (x ^ {3} {\ frac {d} {dx}} + 1 \ right) f = 0}![{\ displaystyle \ left (x ^ {3} {\ frac {d} {dx}} + 1 \ right) f = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917e2113c85b86b7b4c1104222a9f2f04efa2f86)
.
Det eneste entallpunktet er igjen 0 . Vi har denne gangen , så 0 er uregelmessig-entall. Den eneste løsningsfordelingen av denne ligningen er . Komatsus setning viser at det er fire lineært uavhengige hyperfunksjonsløsninger. To av dem er enkle å beregne: de er og . De to andre, hvis uttrykk er mindre enkelt, oppnås ved en metode for å variere konstantene .
σ0=3{\ displaystyle \ sigma _ {0} = 3}
T=0{\ displaystyle T = 0}
e1(x+Jeg0)2{\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {\ left (x + i0 \ right) ^ {2}}}}
e1(x-Jeg0)2{\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {\ left (x-i0 \ right) ^ {2}}}}![{\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {\ left (x-i0 \ right) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ba706235f75ddf697bdbbe9cff274550c35c8d)
Generaliseringer
Multivariate hyperfunksjoner
Kohomologisk synspunkt
La en åpning av og U være et komplekst nabolag av , det vil si et åpning av som er relativt lukket. Satō definerte rommet for hyperfunksjoner i forholdet
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
VSikke{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
B(Ω)=HΩikke(U,O){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = H _ {\ Omega} ^ {n} \ left (U, {\ mathcal {O}} \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = H _ {\ Omega} ^ {n} \ left (U, {\ mathcal {O}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e90519439f11996805b0ffc7030199c9a004c9b)
,
n -kohomologigruppe med U- modulo og koeffisienter i pakken med holomorfe funksjoner; avhenger ikke av det komplekse nabolaget U (Komatsus “excision theorem”) og kohomologigruppene er null for (Sato-Martineau-Harvey-setningen). Vi utleder, ved å bruke et resultat på grunn av Malgrange , at en slapp stråle er.
Ω{\ displaystyle \ Omega}
O{\ displaystyle {\ mathcal {O}}}
HΩikke(U,O){\ displaystyle H _ {\ Omega} ^ {n} \ left (U, {\ mathcal {O}} \ right)}
HΩs(U,O){\ displaystyle H _ {\ Omega} ^ {p} \ left (U, {\ mathcal {O}} \ right)}
s≠ikke{\ displaystyle p \ neq n}
B:Ω↦B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}}: \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}}: \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a565924efa7c30979e6792f4e57503042ea8fe)
Hyperfunksjonerer som summer av verdier på kanten av holomorfe funksjoner
I henhold til et teorem på grunn av Grauert , eksisterer det et kompleks nabolag V i , som er en Stein åpent, og der er det sett av Stein åpninger av hvilken inneholder (a konveks åpen er et eksempel på en Stein åpen). Er
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω=∩V∈S(Ω)V{\ displaystyle \ Omega = \ cap _ {V \ in {\ mathfrak {S}} \ left (\ Omega \ right)} V}
S(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (\ Omega \ right)}
VSikke{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
V#Ω={z∈V:ℑ(zj)≠0, j=1,...,ikke}{\ displaystyle V \ # \ Omega = \ left \ {z \ in V: \ Im \ left (z_ {j} \ right) \ neq 0, \ j = 1, ..., n \ right \}}![{\ displaystyle V \ # \ Omega = \ left \ {z \ in V: \ Im \ left (z_ {j} \ right) \ neq 0, \ j = 1, ..., n \ right \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f21c10a55218fa928bf37a9a9ec368e9ea17cd)
,
V^j={z∈V:ℑ(zk)≠0, k≠j}{\ displaystyle {\ hat {V}} _ {j} = \ left \ {z \ in V: \ Im \ left (z_ {k} \ right) \ neq 0, \ k \ neq j \ right \}}![{\ displaystyle {\ hat {V}} _ {j} = \ left \ {z \ in V: \ Im \ left (z_ {k} \ right) \ neq 0, \ k \ neq j \ right \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fe22f33022cf4cce76e9f57c324048e346314a)
.
Så
B(Ω)≅O(V#Ω)∑1≤j≤ikkeO(V^j){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) \ cong {\ frac {{\ mathcal {O}} \ left (V \ # \ Omega \ right)} {\ sum \ nolimits _ { 1 \ leq j \ leq n} {\ mathcal {O}} \ left ({\ hat {V}} _ {j} \ right)}}}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) \ cong {\ frac {{\ mathcal {O}} \ left (V \ # \ Omega \ right)} {\ sum \ nolimits _ { 1 \ leq j \ leq n} {\ mathcal {O}} \ left ({\ hat {V}} _ {j} \ right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a463aaae8e73ceda39d3b0a24b92fda60e61eaa)
.
La og dens kanoniske bilde i ; kalles hyperfunksjon definisjonsfunksjon . Vi kan gi følgende tolkning av denne hyperfunksjonen:
φ∈O(V#Ω){\ displaystyle \ varphi \ i {\ mathcal {O}} \ left (V \ # \ Omega \ right)}
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
φ{\ displaystyle \ varphi}
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}![{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eeaba78dbe4d628cfe93538a73f99838e7ef47)
[φ](x1,...,xikke)=∑σsgikke(σ)φ(x1+Jegσ10,...,xikke+Jegσikke0){\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left (x_ {1}, ..., x_ {n} \ right) = \ sum \ limits _ {\ sigma} sgn \ left (\ sigma \ right) \ varphi \ left (x_ {1} + i \ sigma _ {1} 0, ..., x_ {n} + i \ sigma _ {n} 0 \ right)}![{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left (x_ {1}, ..., x_ {n} \ right) = \ sum \ limits _ {\ sigma} sgn \ left (\ sigma \ right) \ varphi \ left (x_ {1} + i \ sigma _ {1} 0, ..., x_ {n} + i \ sigma _ {n} 0 \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c3bf8f8d23fa602fd8ef42ba4fbb87f6405b94)
der , , .
σ=(σ1,...,σikke){\ displaystyle \ sigma = \ left (\ sigma _ {1}, ..., \ sigma _ {n} \ right)}
σj=±1{\ displaystyle \ sigma _ {j} = \ pm 1}
sgikke(σ)=σ1...σikke{\ displaystyle sgn \ left (\ sigma \ right) = \ sigma _ {1} ... \ sigma _ {n}}![{\ displaystyle sgn \ left (\ sigma \ right) = \ sigma _ {1} ... \ sigma _ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf23d6e264abe0107fe3681113811fadc590b68)
Derfor er hyperfunksjonen en sum av grenseverdier av holomorfe funksjoner (men det kan vises at grenseverdier er tilstrekkelig til å bestemme ).
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}
2ikke{\ displaystyle 2 ^ {n}}
ikke+1{\ displaystyle n + 1}
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}![{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eeaba78dbe4d628cfe93538a73f99838e7ef47)
Hyperfunksjonerer som lokalt begrensede summer av analytiske funksjoner
Vi definerer støtten til en hyperfunksjon som i tilfellet med en enkelt variabel; Martineau og uavhengig Harvey har vist (generalisering av Kothes teorem allerede nevnt) isomorfisme , hvor er rommet for hyperfunksjoner hvis støtte er inkludert i kompakten og er det dobbelte av rommet til frø av analytiske funksjoner i et nabolagskompleks av K ( er en kjernefysisk (DFS) -rom , mens det er et kjernefysisk Fréchet - Schwartz- rom ). Denne dualitetssetningen lar oss definere en hyperfunksjon som summen av en lokalt endelig serie med analytiske funksjoner (Martineaus definisjon).
BK(Ω)≅O(K)′{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right) \ cong {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}
BK(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}
K⊂Ω{\ displaystyle K \ subset \ Omega}
O(K)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}
O(K){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}
O(K)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}![{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c246a96d5b14b96363bb9e71b490fbc56be05e43)
Eksempel
Dualitetsbraketten mellom og har et enkelt uttrykk der hvor hver er åpen for å ha en vanlig kant. Vi har da, for enhver funksjon ,
O(K){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}
BK(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}
K⊂∏1≤j≤ikkeD¯Jeg{\ displaystyle K \ subset \ prod \ nolimits _ {1 \ leq j \ leq n} {\ bar {\ mathcal {D}}} _ {i}}
DJeg{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {i}}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
f∈O(D¯){\ displaystyle f \ i {\ mathcal {O}} \ venstre ({\ bar {\ mathcal {D}}} \ høyre)}![{\ displaystyle f \ i {\ mathcal {O}} \ venstre ({\ bar {\ mathcal {D}}} \ høyre)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8fa3f65280709e8e1ecb91af5be1cf41f88100)
⟨[φ],f⟩=(-1)ikke∫∂D1×...×∂Dikkef(z)φ(z)dz1...dzikke{\ displaystyle \ left \ langle \ left [\ varphi \ right], f \ right \ rangle = \ left (-1 \ right) ^ {n} \ int \ nolimits _ {\ partial {\ mathcal {D}} _ {1} \ times ... \ times \ partial {\ mathcal {D}} _ {n}} f \ left (z \ right) \ varphi \ left (z \ right) dz_ {1} ... dz_ { ikke}}![{\ displaystyle \ left \ langle \ left [\ varphi \ right], f \ right \ rangle = \ left (-1 \ right) ^ {n} \ int \ nolimits _ {\ partial {\ mathcal {D}} _ {1} \ times ... \ times \ partial {\ mathcal {D}} _ {n}} f \ left (z \ right) \ varphi \ left (z \ right) dz_ {1} ... dz_ { ikke}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cf7940ac62c2bceb4d47ac7d42e1b2bfbaec80)
.
La for eksempel multiindeksen ; spør , , og . Endelig heller
(α1,...,αikke){\ displaystyle \ left (\ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n} \ right)}
|α|=α1+...+αikke{\ displaystyle \ left \ vert \ alpha \ right \ vert = \ alpha _ {1} + ... + \ alpha _ {n}}
α!=α1!...αikke!{\ displaystyle \ alpha! = \ alpha _ {1}! ... \ alpha _ {n}!}
∂k=∂∂xk{\ displaystyle \ partial _ {k} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}}}
∂α=∂|α|∂x1α1...∂xikkeαikke{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} = {\ frac {\ partial ^ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} ... \ delvis x_ {n} ^ {\ alpha _ {_ {n}}}}}}![{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} = {\ frac {\ partial ^ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} ... \ delvis x_ {n} ^ {\ alpha _ {_ {n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc00a81bb83da4b1a656c922be9b41751fce1b4)
φ=(-1)ikke+|α|(2πJeg)ikkeα!z1α1+1...zikkeαikke+1{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + \ left \ vert \ alpha \ right \ vert}} {\ left (2 \ pi i \ right) ^ {n}} } {\ frac {\ alpha!} {z_ {1} ^ {\ alpha _ {1} +1} ... z_ {n} ^ {\ alpha _ {_ {n}} + 1}}}}![{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + \ left \ vert \ alpha \ right \ vert}} {\ left (2 \ pi i \ right) ^ {n}} } {\ frac {\ alpha!} {z_ {1} ^ {\ alpha _ {1} +1} ... z_ {n} ^ {\ alpha _ {_ {n}} + 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49d9493c6e9d3aa7af961a4f7ea851b1d86e48f)
.
Vi får fra Cauchys integral teorem , derfor .
⟨[φ],f⟩=(-1)|α|∂αf((0){\ displaystyle \ left \ langle \ left [\ varphi \ right], f \ right \ rangle = \ left (-1 \ right) ^ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert} \ partial ^ {\ alpha} f (\ venstre (0 \ høyre)}
[φ]=∂αδ{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] = \ partial ^ {\ alpha} \ delta}![{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] = \ partial ^ {\ alpha} \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1d4028535428562c3a42b0f10f9dc72a2ace94)
Hyperfunksjoner som ekvivalensklasser for analytiske funksjoner
Let er en åpen avgrensning av , dens vedheft og dens grense (som begge er kompakte). Siden pakken med hyperfunksjoner er slapp, identifiserer hyperfunksjonene seg med hyperfunksjonene som har deres støtte inkludert og som avbryter . Dette førte til at Schapira la definisjonen (tatt opp av Hörmander )
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Ω¯{\ displaystyle {\ bar {\ Omega}}}
∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω¯{\ displaystyle {\ bar {\ Omega}}}
∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}![{\ displaystyle \ partial \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16feddaad462c2a1c9efdaeee062a0484a023fde)
B(Ω)=O(Ω¯)′/O(∂Ω)′.{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {O}} \ left ({\ bar {\ Omega}} \ right) ^ {\ prime} / {\ mathcal { O}} \ venstre (\ delvis \ Omega \ høyre) ^ {\ prime}.}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {O}} \ left ({\ bar {\ Omega}} \ right) ^ {\ prime} / {\ mathcal { O}} \ venstre (\ delvis \ Omega \ høyre) ^ {\ prime}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e8728c5ce01f3b9fe02e809e3813e9fe3dca5d)
Siden er tett inn , er kvotienttopologien indusert av topologien til sur den grove topologien.
O(∂Ω)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (\ partial \ Omega \ right) ^ {\ prime}}
O(Ω¯)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left ({\ bar {\ Omega}} \ right) ^ {\ prime}}
O(Ω¯){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left ({\ bar {\ Omega}} \ right)}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d12d7902ebd42b09554bf17d83b20bd5dda3026)
Hyperfunksjoner på en ekte analytisk manifold
Disse tilnærmingene strekker seg til det tilfellet der det er en parakompakt, virkelig analytisk manifold av dimensjon n , ved å vurdere en "kompleksisering" U av og ved å bruke, om nødvendig, et atlas med analytiske kart (den "kohomologiske definisjonen" av Satō krever ikke bruk av et slikt atlas). I denne generelle sammenhengen er distribusjonsrommet nedsenket i , og denne innebyggingen bevarer støtten.
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d12d7902ebd42b09554bf17d83b20bd5dda3026)
Hyperfunksjoner og delvis avledede lineære operatorer
La den lineære operatoren med delvis derivater
P=P(x,D)=∑|α|≤mpåα(x)Dα{\ displaystyle P = P \ venstre (x, D \ høyre) = \ sum \ grenser _ {\ venstre \ vert \ alpha \ høyre \ vert \ leq m} a _ {\ alpha} \ venstre (x \ høyre) D ^ {\ alpha}}![{\ displaystyle P = P \ venstre (x, D \ høyre) = \ sum \ grenser _ {\ venstre \ vert \ alpha \ høyre \ vert \ leq m} a _ {\ alpha} \ venstre (x \ høyre) D ^ {\ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196e038ac1407cefcf7f44de29ebf8bbe2ce5d63)
hvor vi spurte , , (se artikkel Differential operatør ) og som er analytiske koeffisienter i et åpent fra . Operatøren P virker på en hyperfunksjon av forholdet
D=(D1,...,Dikke){\ displaystyle D = (D_ {1}, ..., D_ {n})}
Dk=-Jeg∂k{\ displaystyle D_ {k} = - i \ partial _ {k}}
Dα=(-Jeg)|α|∂α{\ displaystyle D ^ {\ alpha} = \ left (-i \ right) ^ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert} \ partial ^ {\ alpha}}
påα{\ displaystyle a _ {\ alpha}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
[φ]∈B(Ω){\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ i {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ i {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def9f19daf49f52b0e83c8391e1bf287fe65d813)
P[φ]=[P~φ]{\ displaystyle P \ left [\ varphi \ right] = \ left [{\ tilde {P}} \ varphi \ right]}![{\ displaystyle P \ left [\ varphi \ right] = \ left [{\ tilde {P}} \ varphi \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40942b216e1201debf5545ee60f272b9fbe03d67)
hvor er differensialoperatøren trukket fra P ved å erstatte x med z og av . Den viktigste symbol av P er definert av
P~{\ displaystyle {\ tilde {P}}}
∂/∂xJeg{\ displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}
∂/∂zJeg{\ displaystyle \ partial / \ partial z_ {i}}
Pm{\ displaystyle P_ {m}}![{\ displaystyle P_ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9fe75b337f415bcdd48e1ecc1eaffef21dab6a)
Pm(x,ξ)=∑|α|=mpåα(x)ξα{\ displaystyle P_ {m} \ venstre (x, \ xi \ høyre) = \ sum \ grenser _ {\ venstre \ vert \ alpha \ høyre \ vert = m} a _ {\ alpha} \ venstre (x \ høyre) \ xi ^ {\ alpha}}![{\ displaystyle P_ {m} \ venstre (x, \ xi \ høyre) = \ sum \ grenser _ {\ venstre \ vert \ alpha \ høyre \ vert = m} a _ {\ alpha} \ venstre (x \ høyre) \ xi ^ {\ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554a217e10e5795c3ad256afa698630034d4f363)
og operatøren P sies å være elliptisk i hvis for alle og alle . Resultatet nedenfor skyldes Harvey:
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Pm(x,ξ)≠0{\ displaystyle P_ {m} \ left (x, \ xi \ right) \ neq 0}
ξ≠0{\ displaystyle \ xi \ neq 0}
x∈Ω{\ displaystyle x \ in \ Omega}![{\ displaystyle x \ in \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40de8fa70c126001826d34da2a114349d8476bb4)
Teorem - Anta konstante koeffisienter.
P(D){\ displaystyle P (D)}![{\ displaystyle P (D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb4a5cc3182bd0e266ab80b8a93ee339de710a5)
(1) Vi har likeverd
P(D)B(Ω)=B(Ω){\ displaystyle P (D) {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle P (D) {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547fc006089abf9923d4982b935dc90ad01c706b)
,
er med andre ord en delbar -modul.
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
VS[D]{\ displaystyle \ mathbb {C} [D]}![{\ displaystyle \ mathbb {C} [D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c985250e9caee694b47647c186acb47a76552e28)
(2) Følgende forhold er ekvivalente:
(a) er elliptisk;
P(D){\ displaystyle P (D)}![{\ displaystyle P (D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb4a5cc3182bd0e266ab80b8a93ee339de710a5)
(b) Hvis og , da ;
u∈B(Ω){\ displaystyle u \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
P(D)u∈O(Ω){\ displaystyle P (D) u \ i {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
u∈O(Ω){\ displaystyle u \ in {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}![{\ displaystyle u \ in {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777d1941cd394252e1fe126de40c409522c16891)
(c) Hvis og , da .
u∈B(Ω){\ displaystyle u \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
P(D)u∈VS∞(Ω){\ displaystyle P (D) u \ i C ^ {\ infty} \ left (\ Omega \ right)}
u∈VS∞(Ω){\ displaystyle u \ i C ^ {\ infty} \ left (\ Omega \ right)}
Schapira viste at egenskapen (1) forblir sant når P er en elliptisk operator med analytiske koeffisienter (det er også sant, i dette tilfellet hvis vi erstatter med distribusjonsrommet , eller med , eller til og med med ). På den annen side er det falsk hvis vi erstatte med uten å gjøre en antagelse av ellipticity på P og “P-konveksitet” på det åpne .
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}
O(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}
VS∞(Ω){\ displaystyle C ^ {\ infty} \ left (\ Omega \ right)}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
Når er en konveks åpen av , har Kaneto og Komatsu vist at -modulen tilfredsstiller " Fundamental Principle of Ehrenpreis "; følgelig er det en - modulinjeksjonsgenerator . Dette resultatet viser at den plass av hyperfunctions er meget godt egnet til studiet av lineære
differensialsystemerΩ{\ displaystyle \ Omega}
Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
VS[D]{\ displaystyle \ mathbb {C} [D]}
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
VS[D]{\ displaystyle \ mathbb {C} [D]}![{\ displaystyle \ mathbb {C} [D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c985250e9caee694b47647c186acb47a76552e28)
Hyperfunksjoner med vektorverdier
Utvidelsen av teorien til tilfelle hyperfunksjoner med verdier i er triviell, men vi kan også definere og studere hyperfunksjoner med verdier i et komplekst Fréchet-rom.
VSm{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}![{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358e78277499c3d29fe16a3f62f2f9e4915720ac)
Merknader og referanser
Merknader
-
Satō 1959-1960a
-
Satō 1959-1960b
-
Schwartz 1966
-
Martineau 1970
-
Komatsu 1973
-
Kashiwara, Kawai og Kimura 1986
-
Komatsu 1968
-
Komatsu 1971
-
Komatsu 1987
-
Martineau 1960-1961
-
Harvey 1966a
-
Harvey 1966b
-
Schapira 1970
-
Morimoto 1993
-
Hörmander 1983a
-
Cordaro og Treves 1994
-
Bourlès og Marinescu 2011
-
Hartshorne 1967
-
Dieudonné 1969
-
Köthe 1953
-
Stankovic 2001
-
Van der Put og Singer 2003
-
Maisonobe og Sabbah 1983
-
Malgrange 1957
-
Grauert 1958
-
Hörmander 1990
-
Bourbaki 2006
-
Hörmander 1983b
-
Ion og Kawai 1975
Referanser
- Nicolas Bourbaki , Elementer i matematikk . Differensielle og analytiske varianter - resultathefte , Springer,2006, 200 s. ( ISBN 3-540-34396-2 , leses online )
- Henri Bourlès og Bogdan Marinescu , Lineære tidsvarierende systemer: algebraisk-analytisk tilnærming , Springer,2011, 638 s. ( ISBN 978-3-642-19726-0 og 3-642-19726-4 , les online )
- (en) Paulo D. Cordaro og François Treves , Hyperfunksjoner på hypo-analytiske manifolder , Princeton (NJ), Princeton Univ. Trykk ,1994, 377 s. ( ISBN 0-691-02993-8 , leses online )
- Jean Dieudonné , Elements of analysis, vol. 1 , Gauthier-Villars ,1969( ISBN 2-04-010410-0 )
- (en) Hans Grauert , " On Levi's Problem and the Imbedding of Real-Analytic Manifolds " , Annals of Mathematics , vol. 68 (2),1958, s. 460-472 ( les online )
- (en) Robin Hartshorne , Local Cohomology: A Seminar given by A. Grothendieck, Harvard University, Fall, 1961 , Springer,1967( ISBN 978-3-540-03912-9 , les online )
- (en) Reese Harvey , Hyperfunksjoner og lineære partielle differensialligninger (Ph.D-avhandling) , Avd. of Mathematics, Stanford University, 1966a ( les online )
- (en) Reese Harvey , “ Hyperfunksjoner og lineære delvise differensialligninger ” , Proc. Nat. Acad. Sci. USA , 1966b, s. 1042-1046 ( les online )
- (en) Lars Hörmander , The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis , Springer, 1983a, 440 s. ( ISBN 978-3-540-00662-6 og 3-540-00662-1 , les online )
- (en) Lars Hörmander , The Analysis of Linear Partial Differential Operators II , Berlin / Heidelberg / Paris etc., Springer, 1983b, 390 s. ( ISBN 978-3-540-12139-8 og 3-540-12139-0 , les online )
- (en) Lars Hörmander , En introduksjon til kompleks analyse i flere variabler (3. utg. Revidert) , Amsterdam / New York / Oxford, Nord-Holland,1990, 254 s. ( ISBN 0-444-88446-7 , leses online )
- (no) Patrick DF Ion og Takahiro Kawai , “ Theory of Vector-Valued Hyperfunctions ” , Pub. RIMS, Kyoto Univ. , vol. 11,1975, s. 1-10 ( les online )
- (en) Masaki Kashiwara , Takahiro Kawai og Tatsuo Kimura , Fundations of Algebraic Analysis , Princeton, Princeton University Press ,1986, 254 s. ( ISBN 0-691-08413-0 , les online )
- (en) Hikosaburo Komatsu , “ Oppløsning ved hyperfunksjoner av skiver av løsninger av differensiallikninger med konstante koeffisienter ” , Matematikk. Ann. , vol. 176,1968, s. 77-86 ( les online )
- (en) Hikosaburo Komatsu , " På indeksen til vanlige differensialoperatører " , J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, sekte. IA, matematikk. , vol. 18,1971, s. 379-398
- (en) Hikosaburo Komatsu (redaktør), Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations: Proceedings of a Conference at Katata, 1971 , Springer Verlag,1973, 534 s. ( ISBN 3-540-06218-1 , lest online )
- (en) Hikosaburo Komatsu , “ Laplace transforms of hyperfunctions -A new foundation of the Heaviside calculus- ” , J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, sekte. IA, matematikk. , vol. 34,1987, s. 805-820
- (de) Gottfried Köthe , “ Dualität in der Funktionentheorie ” , J. Reine Angew. Math , vol. 191,1953, s. 30-49 ( les online )
- Philippe Maisonobe og Claude Sabbah , sammenhengende D-moduler og holomomer , Hermann ,1983( ISBN 2-7056-6212-X )
- Bernard Malgrange , “ Skiver på ekte analytiske manifolder ”, Bull. Soc. Matte. de France , vol. 83,1957, s. 231-237 ( les online )
- André Martineau , “ Les hyperfunctions de M. Sato ”, Séminaire Bourbaki , 1960-1961, s. 127-139 ( les online )
- André Martineau , “ Functional analytics ”, Proceedings, Congrès int. Matte. , vol. 2,1970, s. 635-642 ( les online )
- (en) Mitsuo Morimoto ( oversettelse fra japansk), En introduksjon til Satos hyperfunksjoner , Providence, American Mathematical Society,1993, 273 s. ( ISBN 0-8218-4571-3 , les online )
- (en) Marius Van der Put og Michael F. Singer , Galois Theory of Linear Differential Equations , Berlin / Heidelberg / New York, Springer,2003, 438 s. ( ISBN 3-540-44228-6 , les online )
- (en) Mikio Satō , “ Theory of Hyperfunctions, I ” , J. Fac. Sci. Tokyo , vol. 1 (8), 1959-1960a, s. 139-193 ( les online )
- (en) Mikio Satō , “ Theory of Hyperfunctions, II ” , J. Fac. Sci. Tokyo , vol. 1 (8), 1959-1960b, s. 387-437 ( les online )
- Pierre Schapira , teori om hyperfunksjoner , Springer-Verlag ,1970( ISBN 3-540-04915-0 )
- Lawrence Schwartz , Theory of distribusjoner ( 3 th ed.) , Paris, Hermann ,1966, 418 s. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
- (en) Bogoljub Stankovic , “ Laplace transform of Laplace Hyperfunctions and Its Applications ” , Novi Sad J. Math , vol. 31 (1),2001, s. 9-17 ( les online )
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">