Grønne identiteter
I analysen er identiteten til Green tre identiteter av vektorberegningen som forbinder en integral definert i et volum og den som er definert på kanten av dette volumet. Disse forholdene skyldes George Green .
Greens første identitet
La φ og Y være skalarfunksjoner definert på domenet V ⊂ R d , begrenset av domenet av normal n , orientert mot utsiden av domenet, slik at φ er minst to ganger differentiable og ψ gang. Den første identiteten er oppnådd ved hjelp av flux-divergenssatsen brukt på vektorfeltet F = ψ ∇ φ ved bruk av identiteten ∇ ⋅ ( φ X ) = ∇ φ ⋅ X + φ ∇⋅ X :
∂V{\ displaystyle \ partial V}
∫V(ψΔφ+∇ψ⋅∇φ)dV=∫∂Vψ∇φ⋅ikkedS{\ displaystyle \ int _ {V} \ left (\ psi \, \ Delta \ varphi + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ varphi \ right) \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ partial V } \ psi \, \ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ mathrm {S}}
Greens andre identitet
Hvis φ og ψ to ganger kontinuerlig kan differensieres i V ⊂ R 3 og ε en gang, så får vi ved å ta F = ψ ε ∇ φ - φ ε ∇ ψ :
∫V[ψ∇⋅(ε∇φ)-φ∇⋅(ε∇ψ)]dV=∫∂Vε(ψ∂φ∂ikke-φ∂ψ∂ikke)dS{\ displaystyle \ int _ {V} \ left [\ psi \, \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \, \ nabla \ varphi \ right) - \ varphi \, \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \, \ nabla \ psi \ right) \ right] \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ partial V} \ varepsilon \ left (\ psi {\ partial \ varphi \ over \ partial \ mathbf {n}} - \ varphi {\ partial \ psi \ over \ partial \ mathbf {n}} \ right) \, \ mathrm {d} S}Hvis vi tar ε = 1 så:
∫V(ψΔφ-φΔψ)dV=∫∂V(ψ∇ikkeφ-φ∇ikkeψ)dS{\ displaystyle \ int _ {V} \ left (\ psi \, \ Delta \ varphi - \ varphi \, \ Delta \ psi \ right) \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ partial V} \ venstre (\ psi \ nabla _ {\ mathbf {n}} \ varphi - \ varphi \ nabla _ {\ mathbf {n}} \ psi \ right) \, \ mathrm {d} S}Spesielt viser dette at Laplace-operatoren er en selv adjungerte operatør for det indre produkt L 2 i tilfellet av funksjoner kansellere ut på grensen av domenet.
Greens tredje identitet
Hvis vi velger φ = G der den grønne funksjonen G er en løsning av laplacianen, det vil si:
ΔG(x,η)=δ(x-η){\ displaystyle \ Delta G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = \ delta (\ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}})}For eksempel hvis i R 3 en løsning har formen:
G(x,η)=-14π‖x-η‖{\ displaystyle G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = {\ frac {-1} {4 \ pi \ | \ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}} \ | }}}Greens tredje identitet sier at hvis ψ to ganger kontinuerlig kan differensieres, så:
∫VG(y,η)Δψ(y)dVy-ψ(η)=∫∂V[G(y,η)∂ψ∂ikke(y)-ψ(y)∂G(y,η)∂ikke]dS{\ displaystyle \ int _ {V} G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) \, \ Delta \ psi (\ mathbf {y}) \, \ mathrm {d} V _ {\ mathbf {y}} - \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ partial V} \ left [G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) {\ partial \ psi \ over \ partial \ mathbf {n}} (\ mathbf {y}) - \ psi (\ mathbf {y}) {\ partial G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) \ over \ partial \ mathbf {n}} \ right] \, \ mathrm {d} S}Hvis dessuten ψ er en harmonisk funksjon , så har løsning av Laplace-ligningen ∇ 2 ψ = 0 vi:
ψ(η)=∫∂V[ψ(y)∂G(y,η)∂ikke-G(y,η)∂ψ∂ikke(y)]dS{\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ partial V} \ left [\ psi (\ mathbf {y}) {\ frac {\ partial G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}})} {\ partial \ mathbf {n}}} - G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial \ mathbf {n}}} (\ mathbf {y}) \ right] \, \ mathrm {d} S}I tilfelle av en randforhold for Dirichlet G blir kansellert ved kanten av feltet og:
ψ(η)=∫∂Vψ(y)∂G(y,η)∂ikkedS{\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ partial V} \ psi (\ mathbf {y}) {\ frac {\ partial G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}})} {\ partial \ mathbf {n}}} \, \ mathrm {d} S}Hvis ψ er løsningen på Helmholtz-ligningen og G den tilsvarende grønne funksjonen, fører dette uttrykket til Huygens-Fresnel-prinsippet .
Differensielle varianter
De to første identitetene til Green strekker seg til Riemannian-varianter :
∫MuΔvdV+∫M⟨∇u,∇v⟩dV=∫∂MuIKKEvdV~∫M(uΔv-vΔu)dV=∫∂M(uIKKEv-vIKKEu)dV~{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {M} u \, \ Delta v \, \ mathrm {d} V + \ int _ {M} \ langle \ nabla u, \ nabla v \ rangle \, \ mathrm {d} V & = \ int _ {\ partial M} uNv \, \ mathrm {d} {\ widetilde {V}} \\\ int _ {M} \ left (u \, \ Delta vv \, \ Delta u \ right) \, \ mathrm {d} V & = \ int _ {\ partial M} (uNv-vNu) \, \ mathrm {d} {\ widetilde {V}} \ end {aligned}}}der u og v er jevne virkelige verdifunksjoner på M , er dV volumet som er knyttet til metrikken , er det tilsvarende volumet på kanten av M og N er feltet for normale vektorer .
dV~{\ displaystyle d {\ widetilde {V}}}
Referanser
-
(in) Walter Strauss, "Green's Identities and Green's Functions" in Partial Differential Equations: An Introduction , Wiley ,2007( les online )
-
(i) Tod Rowland, " Green's Identities " på MathWorld
-
(in) Eric W. Weisstein, " L ^ 2-Inner Product " på MathWorld
-
(in) " Green's Green's Functions and Identities " på University of Science and Technology i Hong Kong
-
(en) Jean-François Arbor, " Integrering av deler og Green's formel er Riemannian manifolds " på Arbourjs blogg
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">