Interiør (topologi)
I matematikk er interiør (forkortet int ) en forestilling om topologi som brukes på en del av et topologisk rom .
La X være et topologisk rom og en del av X . Kalt inne Ved den største åpne for X som inngår i A . Det er: det er møtet over alle åpne med i A . Det bemerkes enten ved hjelp av en liten nevnte sirkel, eller ved en prefiksnotasjon med forkortelsen int :
Vi definerer også det indre av en variant ombord på en annen måte .
Generell topologi
Interiør punkt
La X være et topologisk rom og en del av X .
Et punkt x av X hører hjemme i A hvis og bare hvis A er et nabolag av x .
Elementene i A kalles "punktene inne i A ".
Punktene ikke innvendige til A er de punkter heftende til X \ A (den komplementet av A i X ).
Eiendommer
- En del er åpen hvis og bare hvis den er lik interiøret.
- Idempotence : interiøret i interiøret er lik interiøret.
- Vekst for inkludering : hvis A er en del av B, så er int ( A ) en del av int ( B ).
- Det komplementære av interiøret er lik vedheftet til det komplementære.
- Kompatibilitet med endelige produkter : hvis A ⊂ X og B ⊂ Y så er det indre av A × B i produktområdet X × Y int ( A ) × int ( B ).
- Hvis U er et underområde av X (utstyrt med den induserte topologien ) og F en del av X , inneholder det indre av F ∩ U i dette underområdet int ( F ) ∩ U (noen ganger strengt, som i eksemplet X = ℝ og F = U = {0}). Han er lik dersom U er åpen i X .
- Det indre av et kryss er inkludert i krysset av interiøret, men inkluderingen kan være streng (for et endelig skjæringspunkt har vi likestilling).
- En union av interiører er inkludert i det indre av unionen, men inkluderingen kan være streng, selv for en endelig union.
- For et tellbart sett med lukket i et Baire-rom , er foreningen av interiør tett i det indre av unionen.La U være en ikke-tom åpning inkludert i foreningen av de lukkede F n . I rommet til Baire U (utstyrt med den induserte topologien) er det indre intet ( F n ) ∩ U av en av de lukkede F n ∩ U ikke-fritt, derfor møter U unionen av int ( F n ).
Eksempler
- I ethvert topologisk rom X er det tomme settet og X åpne og derfor lik interiøret.
- I et diskret rom er alle deler også sitt eget interiør.
- I en metrisk rom , et punkt en er innenfor en del A hvis det finnes r > 0 slik at den åpne ballen sentrum en og radius r er inkludert i A .
- I det euklidiske rommet R med reelle tall forsynt med den vanlige topologien:
- innvendig segment [0, 1] er det åpne intervallet] 0, 1 [;
- det indre av settet Q av rasjonelle tall er tomt;
- det indre av ] –∞ , 0] ⋃ [0, + ∞ [= R er R , mens foreningen av de to interiørene er R *;
- sekvensen av intervaller] –∞ , 1 / ( n +1) [(åpen derfor lik deres indre) har for skjæringspunktet] –∞ , 0], hvis indre er] –∞ , 0 [.
- I løpet av komplekse tall , er det indre av settet { z ∈ C / | z | ≥ 1} er settet { z ∈ C / | z | > 1}.
- I ethvert euklidisk rom er det indre settet det indre settet av et endelig sett.
- I et rom utstyrt med grov topologi der de eneste åpne er den totale plassen og det tomme settet, er en hvilken som helst streng del tomt interiør.
Det indre av en del avhenger av topologien som vurderes. I tilfelle R :
- med vanlig topologi, int ([0, 1]) =] 0,1 [;
- med den diskrete topologien, int ([0, 1]) = [0, 1];
- gitt grov topologi, er int ([0, 1]) det tomme settet.
Variety topologi
Det indre av en topologisk manifold med kant M av dimensjon n er settet med punkter av M som har (i M ) nabolag som er homomorfe til R n . Dens komplementær til M kalles kanten M .
Hvis M er kompakt og nedsenket i R n , definisjonen av dens innvendige faller sammen med definisjonen av generell topologi.