Topologisk eiendom

I topologi og relaterte felt i matematikk er en topologisk egenskap (eller topologisk invariant) en egenskap over et topologisk rom som forblir invariant under anvendelse av homeomorfismer . Det vil si at når et topologisk rom X har denne egenskapen, har hvert rom som er homomorf til X også denne egenskapen. Uformelt er en topologisk egenskap en som kan uttrykkes fullt ut ved hjelp av åpne sett .

Et vanlig problem i topologi består i å vite om to topologiske rom er homeomorfe eller ikke. For å bevise at to mellomrom ikke er homeomorfe, er det tilstrekkelig å finne en topologisk egenskap som de ikke deler.

Kardinalfunksjoner

• The Cardinal | X | av det topologiske rommet X.
• Kardinalen τ ( X ) av settet med åpninger i det topologiske rommet X.
• Den Vekt w ( X ), som tilsvarer den minste kardinal av en base av topologien av plass X.
• Den Tetthet d ( X ), som tilsvarer den minste kardinal av en delmengde av X hvis adhesjon er X.

Atskillelse

Merk at noen av disse begrepene er definert forskjellig i eldre matematisk litteratur; se historien om separasjonens aksiomer .

• T 0 eller Kolmogorov. Et Kolmogorov- rom er hvis det for hvert par av forskjellige punkter x og y eksisterer i det minste enten et åpent sett som inneholder x, men ikke y , eller et åpent sett som inneholder y, men ikke x .
• T 1 eller Fréchet. Et mellomrom er Fréchet hvis det for hvert par forskjellige punkter x og y i rommet eksisterer et åpent sett som inneholder x, men ikke y . (Sammenlign med T 0 ; her har vi lov til å spesifisere hvilket punkt som skal være inne i det åpne settet.) Tilsvarende er et mellomrom T 1 hvis alle singletonene er lukket. Mellomromene T 1 er alltid T 0 .
• Edru. Et mellomrom er edru hvis hvert lukkede, ikke-reduserbare sett C har et unikt generisk punkt p . Med andre ord, hvis C ikke er foreningen (muligens ikke usammenhengende) av to mindre lukkede delmengder, så eksisterer det en p slik at lukkingen av { p } er lik C og at p er det eneste punktet med denne egenskapen.
• T 2 eller separat. Et mellomrom er skilt hvis alle parene med forskjellige punkter tillater uensartede nabolag. Mellomromene T 2 er alltid T 1 .
• T 2½ eller Urysohn. Et rom er Urysohn hvis alle to forskjellige punkter har nære sammenhengende nabolag. T 2½ mellomrom er alltid T 2 .
• Helt T 2 eller helt atskilt. Et mellomrom er helt T 2 hvis alle parene med forskjellige punkter er atskilt med en funksjon. Alle helt separate mellomrom er fra Urysohn.
• Regelmessig. Et mellomrom er vanlig hvis, når C er et lukket sett og p er et punkt som ikke er i C , så har C og p usammenhengende nabolag.
• T 3 eller vanlig Hausdorff. Et rom er normalt Hausdorff hvis det er et normalt T 0- rom . (Et vanlig rom er Hausdorff hvis og bare hvis det er T 0, så terminologien er konsistent .)
• Helt vanlig. Et mellomrom er helt vanlig hvis, når C er et lukket sett og p er et punkt som ikke er i C , så er C og { p } atskilt med en funksjon.
• T 3½, Tychonoff, Hausdorff helt vanlig eller helt T 3. Et Tychonoff-rom er et helt normalt T 0- rom . (Et helt normalt rom er Hausdorff hvis og bare hvis det er T 0 , så terminologien er den samme.) Tychonoff-rom er alltid vanlige Hausdorffs.
• Vanlig. Et mellomrom er normalt hvis to usammenhengende lukkede sett har usammenhengende nabolag. Normale rom tillater enhetspartisjoner .
• T 4 eller Normal Hausdorff. Et normalt rom er Hausdorff hvis og bare hvis det er T 1 . Normale Hausdorff-mellomrom er alltid Tychonoff.
• Helt normalt. Et rom er helt normalt hvis to separate sett har usammenhengende nabolag.
• T 5 eller helt vanlig Hausdorff. Et rom er helt vanlig Hausdorff hvis og bare det er T 1 . Helt normale Hausdorff-rom er alltid normale Hausdorffs.
• Helt normalt. Et mellomrom er helt normalt hvis to usammenhengende lukkede sett er atskilt nøyaktig av en funksjon. Et helt normalt rom må også være helt normalt.
• T 6 eller Hausdorff helt normal, eller perfekt T 4 . Et rom er helt normalt Hausdorff , det er både helt normalt og T 1 . Et helt normalt Hausdorff-rom må også være et helt normalt Hausdorff-rom.
• Diskret plass. Et rom er diskret hvis alle punktene er helt isolerte, det vil si om en delmengde er åpen.

Regnskapsbetingelser

• Separasjonsevne. Et mellomrom kan skilles fra hvis det har et tett tellbart delmengde .
• Tellebare baser av nabolag. Et rom har tellbare nabolagsbaser hvis hvert punkt har en teller nabolagsbase .
• Tellbar base. Et rom er tellbart grunnlag hvis det har et tellbart grunnlag for åpninger for dets topologi. Disse områdene kan alltid skilles fra hverandre, med tellbare baser av nabolag og Lindelöf .

Tilknytning

• I slekt. Et rom er koblet sammen hvis det ikke er foreningen av et par usammenhengende, ikke-frie åpne sett. Tilsvarende er et mellomrom koblet til hvis de eneste åpne-lukkede settene er det tomme settet og seg selv.
• Lokalt relatert. Et rom er lokalt tilkoblet hvis hvert punkt har et nabolag som består av sammenkoblede sett.
• Helt diskontinuerlig. Et rom er helt diskontinuerlig hvis det ikke har noen tilkoblet delmengde med mer enn ett punkt.
• Beslektet av buer. Et mellomrom X er forbundet med buer hvis det for to punkter x , y i X eksisterer en bane p fra x til y , dvs. et kontinuerlig kart p  : [0,1] →   X med p (0) = x og p (1) = y . Romene forbundet med buer er alltid forbundet.
• Lokalt forbundet med buer. Et rom er lokalt forbundet med buer hvis hvert punkt har en nabolagsbase som består av sett forbundet med buer. Et lokalt forbundet rom med buer er koblet til hvis og bare hvis det er forbundet med buer.
• Bare relatert. Et mellomrom X er ganske enkelt koblet sammen hvis det er forbundet med buer og hvert kontinuerlig kart f  : S 1   →   X er homotopisk til et konstant kart.
• Lokalt enkelt relatert. Et mellomrom X er lokalt enkelt koblet sammen hvis hvert punkt x av X har grunnlag for enkeltforbundne nabolag.
• Rett og slett lokalt tilkoblet. Et rom X er ganske enkelt koblet sammen på en semi-lokal måte hvis hvert punkt har et lokalt grunnlag for nabolag U slik at hver sløyfe i U er kontraktil i X. Enkel semi-lokal tilkobling, en strengt svakere tilstand enn enkel lokal tilkobling, er en nødvendig forutsetning for eksistensen av et belegg .
• Kontraktil. Et mellomrom X er kontraktilt hvis identitetskartet på X er homotopisk til et konstant kart. Kontraktile rom er alltid rett og slett koblet sammen.
• Ureduserbar. Et mellomrom er ikke reduserbart hvis to åpne ikke-enkle sett ikke er sammenhengende. Hvert hyperkoblet rom er koblet sammen.
• Ultrakoblet. Et rom er ultraforbundet hvis to lukkede, ikke-tomme sett ikke er sammenhengende. Hvert ultraforbundet rom er forbundet med en sti.
• Grov. Et mellomrom er grovt hvis de eneste åpne settene er det tomme settet og seg selv. Vi sier at et slikt rom har en grov topologi .

Kompaktitet

• Kompakt. Et mellomrom er kompakt hvis hver dekker en under - som dekker over. Noen forfattere kaller disse mellomrommene for kvasi-kompakte og reserverer kompakte for Hausdorff- rom hvor hvert åpent deksel har et ferdig bunndeksel. Kompakte rom er fremdeles Lindelöf og parakompakt. Kompakte Hausdorff-rom er derfor normale.
• Sekvensielt kompakt. Et rom komprimeres sekvensielt hvis hver sekvens har en konvergerende sekvens.
• Kompatibel kompakt. Et rom er uendelig kompakt hvis hvert åpent tellbart deksel har en ferdig undercover.
• Pseudokompakt. Et rom er pseudokompakt hvis alle kontinuerlige funksjoner av reelle verdier på det rommet er avgrenset.
• σ-kompakt. Et rom er σ-kompakt hvis det er foreningen av mange kompakte delmengder.
• Lindelöf. Et rom er Lindelöf hvis hvert åpent deksel har en tellbar undercover .
• Parakompakt. Et mellomrom er parakompakt hvis hvert åpne deksel har en lokalt ferdig åpen raffinement. Paracompact Hausdorff-rom er normale.
• Lokalt kompakt. Et rom er lokalt kompakt hvis hvert punkt har en lokal base som består av kompakte nabolag. Litt forskjellige definisjoner brukes også. Lokalt kompakte Hausdorff-rom er fortsatt Tychonoff.
• Ultrakoblet kompakt. I et kompakt ultraforbundet X-rom, må ethvert åpent deksel inneholde X selv. Ultrakoblede, ikke-tomme kompakte rom har et større åpent delmengde kalt monolit .

Metrisability

• Metiserbar. Et rom kan måles hvis det er homomorft til et metrisk rom . Metriserbare rom er alltid Hausdorff og parakompakter (og derfor normal og Tychonoff), og først teller. Videre sies et topologisk rom (X, T) å være metrisk når det eksisterer en beregning for X slik at den metriske topologien T (d) er identisk med topologien T.
• Pusse. Et rom kalles polsk hvis det kan måles med en fullstendig og skillbar beregning.
• Lokalt metriserbar. Et rom er lokalt metriserbart hvis hvert punkt har et metriserbart nabolag.

Diverse

• Baire plass. Et X- rom er et Baire-rom hvis det ikke er magert i seg selv. Tilsvarende er X et Baire-rom hvis skjæringspunktet mellom mange tette åpne sett er tett.
• Topologisk homogenitet. Et mellomrom X er (topologisk) homogent hvis det for hver x og y i X er en homeomorfisme f  : X → X slik at f ( x ) = y . Intuitivt betyr dette at rommet ser ut det samme hvert øyeblikk. Alle topologiske grupper er homogene.
• Fin generert eller Alexandrov. Et X- rom er Alexandrov hvis vilkårlige kryss av åpne sett i X er åpne, eller tilsvarende hvis vilkårlige fagforeninger med lukkede sett er lukket. Dette er nettopp de endelig genererte medlemmene av kategorien topologiske rom og kontinuerlige kartlegginger.
• Nulldimensjonalt. Et rom er nulldimensjonalt hvis det har en åpen-lukket settbase. Dette er nettopp mellomromene med en liten induktiv dimensjon på 0 .
• Nesten diskret. Et rom er nesten diskret hvis hvert åpne sett er lukket (derfor åpent-lukket). Nesten diskrete rom er nettopp de fint genererte nulldimensjonale rom.
• Boolsk. Et rom er boolsk hvis det er nulldimensjonalt, kompakt og Hausdorff (tilsvarende, helt frakoblet, kompakt og Hausdorff). Dette er nettopp de homomorfe rommene i Stone-rommene til Boole-algebraer .
• Reidemeister vri
• κ{\ displaystyle \ kappa}-oppløselig. Et rom sies å være κ-oppløselig (henholdsvis: nesten κ-oppløselig) hvis det inneholder κ tette sett som er usammenhengende to og to (henholdsvis: nesten usammenhengende på idealet om tette undergrupper ingensteds). Hvis rommet ikke er -oppløselig, kalles det -oppløselig.κ{\ displaystyle \ kappa}κ{\ displaystyle \ kappa}
• Løst maksimalt. Plass løses maksimalt hvis det er -oppløselig, hvor . Nummer kalles spredt karakter av .X{\ displaystyle X}Δ(X){\ displaystyle \ Delta (X)}Δ(X)=min{|G|:G≠∅,G er åpen}{\ displaystyle \ Delta (X) = \ min \ {| G |: G \ neq \ emptyset, G {\ mbox {er åpen}} \}}Δ(X){\ displaystyle \ Delta (X)}X{\ displaystyle X}
• Sterkt diskret. Ensemblet er en sterkt diskret delmengde av rom hvis punktene kan skilles fra hverandre i par. Rom sies å være veldig diskret hvis hvert ikke-isolerte punkt er akkumuleringspunktet til et sterkt diskret sett.D{\ displaystyle D}X{\ displaystyle X}D{\ displaystyle D}X{\ displaystyle X}X{\ displaystyle X}

Se også

• Euler-karakteristikk
• Slikvende nummer
• Karakteristisk klasse
• Karakteristiske tall
• Cherneklasse
• Node invariant
• Koblingsnummer
• Fastpunktseiendom
• Topologisk kvantetall
• Homotopisk gruppe og kohomotopisk gruppe
• Homologi og kohomologi
• Kvante invariant

Referanser

1. Juhász, Soukup, Lajos og Szentmiklóssy, Zoltán, “  Resolvability and monotone normalality  ”, Israel Journal of Mathematics , vol.  166, n o  1,2008, s.  1–16 ( ISSN  0021-2172 , DOI  10.1007 / s11856-008-1017-y , arXiv  matematikk / 0609092 )

Bibliografi

• (en) Stephen Willard , generell topologi , Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co,1970, 369  s. ( ISBN  978-0-486-43479-7 , les online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">