Milnors K-teori

De K-teori Milnor , teori matematisk innført av John Milnor , er en av de første forsøk på å definere grupper av K -theory algebraisk høyere orden.

Definisjon

Beregningen av K 2 i et felt F førte Milnor til følgende ad hoc- definisjon av K- grupper av indekser større ved

K _ {*} ^ {M} (F): = T ^ {*} F ^ {\ times} / (a ​​\ otimes (1-a)),

derfor som ( gradert ) kvotient for tensoralgebraen til den abeliske gruppen F × av det bilaterale idealet generert av a ⊗ (1 - a ) for a ≠ 0, 1.

Den tensorprodukt på T * F induserer et produkt K M m x K M n → K M m + n som gjør K M ( F ) en gradert ring som er kommutativ (i den graderte forstand) .

Eksempler

For n = 0, 1 eller 2 faller disse K- gruppene av felt sammen med Quillen , men for n ≥ 3 er de generelt forskjellige.

K M n ( F q ) = 0 for n ≥ 2 (mens K -Quillen-gruppen K 2 i - 1 ( F q ), for i ≥ 1, er syklisk av orden q i - 1).

K M 2 ( ℂ ) er en ikke- tellbar delbar gruppe uten vridning .

K M 2 ( ℝ ) er den direkte summen av en syklisk undergruppe av orden 2 og en delbar, utellelig undergruppe uten vridning.

K M 2 ( ℚ p ) er den direkte summen av multiplikasjonsgruppen F p og av en utellelig delbar undergruppe uten vridning.

K M 2 ( ℚ ) er den direkte sum av en syklisk undergruppe av orden 2 og sykliske undergrupper av orden p - 1, for et hvilket som helst odde primtall p .

Lenker til andre teorier

Milnor K-teorien spiller en grunnleggende rolle i kroppene til klasseteorien øvre (en) , og erstatter K M 1 brukt i teorien om dimensjon 1 klassefelt.

Milnors modulo 2 K-teori, betegnet k ✲ ( F ), er relatert til étale (eller Galois ) kohomologi i felt F ved Milnor-gjetningen , demonstrert av Vladimir Voïevodski . Den analoge uttalelsen modulo et oddetall er Bloch-Kato-formodningen (en) , demonstrert av Voevodsky og Rost (de) .

Vi definerer “symbolet” { a 1 ,…, a n } som bildet av en 1 ⊗ ... ⊗ a n i K M n ( F ): hvis n = 2, er det et Steinberg-symbol .

Vi definerer for alle n en morfisme av k n ( F ) i Witt-gruppen av F , ved å assosiere med dette symbolet Pfister-formen (en) av dimensjon 2 n

$\ langle \ langle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle = \ langle 1, a_ {1} \ rangle \ otimes \ langle 1, a_ {2} \ rangle \ otimes \ ldots \ otimes \ langle 1, a_ {n} \ rangle.$

Sett som verdier i I n / I n +1 , er denne morfismen surjektiv fordi Pfister-formene i tillegg genererer I n . Milnors antagelser tolkes som injeksjonsevnen til denne morfismen.

Referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Milnor K-theory " ( se forfatterlisten ) .

(in) John Willard Milnor , " Algebraic K-theory and quadratic forms " , Invent. Matte. , vol. 9, n o 4,1970, s. 318-344 ( les online ).
(i) Philippe Gille og Tamás Szamuely (de) , Central bare algebraer og Galois cohomology , UPC , al. "Cambridge Studier i avansert matematikk" ( n o 101),2006( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137.12001 , les online ) , s. 208.
(en) Tsit-Yuen Lam , Introduksjon til kvadratiske former over felt , Providence (RI), AMS , koll. " GSM " ( N o 67)2005, 550 s. ( ISBN 0-8218-1095-2 , leses online ) , s. 366.
Lam 2005 , s. 316.