Multiplikasjon med en skalar
I matematikk , multiplikasjon med en skalar er en av de grunnleggende eksterne lover som avgrenser et vektorrom i lineær algebra (eller mer generelt, en elastisitetsmodul i generell algebra ).
Hvis K er en kommutativ legeme som definerer et vektorrom E på K krever at det finnes en ytre sammensetning lov, gjennomføring av K x E i E . Bildet av et par (λ, v ), som kan betegnes λ v eller λ ∙ v , er multiplikasjonen av vektoren v med skalaren λ. Som et spesielt tilfelle kan E tas like K selv, og multiplikasjonen med en skalar kan ganske enkelt være multiplikasjonen av feltet. Når E er lik K n , er multiplikasjonen med en skalar vanligvis den definerte komponenten for komponent .
Per definisjon av et vektorrom tilfredsstiller multiplikasjon med en skalar følgende egenskaper:
- Multiplikasjon med 1 endrer ikke en vektor:
- riktig distribusjon :
- distributivitet til venstre:
- multiplikasjon med 0 gir nullvektoren :
- multiplikasjon med –1 gir det motsatte :
Her representerer + enten tilsetningen av feltet eller det av vektorrommet etter behov, og 0 er det nøytrale elementet i feltet K , mens 0 E er nullvektoren. Sammenstillingen eller punktet tilsvarer multiplikasjonen med en skalar eller den indre multiplikasjonen av kroppen.
Multiplikasjon med ikke-null skalar λ definerer et lineært kart fra E til E , kalt homotitet med forholdet λ. Når E er et euklidisk vektorrom (med K = R ), kan utvidelsene tolkes som sammentrekninger eller strekninger.