Spesifikk vinkelmoment

I himmelmekanikken spiller den spesifikke vinkelmomentet en viktig rolle i løsningen av to-kroppsproblemet . Det kan vises at denne vektoren er konstant for en bane under ideelle forhold. Dette fører direkte til Keplers andre lov . ${\ displaystyle {\ vec {h}}}$

Denne artikkelen tar for seg det spesifikke vinkelmomentet fordi det ikke er selve vinkelmomentet , men vinkelmomentet per masseenhet. ${\ displaystyle {\ vec {L}}}$

{\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ frac {\ vec {L}} {m}}}

for å være nøyaktig den reduserte massen . Dens SI-enhet er derfor m 2 · s -1 . ${\ displaystyle {\ frac {1} {m}} = {\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}}}$

Forutsetninger

Visse forhold, allerede kjent fra den universelle gravitasjonsloven ifølge Newton, må først stilles for å forenkle det som følger.

To punktsmasser og er plassert i vakuum i en avstand fra hverandre. Bare tyngdekraften virker, øyeblikkelig og uansett avstand. Koordinatsystemet er treghet. ${\ displaystyle m_ {1}}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $r$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}}}$

I tillegg antas det at . Det er derfor , det sentrale legeme, ved origo i koordinatsystemet, og den satellitt som dreier seg om den. Den reduserte massen er lik . Ligningen til tokroppsproblemet ${\ displaystyle m_ {1} \ gg m_ {2}}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}}}

beskriver bevegelsen. er standard gravitasjonsparameter og (absolutt verdi ) er avstandsvektoren som peker fra senterlegemet til satellitten fordi massen til satellitten er ubetydelig. ${\ displaystyle \ mu = Gm_ {1}}$ ${\ vec {r}}$ $r$

Det er viktig å ikke forveksle standard gravitasjonsparameter med redusert masse hvis symbol ofte også er. $\ mu$ $\ mu$

Spesifikk vinkelmoment

Det spesifikke vinkelmomentet oppnås ved å multiplisere ligningen av to-kroppsproblemet med vektoren med et kryssprodukt ${\ vec {r}}$

{\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ vec {r}} \ times {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} { \ frac {\ vec {r}} {r}}}

Korsproduktet til en vektor med seg selv (høyre side av ligningen) er 0. Venstre side er forenklet som følger i henhold til produktet av derivatregelen

{\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ dot {\ vec {r}}} + { \ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ({\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec {r}}} )} {\ mathrm {d} t}} = 0}

Dette betyr at det er konstant ( bevart styrke ). Denne vektoren er nettopp vinkelmomentet per satellittens masse ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec {r}}}}$

{\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec {r}}} = const.}

Denne vektoren er vinkelrett på bane. Banen forblir derfor i samme plan fordi vinkelmomentet er konstant.

Ytterligere konklusjoner av to-kroppsproblemet kan begrunnes fra den spesifikke vinkelmomentet med definisjonene av flyvinkelen og de tverrgående og radiale komponentene i hastighetsvektoren (se figur til høyre). De neste tre formlene er alle ekvivalente metoder for å beregne den absolutte verdien av den spesifikke kinetiske bevegelsen. $\ phi$

${\ displaystyle h = rv \ cos \ phi}$
${\ displaystyle h = r ^ {2} {\ dot {\ nu}}}$
${\ displaystyle h = {\ sqrt {\ mu p}}}$

Keplers lover

Keplers lover kan demonstreres nesten direkte fra utledningen av spesifikk vinkelmoment.

Første lov

Beviset begynner igjen på ligningen av to-kroppsproblemet. Denne gangen multipliseres den (kryssprodukt) med den spesifikke vinkelmomentet

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}} \ times {\ vec {h}}}

Venstre side av ligningen er lik fordi vinkelmomentet er konstant. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ({\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}})} {\ mathrm {d} t}}}$

Etter noen beregninger får vi for høyre side ${\ displaystyle - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} ({\ vec {r}} \ times {\ vec {h}}) = - {\ frac {\ mu} {r ^ { 3}}} (({\ vec {r}} \ cdot {\ vec {v}}) {\ vec {r}} - r ^ {2} {\ vec {v}}) = - ({\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ dot {r}} {\ vec {r}} - {\ frac {\ mu} {r}} {\ vec {v}}) = \ mu { \ frac {\ mathrm {d} {\ frac {\ vec {r}} {r}}} {\ mathrm {d} t}}}$

Form ligningen og integrer

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}} = \ mu {\ frac {\ vec {r}} {r}} + {\ vec {C}}}

med konstant integrasjon . ${\ displaystyle {\ vec {C}}}$

Hvis vi multipliserer ( dot produkt ) denne ligningen med vi får ${\ vec {r}}$

{\ displaystyle {\ vec {r}} ({\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}}) = {\ vec {r}} (\ mu {\ frac {\ vec { r}} {r}} + {\ vec {C}})}

{\ displaystyle {\ vec {r}} ({\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}}) = ({\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec { r}}}) {\ vec {h}} = h ^ {2} \ ;, \ qquad {\ vec {r}} (\ mu {\ frac {\ vec {r}} {r}} + {\ vec {C}}) = \ mu r + rC \ cos \ nu}

Ligningen av Keplerian-bevegelse dukker endelig opp.

{\ displaystyle r = {\ frac {\ frac {h ^ {2}} {\ mu}} {1 + {\ frac {C} {\ mu}} \ cos \ nu}}}

som er den polære ligningen til en konisk med halvparameteren og eksentrisiteten . Dette beviser Keplers første lov med ord: ${\ displaystyle p = {\ frac {h ^ {2}} {\ mu}}}$ ${\ displaystyle e = {\ frac {C} {\ mu}}}$

“Planetene beskriver en ellipse der Sola opptar et av fokuspunktene. "

- Johannes Kepler , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis

Andre lov

Den andre av de tre ligningene for den absolutte verdien av den spesifikke kinetiske bevegelsen fører direkte til Keplers andre lov.

Hvis vi kombinerer rekomposisjonen av ligningen med forholdet som arealet til en sektor med en uendelig liten vinkel er lik (trekant med en veldig liten side), blir resultatet ${\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {r ^ {2} \ mathrm {d} \ nu} {h}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ nu}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} A = {\ frac {r ^ {2} \ mathrm {d} v} {2}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {2 \ mathrm {d} A} {h}}}

ligningen som følger loven formulert i ord:

“Solplanetstrålen feier over like områder for like tidsintervaller. "

- Johannes Kepler , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis

Tredje lov

Keplers tredje lov er en konsekvens av den andre loven. Hvis vi integrerer ligningen over en revolusjon, får vi revolusjonsperioden

{\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi ab} {h}}}

for området av en ellips. Hvis vi erstatter den halvmindre aksen med og den spesifikke vinkelmomentet med resultatet er ${\ displaystyle \ pi ab}$ ${\ displaystyle b = {\ sqrt {ap}}}$ ${\ displaystyle h = {\ sqrt {\ mu p}}}$

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}

Dette betyr at det er en funksjonell sammenheng mellom revolusjonsperioden og den semi-hovedaksen som er redusert til en konstant av det sentrale legemet. Dette tilsvarer den bedre kjente formuleringen av loven:

“Firkanten av revolusjonsperioden er proporsjonal med kuben til baneens halv-store akse. "

- Johannes Kepler , Harmonices Mundi libri V

Relaterte artikler

Spesifikk orbital energi , en annen bevaringsenhet for to-kroppsproblemet.

Merknader

Man trenger ikke å ta denne antagelsen for å få den spesifikke vinkelmomentet. Deretter er koordinatsystemets opprinnelse barycenter , standard gravitasjonsparameter og forblir den reduserte massen (trinn ). Men denne forenklingen er god i de fleste tilfeller, og bevisene på Keplers lover er mer åpenbare. ${\ displaystyle \ mu = G (m_ {1} + m_ {2})}$ $m$ ${\ displaystyle m_ {2}}$

Referanser

(in) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106 s. ( ISBN 9781881883180 ) , s. 24
(in) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106 s. ( ISBN 9781881883180 ) , s. 28
" Keplers lover " , på eduscol.education.fr (åpnet 19. april 2016 )
(in) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106 s. ( ISBN 9781881883180 ) , s. 30