Descartes oval

I plangeometri er en Descartes oval settet med punkter M som tilfredsstiller en ligning av formen b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 , hvor a , b og c er tre ikke-virkelige realiteter null og F 1 , F 2 to gitte poeng kalt foci.

For hver ikke-degenererte ovale av foci F 1 og F 2 er det et tredje fokus F 3 og nye parametere som gjør kurven til en oval av foci F 1 , F 3 . Dette er grunnen til at vi snakker om de tre fokusene til en oval.

Settet med poeng M slik at | b F 1 M ± a F 2 M | = | c F 1 F 2 | kalles en full oval og kombinerer to kurver av forrige type. En full oval er et spesielt tilfelle av en kvartkurve .

Navnet "Descartes oval" refererer til matematikeren René Descartes som var den første som studerte dem i refraksjonsproblemer .

Opprinnelse

René Descartes henviser til disse kurvene i sin Diopter, men studerer dem dypere i sin geometri . Han presenterer dem ikke direkte ved bifokal ligning, men ved hjelp av en konstruksjon. Hans motivasjon er praktisk: det er å søke kurver med perfekt stigmatisme. Det vil si kurver som skiller to medier med forskjellige indekser slik at alle strålene som kommer fra et bestemt punkt i det første mediet, konvergerer ved refraksjon på et bestemt punkt i det andre mediet.

Innvendige ovaler har denne særegenhet: hvis det ovale med ligning b F 1 M + en K 2 M = c F 1 F 2 , hvor 0 < en < c < b separerer et indre medium med indeks b fra et ytre medium d Indeksen en så strålene som kommer fra F 2 og møter den ovale vil brytes i F 1 .

Descartes mobiliserer i denne studien sin nye kunnskap om brytingsloven så vel som hans teknikker for å trekke tangenter til kurver. Han avslutter med presentasjonen av briller som tillater kombinasjonen av to ovaler for å sikre absolutt stigmatisme.

Han foreslår også et mekanisk middel for å konstruere slike ovaler for koeffisienter b og et naturlig heltall når c = ( a + b ) / 2, med en metode som ligner gartnerens metode.

Kurven er også studert av Isaac Newton , Adolphe Quételet, som studerer de to grenene av kurven og gir polligningen, av Michel Chasles . Arthur Cayley , Hieronymus Georg Zeuthen og Hammond utvikler mekaniske konstruksjonsmetoder.

Spesielle tilfeller

Vi betrakter den bipolare ligningskurven b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 . Vi kan, uten tap av generalitet, anta a + b > 0. Hvis c <min ( a , b ), er kurven tom.

Når 0 < a = b < c settet med punkter M er en ellipse, sendes det tredje fokuset til uendelig. Det anses generelt å være en degenerert oval.

Når a + b = 0, er settet med poeng M en halv hyperbola. Det tredje fokuset sendes til uendelig. Det er også en utartet sak.

Når a = ± c , forveksles det tredje fokuset med F 1, og den komplette ovale er en Pascal snegl .

Full ovale ligninger

Ligningen | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | kan fortsatt skrives i følgende kvartisk form: (b2MF12-på2MF22+vs.2F1F22)2=4b2vs.2F1F22×MF12{\ displaystyle \ left (b ^ {2} MF_ {1} ^ {2} -a ^ {2} MF_ {2} ^ {2} + c ^ {2} F_ {1} F_ {2} ^ {2 } \ høyre) ^ {2} = 4b ^ {2} c ^ {2} F_ {1} F_ {2} ^ {2} \ ganger MF_ {1} ^ {2}}

Kartesiske ligninger

Når det gjelder en ikke-degenerert oval, tildelte baresenteret til F 1 og F 2 koeffisientene b ² og - a ² og for vektoren slik at F 1 har for abscissa α = a ². Da har F 2 abscissen β = b ². Ved å sette γ = c ² blir ligningen til den ovale: Jeg→{\ displaystyle {\ vec {i}}}(x2+y2-σ2)2+8σ3x-4σ1σ3=0{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} - \ sigma _ {2}) ^ {2} +8 \ sigma _ {3} x-4 \ sigma _ {1} \ sigma _ {3} = 0} hvor σ 1 , σ 2 og σ 3 er de symmetriske funksjonene til realene α , β og γ  : σ1=α+β+γ,σ2=αβ+βγ+γα,σ3=αβγ{\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ alpha + \ beta + \ gamma, \ quad \ sigma _ {2} = \ alpha \ beta + \ beta \ gamma + \ gamma \ alpha, \ quad \ sigma _ {3 } = \ alpha \ beta \ gamma}

Den symmetriske karakteren til rollene som realene α , β og γ spiller, gjør det mulig å si at den samme kartesiske ligningen vil bli oppnådd for den ovale med foci F 1 og F 3 ( γ , 0) og med ligning | c MF 1 ± a MF 3 | = | b F 1 F 3 | så vel som for ovalen av foci F 2 og F 3 og ligning | c MF 2 ± b MF 3 | = | a F 1 F 3 |.

Vi kan også bestemme oss for å ta utgangspunktet, midtpunktet til segmentet [F 1 F 2 ] eller en av fokusene for å oppnå alternative ligninger.

Polarligning

I koordinatsystemet med sentrum F 1 og hvis hovedakse er orientert mot F 2 , hvis vi betegner med d = F 1 F 2 , er den komplette ovale ligningen | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | har polarligningen:

(b2-på2)ρ2-2ρd(på2cos⁡θ+bvs.)+(vs.2-på2)d2=0{\ displaystyle (b ^ {2} -a ^ {2}) \ rho ^ {2} -2 \ rho d (a ^ {2} \ cos \ theta + bc) + (c ^ {2} -a ^ {2}) d ^ {2} = 0}

Siden produktet av de to røttene i denne ligningen er uavhengig av θ , er den komplette ovalen uforanderlig ved inversjon av sentrum F 1 og av forholdet . (vs.2-på2)d2(b2-på2){\ displaystyle {\ frac {(c ^ {2} -a ^ {2}) d ^ {2}} {(b ^ {2} -a ^ {2})}}}

Geometriske egenskaper

Vi anser ovalen av ligningen | b F 1 M ± a F 2 M | = | c F 1 F 2 |.

Tredje fokus

Hvis det ovale ikke er degenerert, er det tredje fokus barysenteret til punktene F 1 og F 2 påvirket av koeffisientene b ² - c ² og c ² - a ²

Hjørner

De fire hjørnene til den komplette ovale er barsentrene til punktene F 1 og F 2 tildelt koeffisientene ( b - c , a + c ), ( b - c , - a + c ), ( b + c , a - c ), ( b + c , - a - c ).

Tangent og normal

Det normale til det ovale av ligningen b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 ved punktet M har for retningsvektor: bF1M→F1M+påF2M→F2M{\ displaystyle b {\ frac {\ overrightarrow {F_ {1} M}} {F_ {1} M}} + a {\ frac {\ overrightarrow {F_ {2} M}} {F_ {2} M}} }

Dermed, hvis vi kaller θ 1 vinkelen som F 1 M gjør med normal og θ 2 vinkelen som F 2 M lager med normal, har vi likhet: synd⁡θ2synd⁡θ1=bpå{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta _ {2}} {\ sin \ theta _ {1}}} = {\ frac {b} {a}}}.

For 0 < b < a finner vi her Snell-Descartes-loven . Hvis ovalen skiller to midtpunkter, den ene av indeks b som inneholder F 1 og den andre av indeks a som inneholder F 2, og hvis M er det første møtepunktet for halvlinjen [F 1 M) med l 'oval, så er radiusen F 1 M) bryter i MF 2

Konstruksjon ved hjelp av to sirkler

Michel Chasles foreslår en konstruksjon av en komplett oval ved hjelp av to sirkler med sentre F 1 og F 2 og et punkt C plassert til høyre (F 1 F 2 ). En linje roteres rundt C slik at den møter den første sirkelen ved to punkter M 1 og N 1 og den andre sirkelen ved M 2 og N 2 . Møtepunktene til linjene (F 1 M 1 ) og (F 1 N 1 ) med linjene (F 2 M 2 ) og (F 2 N 2 ) tegner deretter en komplett oval når linjen svinger rundt C.

Projeksjon av en venstre kurve

En Descartes oval er den vertikale projeksjonen i et horisontalt plan i skjæringspunktet mellom to revolusjonskegler med forskjellige vertikale akser. Fokusene er da projeksjonene til toppen av de to kjeglene. Denne tolkningen gjør det mulig å finne på en relativt enkel måte visse geometriske egenskaper til ovaler.

Sekundær kaustisk ved brytning

Hvis den komplette ovale har ligningen | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | og hvis punktene O og P er definert som barynsentrene til F 1 og F 2 tildelt koeffisientene b ² og - a ² for O, og a og b for P, så er den ovale sekundær kaustisk ved refraksjon av forholdet n = | a / c | av sirkelen (Γ) med sentrum O, som går gjennom P, med hensyn til fokus F 1 . Det er derfor konvolutten til sirklene (Γ M ) med sentrene M plassert på (Γ) og radiene F 1 M / n .

Hver sirkel (Γ M ) er tangent til det ovale ved to punkter T M og T ' M, alltid på linje med det tredje fokuspunktet til det ovale.

Referanser

1. Descartes ( Descartes 1637 , s.  447) og Barbin ( Barbin og Guitart 1998 , s.  1) bruker det feminine.
2. Descartes 1637 , "Forklaring av fire nye typer ovaler som brukes til optikk" og "Egenskapene til disse ovaler som påvirker refleksjoner og refraksjoner", "Demonstrasjon av disse egenskapene til disse ovaler som påvirker refleksjoner og refraksjoner".
3. Warusfel 2010 , s.  414.
4. For konstruksjon av det ovale se Descartes 1637 , s.  356, for en analyse se Warusfel 2010 , s.  361-362.
5. Adolphe Quetelet, demonstrasjon og utvikling av de grunnleggende prinsippene i teorien om sekundær kaustikk . Nye memoarer fra Royal Academy of Sciences og Belles-Lettres i Brussel (1829), lest online
6. J. Hammond, om den mekaniske beskrivelsen av Cartesian , American Journal of Mathematics, 1878
7. (de) H. Mohrmann og W. Fr. Meyer, Geometry , Springer-Verlag ,2013, s.558 .
8. MathcurveOvale .
9. MathcurveOvale , med forskjellige notasjoner.
10. Weisstein, Eric W. Cartesian Ovals. på MathWorld - En Wolfram-nettressurs
11. Warusfel 2010 , s.  120, ligning av det ovale | MF 1 ± h MF 2 | = | k F 1 F 2 | i referansehelbildet av sentrum F 1 hvor F 2 har abscissen c
12. Barbin og Guitart 1998 , s.  375 eller MathcurveOvale , med andre notasjoner.
13. Barbin og Guitart 1998 , s.  375.
14. Chasles 1837 , s.  351 .
15. M. Dufour, "  On the oval of Descartes  ", Matematisk utdanning , vol.  28, n o  1,1929( les online , konsultert 4. mai 2015 )
16. Robert Ferréol, Jacques Mandonnet, Anticaustique , Leksikon med bemerkelsesverdige matematiske former, 2000
17. Barbin og Guitart 2001 , s.  172

Bibliografi og kilder

• André Warusfel, Det matematiske arbeidet til Descartes i geometri: fra oppløsningen av algebraiske ligninger til fødselen av analytisk geometri ,2010( les online )
• Robert Ferreol og Jacques Mandonnet, "  Ovale de Descartes  " , på leksikon over bemerkelsesverdige matematiske former ,2012(åpnet 17. mai 2015 )
• Évelyne Barbin og René Guitart, "  Algebra av elliptiske funksjoner og geometrien til ovaler av Descartes  ", Revue d'histoire des mathematiques , nr .  7,2001, s.  161-205 ( les online )
• Évelyne Barbin og René Guitart, "Pulsasjonen mellom optiske, algebraiske, artikulerte og projiserende forestillinger om kartesiske ovaler" , i Proceedings of the seventh interdisciplinary summer university on the history of matematics (Nantes, July 1997) ,1998( les online )
• Paul Baudoin, Ovalene av Descartes og limaçon av Pascal , Vuibert ,1938
• M. Dufour, “  On the ovals of Descartes  ”, matematisk utdanning , International Commission for Mathematical Education, vol.  28, n o  1,1929( les online )
• Michel Chasles, Historisk oversikt over opprinnelse og utvikling av metoder i geometri , M; Hayez,1837( les online )
• René Descartes, Geometry , Leyden, Jean Maire,1637