I gruppeteori er en genererende del av en gruppe en del A i denne gruppen slik at ethvert element i gruppen skrives som et produkt av et endelig antall elementer av A og deres inverser.
En gruppe sies å være av endelig type når den innrømmer en endelig genererende del . En gruppe generert av et enkelt element er isomorf enten til additivgruppen med relative heltall (ℤ, +), eller til en additivgruppe av klassene modulo n (ℤ / n ℤ, +); det sies å være en monogen gruppe . De undergrupper av finite typen kommutative grupper er også begrenset type, men dette er ikke sant uten forutsetningen om commutativity.
La G være en gruppe. Over et snitt av undergrupper av G er en undergruppe av G . For en del S av G , eksisterer det en undergruppe G minimum for innlemmelse av de undergrupper som inneholder S , nemlig skjæringspunktet for alle undergrupper som inneholder S . Det kalles undergruppen generert av S , og det er kjent ⟨ S ⟩.
Beskrivelse: Vi har en eksplisitt beskrivelse av elementene i gruppen ⟨ S ⟩. Dette er nøyaktig produktene av elementer eller inverser av S :
Eksempler:Vi sier at S er en genererende del av gruppen G , eller at G genereres av S , når undergruppen generert av S er G :
.Med andre ord, ethvert element av G er et produkt av elementer av S eller deres inverser.
Eksempler:Hver endelig gruppe av orden n har en genererende del av ordenen , hvor er nedbrytningen av n til hovedfaktorer .
En gruppe sies å være monogen , hvis den bare genereres av ett av elementene:
G er monogent hvis det eksisterer et element a av G slik at G = ⟨{ a }⟩.Hvis det dessuten er ferdig, sies det å være syklisk .
Den klassifiseringen av monogene grupper er ikke vanskelig. Hvis en frembringer G , den morphism av gruppene ℤ → G , n ↦ et n er surjektiv . Ved isomorfismesatsen induserer denne homomorfismen isomorfisme: G ≃ ℤ / ker ( f ) . Imidlertid ker ( f ) er en undergruppe av ℤ, og disse undergrupper er velkjente: de er grupper n ℤ med n naturlig heltall. Isomorfismen ovenfor skrives da: G ≃ ℤ / n ℤ.
Inntil isomorfisme eksisterer det en unik uendelig monogen gruppe (tilsvarende n = 0), og for hvert heltall n > 0 en unik syklisk gruppe av kardinal n .
Generatorene til ℤ / n ℤ er nøyaktig klasser av heltall k prime med n . Antallet av disse klassene er betegnet φ ( n ). Funksjonen φ er Euler indicatrix , den spiller en stor rolle i aritmetikk .
En gruppe sies å være av endelig type hvis den har en endelig genererende del.
Dette tilsvarer å si at gruppen er et kvotient for en gratis gruppe over et begrenset antall generatorer.
For uspesifiserte grupper av endelig type kan man komme med noen generelle bemerkninger:
For en abelsk gruppe er disse to forestillingene henholdsvis ekvivalente med de av Noetherian modulus og Artinian modulus ( on ℤ ). De abeliske gruppene fra Noetherian er derfor de abeliske gruppene av endelig type , og de artinske abelgruppene er de direkte produktene til en abelisk gruppe begrenset av et begrenset antall Prüfer-grupper .
Enhver abelisk gruppe av endelig type er et direkte produkt av et endelig antall monogene grupper: det er til og med et unikt heltall r og en unik endelig sekvens av naturlige heltall som hver deler den neste, slik at G er isomorf til . Spesialtilfellet til endelige abeliske grupper ( r = 0) er Kroneckers teorem .
La K være et kommutativt felt , den spesielle lineære gruppen SL n ( K ) genereres av transveksjonsmatriser .
Undergruppe generert normal (in)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">