Relativt kompakt del

I matematikk er en relativt kompakt del av et topologisk rom X en delmengde Y av X inkludert i en kompakt del av X (for den induserte topologien ). Husk at i fransk litteratur antas en kompakt å være separat . Hvis X skilles, er en del av X relativt kompakt (hvis og) bare hvis vedheftet er kompakt.

Demonstrasjon

${\ displaystyle (\ Rightarrow)}$ : Vi antar at X er atskilt. La K være et kompakt delmengde av X , slik at Y ⊆ K . Hvert kompakte del av en egen plass er lukket (det er en konsekvens av den lemmaet av røret ) slik at K er en lukket X .

Adhesjonen av Y er betegnet med Y . Vi har Y ⊆ Y og - siden K er lukket - Y ⊆ K . Imidlertid er enhver lukket del av en kompakt kompakt , derfor er Y kompakt.

${\ displaystyle (\ Leftarrow)}$ : Umiddelbar (og fremdeles sant hvis X ikke er atskilt).

I en metrizable plass X , del Y er forholdsvis kompakt, hvis og bare hvis alle resultat i Y har en undersekvens som konvergerer i X .

En del av et komplett metrisk rom er relativt kompakt hvis og bare hvis det er forhåndskompakt .

Spesielt i n er de relativt kompakte delene de avgrensede delene .

Merknader og referanser

N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ detalj av utgaver ], s. I.62 på Google Bøker .

Relaterte artikler

Telling kompakt plass
Normal familie
Kompakt nedsenking (no)
Ensartet integrerbarhet (en)
Kompakt operatør
Ascolis teorem
Borel-Lebesgue-teorem
Teoretisk kompakthet Mahler (en)
Schauders fastpunktssetning
Topologi bestemt punkt (i)