Lagrange poeng

Et Lagrange-punkt (bemerket L 1 til L 5 ), eller, sjeldnere, punkt for librering , er en posisjon i rommet der tyngdefeltene til to legemer i bane rundt hverandre, og med betydelige masser, gir nøyaktig sentripetal kraften som kreves for at dette punktet i rommet samtidig skal følge orbitalbevegelsen til de to kroppene. I tilfelle hvor de to kroppene er i sirkulær bane, representerer disse punktene stedene der et tredje legeme, med ubetydelig masse, ville forbli ubevegelig i forhold til de to andre, i den forstand at det ville følge deres rotasjon rundt sentrum ved samme vinkelhastighet av felles tyngdekraft uten at dens posisjon i forhold til dem endres.

Med andre ord, gravitasjonskreftene som utøves av to store kropper på en tredjedel av ubetydelig masse, plassert ved et Lagrange-punkt, blir nøyaktig kompensert av sistnevntes sentrifugalkraft . Posisjonen til den lille kroppen vil derfor ikke endres fordi de tre kreftene som utøves på den kompenserer hverandre.

Fem i antall er disse punktene delt inn i to stabile punkter kalt L 4 og L 5 , og tre ustabile punkter betegnet L 1 til L 3 . De blir kåret til ære for den franske matematikeren Joseph-Louis Lagrange . De er involvert i studiet av visse konfigurasjoner av objekter i solsystemet (hovedsakelig for stabile punkter) og i plasseringen av forskjellige kunstige satellitter (hovedsakelig for ustabile punkter). Dette er de bemerkelsesverdige punktene i "geometrien til Roche  " (poeng-kol og ekstrema), som gjør det spesielt mulig å klassifisere de forskjellige typer binære stjerner .

De tre punktene L 1 , L 2 og L 3 kalles noen ganger Euler-punktene , til ære for Leonhard Euler , og navnet på Lagrange-poeng blir deretter reservert for de to punktene L 4 og L 5 .

Punktene L 4 og L 5 kan i kraft av sin stabilitet naturlig tiltrekke eller holde gjenstander i lang tid. Punktene L 1 , L 2 og L 3 , som er ustabile, kan ikke nødvendigvis opprettholde objekter i lang tid, men kan brukes av romoppdrag, med bane-korreksjoner.

Historisk

I himmelmekanikken er det et emne som har fascinert mange matematikere: det er det såkalte problemet med de tre kroppene . Etter å ha uttalt sin lov som uttrykker at "kropper tiltrekker hverandre med en kraft proporsjonal med produktet av deres masse og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden fra deres sentre", forsøkte Newton å beskrive oppførselen til tre kropper uten å lykkes. . Vi må vente på matematikeren Joseph-Louis Lagrange som i 1772 studerte saken om en liten kropp, med ubetydelig masse (det som i dag kalles en testlegeme eller testpartikkel ), utsatt for tiltrekningen to større: solen og for eksempel en planet. Han oppdaget at det var balanseposisjoner for den lille kroppen, steder der alle krefter balanserte seg.

Definisjon

Et objekt med lav masse plassert på disse punktene beveger seg ikke lenger i forhold til de to andre kroppene, og roterer sammen med dem (for eksempel en planet og solen ). Hvis vi som eksempel viser Lagrange-punktene til Sol - Jord-systemet , blir disse fem punktene notert og definert som følger (skalaen ikke respektert):

• L 1  : på linjen definert av de to massene, mellom dem, den nøyaktige posisjonen avhengig av masseforholdet mellom de to kroppene; i tilfelle der en av de to kroppene har en mye lavere masse enn den andre, ligger punktet L 1 mye nærmere den ikke veldig massive kroppen enn den massive kroppen.
• L 2  : på linjen definert av de to massene, utover den mindre. I tilfelle der en av de to kroppene har en mye lavere masse, er avstanden fra L 2 til denne kroppen sammenlignbar med den mellom L 1 og denne kroppen.
• L 3  : på linjen definert av de to massene, utover den større. I tilfelle der en av de to kroppene er spesielt mindre massiv enn den andre, er avstanden mellom L 3 og den massive kroppen sammenlignbar med den mellom de to kroppene.
• L 4 og L 5  : på toppunktene til de to ensidige trekanter hvis base er dannet av de to massene. L 4 er den av de to punktene foran banen til den minste massen, i sin bane rundt den store, og L 5 er bak. Disse punktene kalles noen ganger trekantede Lagrange- punkter eller Trojan-punkter , fordi det er stedet der trojanske asteroider i Sun- Jupiter- systemet ligger . I motsetning til de tre første punktene, er disse to siste ikke avhengig av de relative massene til de to andre kroppene.

Beregning av posisjonen til Lagrange-poengene

Beregningen av posisjonen til Lagrange-punktene gjøres ved å vurdere likevekten til en kropp med ubetydelig masse mellom gravitasjonspotensialet skapt av to legemer i bane og sentrifugalkraften . Stillingen av punktene L 4 og L- 5 kan bli oppnådd analytisk. Det av de andre tre punktene L 1 til L 3 oppnås ved å løse en algebraisk ligning numerisk, eller muligens ved hjelp av en begrenset utvidelse . Plasseringen av disse tre punktene er gitt i tabellen nedenfor, i tilfelle hvor massen til en av de to kroppene (i dette tilfellet tallet 2 ) er ubetydelig foran den andre, plassert i en avstand R fra den forrige ... Posisjonene er gitt langs aksen som forbinder de to kroppene, hvis opprinnelse er identifisert i systemets tyngdepunkt , og hvis retning går fra kropp 1 til kropp 2 . Mengdene r 2 og q betegner henholdsvis legemets 2 posisjon på aksen og forholdet mellom massen til den lettere kroppen og den totale massen til de to legemene. Til slutt bruker vi mengden ε definert av ε  = ( q  / 3) 1/3 .

Punkt	Posisjon i forhold til systemets tyngdepunkt
L 1	r2+R(-ε+13ε2+19ε3+O(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ venstre (- \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ høyre)}
L 2	r2+R(ε+13ε2-19ε3+O(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ venstre (\ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ høyre)}
L 3	-R+R(-512q+112720736q3+O(q4)){\ displaystyle -R + R \ left (- {\ frac {5} {12}} q + {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ { 4}) \ høyre)}

I litteraturen finner vi noen ganger noe forskjellige uttrykk, på grunn av at aksens opprinnelse er tatt andre steder enn i tyngdepunktet, og at vi bruker et begrep i bunnen av den begrensede utviklingen forholdet mellom de to massene i stedet for forholdet mellom den mindre og den totale massen, dvs. noen ganger størrelsen q ' definert av . q′=m2M1=q1-q{\ displaystyle q '= {\ frac {m_ {2}} {M_ {1}}} = {\ frac {q} {1-q}}}

Beregningsdetaljer - Innledning Foreløp

Vi betegner ved M 1 og m 2 massen til de to kroppene, idet massen av den første antas å være større enn eller lik den for den andre. De to legemer er visstnok bane sirkulære, separasjonen vesen R . De to kroppene kretser rundt deres felles tyngdepunkt . Vi betegner med r 1 og r 2 de algebraiske avstandene til de to kroppene i forhold til en orientert akse fra kropp 1 til kropp 2 (det vil si at r 1 vil være negativ og r 2 positiv). Tyngdepunktet er definert av ligningen

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0},

med per definisjon av avstanden R ,

r2-r1=R{\ displaystyle r_ {2} -r_ {1} = R}.

Disse to ligningene har løsning

r1=-m2MR{\ displaystyle r_ {1} = - {\ frac {m_ {2}} {M}} R}, r2=M1MR{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {M_ {1}} {M}} R},

hvor vi betegner M  =  M 1  +  m 2 den totale massen til systemet.

De to kroppene kretser rundt hverandre i en vinkelhastighet ω , hvis verdi er gitt av Keplers tredje lov  :

ω2=GMR3{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {GM} {R ^ {3}}}},

G er gravitasjonskonstanten .

Hvis vi plasserer oss i den roterende rammen med de to kroppene, det vil si i vinkelhastigheten ω , vil et stasjonært legeme bli utsatt for sentrifugalkraften , i tillegg til gravitasjonskreftene til de to kroppene . Hvis vi betegner med r vektorradius i dette legeme, sentrifugalkraften pr masseenhet f c som den vil bli utsatt skrives

fvs.=rω2{\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} _ {\ rm {c}} = {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2}}.Grunnlegning

Definisjonen av et Lagrange-punkt er at summen av gravitasjons- og treghetskrefter forsvinner på disse punktene. Ved betegner r den radiusvektor fra punktet (e) det gjelder, vi har derfor

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+rω2=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2} = 0},

de dobbelte stolpene som indikerer at man tar normen for de betraktede vektorene. Vinkelhastigheten ω blir deretter erstattet av verdien som følge av Keplers tredje lov, som gir

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+GMrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {GM {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0},

at vi umiddelbart forenkler med gravitasjonskonstanten

-M1r-r1||r-r1||3-m2r-r2||r-r2||3+MrR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r} } - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {\ boldsymbol {r}} {R ^ {3}}} = 0}.

Det er oppløsningen i denne ligningen som gir de forskjellige punktene i Lagrange.

De to sakene å vurdere

Projeksjonen av denne ligningen vinkelrett på banen til banen, hvor den normale er gitt av en bemerket vektor gir umiddelbart z^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {z}}}}

r⋅z^=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {z}}} = 0},

noe som innebærer at settet med Lagrange-punkter ligger i bane-planet. Ligningen løses derfor i baneplanet. To saker skal vurderes:

• den der vi ser etter et punkt langs aksen dannet av de to kroppene,
• den der vi leter etter et punkt utenfor denne aksen.

Den andre saken viser seg å være den enkleste å studere.   Beregningsdetaljer - Punkt L 4 og L 5 Tilfelle av punkt L 4 og L 5

Det antas at radiusvektoren r ikke er parallell med aksen som går gjennom de to legemene. Vi projiserer derfor den grunnleggende ligningen vinkelrett på denne aksen, en retning som vi antar å være definert av en bemerket vektor . Per definisjon har vi denne retningen vinkelrett på aksen som forbinder de to kroppene y^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}}}

y^⋅r1=y^⋅r2=0.{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1} = {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ { 2} = 0.}.

Den grunnleggende ligningen blir derfor omskrevet

-M1y^⋅r||r-r1||3-m2y^⋅r||r-r2||3+My^⋅rR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r} } _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0}.

Vilkårene er forenklet, noe som gir y^⋅r{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}}

-M1||r-r1||3-m2||r-r2||3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {m_ { 2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0 }.

Vi definerer nå retningen som vinkelrett på r . Siden r ikke er collinear med r 1 og r 2 , er ikke mengdene null. Ved å projisere den grunnleggende ligningen langs s, får vi s^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}s^⋅r1,2{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1,2}}

M1s^⋅r1||r-r1||3+m2s^⋅r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

I følge Thales 'teorem er fremskrivningene av r 1 og r 2 langs i samme forhold som projeksjonene av disse vektorene langs aksen som forbinder de to legemene. Det følger at den forrige ligningen kan skrives om s^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}

M1r1||r-r1||3+m2r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {r_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2 } {\ frac {r_ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Barycenter av de to kroppene antyder, som tidligere sett, at

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0}.

Kombinasjonen av denne ligning, og det som går forut for således innebærer at de to avstander og er identiske, deres verdi skal bemerkes R ': ||r-r1||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}||r-r2||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}

||r-r1||=||r-r2||≡R′{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || \ equiv R '}.

Ved å injisere dette resultatet på projeksjonen langs r , kommer det da

-M1R′3-m2R′3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {R '^ {3}}} - {\ frac {m_ {2}} {R' ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0}.

Ved å multiplisere helheten med R ' 3 og huske at M er summen av de to massene, får vi endelig

M(R′3R3-1)=0{\ displaystyle M \ left ({\ frac {R '^ {3}} {R ^ {3}}} - 1 \ right) = 0},

som til slutt gir

||r-r1||=||r-r2||=R{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || = R},

det vil si at de søkte punktene danner en ensidig trekant med systemets to legemer. Disse trekantene er også inkludert i baneplanet, som gir to mulige punkter, betegnet som kunngjort L 4 og L 5 , og som er plassert på hver side av aksen som forbinder de to kroppene.

Ved hjelp av Pythagoras teorem , skrives avstanden D til disse to Lagrange-punktene fra systemets tyngdepunkt

D2=(-|r1|+R/2)2+(3R/2)2{\ displaystyle D ^ {2} = (- | r_ {1} | + R / 2) ^ {2} + ({\ sqrt {3}} R / 2) ^ {2}},

Som gir

D2=r12+14R2-R|r1|+34R2{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {4}} R ^ {2} -R | r_ {1} | + {\ frac {3} {4 }} R ^ {2}},

Som gir

D2=R2+r12-R|r1|{\ displaystyle D ^ {2} = R ^ {2} + r_ {1} ^ {2} -R | r_ {1} |}.

Ved å bruke det faktum at han kommer R=|r1|+r2{\ displaystyle R = | r_ {1} | + r_ {2}}

D2=r22+|r1|R=r12+r2R{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {2} ^ {2} + | r_ {1} | R = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} R}. Avstanden er derfor større enn avstandene til hver av de to kroppene fra tyngdepunktet til systemet. Disse Lagrange-punktene ligger derfor utenfor banen til den minst massive kroppen og er ikke strengt plassert på den, selv om dette nesten er tilfelle i grensen der massen av den letteste kroppen blir ubetydelig sammenlignet med den til hans ledsager.   Beregningsdetaljer - Punkt L 1 til L 3 Tilfelle av punktene L 1 til L 3

Hvis man vurderer Lagrange-punkter som ligger på aksen som forbinder de to kroppene, skal tre undertilfeller vurderes:

1. Tilfellet der punktene er mellom felt 1 og 2  ;
2. Tilfellet der punktet / punktene er overfor kroppen 2 i forhold til kroppen 1  ;
3. Tilfellet der punktene er overfor kroppen 1 med hensyn til kroppen 2 .

I disse tre tilfellene blir den grunnleggende ligningen omskrevet som følger:

• Tilfelle 1: projeksjonen av de to kreftene på aksen har motsatte tegn (projeksjonen av kraften som utøves av legeme 1 er negativ, den av kraften som utøves av kropp 2 er positiv), som gir -M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

med r1<r<r2{\ displaystyle r_ {1} <r <r_ {2}}.

• Tilfelle 2: projeksjonen av de to kreftene på aksen er negativ, noe som gir -M1(r-r1)2-m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} - {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

med r1<r2<r{\ displaystyle r_ {1} <r_ {2} <r}.

• Tilfelle 3: projeksjonen av de to kreftene på aksen er positiv, noe som gir M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

med r<r1<r2{\ displaystyle r <r_ {1} <r_ {2}}.

Hver av disse tre ligningene kan reduseres til en polynomligning av den femte graden, for hvilken det ikke er noen eksakt analytisk løsning, bortsett fra i spesielle tilfeller (som for eksempel to identiske masser).

Det unike med løsningene i hvert av de tre tilfellene er utledet fra det faktum at ligningen som skal løses på styrkebalansen stammer fra et potensielt U , gitt av

U=-M1||r-r1||-m2||r-r2||-12Mr2R3{\ displaystyle U = - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}} - {\ frac {m_ {2} } {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {Mr ^ {2}} {R ^ {3}}}}. Dette potensialet representerer poler i r 1 og r 2 , og tilsvarer summen av tre konkave termer utenfor disse verdiene og er derfor lokalt konkav. Den har derfor bare en lokal ekstremitet i hvert av domenene der den er definert, det vil si i hver av de tre tilfellene nevnt ovenfor.   Løsninger for L 1 til L 3 i tilfelle der forholdet mellom massene er lavt Redusert form og løsning i tilfelle masseforholdet er lavt

Når forholdet mellom m 2 og M 1 (eller mellom m 2 og M) er lavt, kan vi finne en omtrentlig løsning for posisjonen til hvert av punktene ved å utføre en begrenset utvidelse fra en omtrentlig løsning som er lett å finne. For å forenkle notasjonen, foretok vi en skalaendring for å uttrykke alle lengder i trinn på separasjon R og masseenhet av den totale masse M . Vi stiller slik

u=r/R{\ displaystyle u = r / R},

og

u1,2=r1,2/R{\ displaystyle u_ {1,2} = r_ {1,2} / R},

og vi definerer den lille parameteren q med

q≡m2/M{\ displaystyle q \ equiv m_ {2} / M},

som vi kan uttrykke

M1/M=1-q{\ displaystyle M_ {1} / M = 1-q}, u1=-q{\ displaystyle u_ {1} = - q}, u2=1-q{\ displaystyle u_ {2} = 1-q}.

I dette tilfellet har de tre ligningene som er skrevet ovenfor, den enklere formen

• Sak 1: -1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

med -q<u<1-q{\ displaystyle -q <u <1-q}.

• Tilfelle 2: projeksjonen av de to kreftene på aksen er negativ, noe som gir -1-q(u+q)2-q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

med 1-q<u{\ displaystyle 1-q <u}.

• Tilfelle 3: projeksjonen av de to kreftene på aksen er positiv, noe som gir 1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

med u<-q{\ displaystyle u <-q}.Punkt L 1

Når massen av kropp 2 er ubetydelig, er dens tiltrekning ubetydelig med mindre testpartikkelen er veldig nær. Men da tiltrekningen av legemet 2 er neglisjerbar, balansen mellom tiltrekningen av legemet 1 er og sentrifugalkraften, slik at avstanden av balansepunktet er i størrelsesorden R . Når likevektspunktet er plassert overfor kroppen 2 , er vi tilfellet med Lagrange-punktet  L 3 , som derfor omtrent ligger overfor kroppen 2 sammenlignet med kroppen 1 . Ellers vil vi derfor anta at likevektspunktet er ganske nær kropp 2 (og derfor igjen ligger i avstanden R fra kropp 1 ), men likevel langt nok unna til at tiltrekningen av kropp 2 som utøves på testpartikkelen forblir liten sammenlignet med kropp 1 . Vi stiller derfor fra den reduserte formen

u=u2+ε′=1-q+ε{\ displaystyle u = u_ {2} + \ varepsilon '= 1-q + \ varepsilon},

hvor her ε ' er en liten og negativ størrelse (vi antar her at punktet er mellom de to feltene). Den reduserte ligningen blir deretter til

-1-q(1+ε′)2+qε′2+1-q+ε′=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon ') ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

Vi gjennomfører en utvikling begrenset til første rekkefølge av attraksjonen produsert av kroppen 1  :

-(1-q)(1-2ε′)+qε′2+1-q+ε′=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon ') + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

Begrepene i 1 -  q er forenklet, og det forblir

(3-2q)ε′+qε′2=0{\ displaystyle (3-2q) \ varepsilon '+ {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} = 0}.

Fortsatt å holde bare de laveste ordrebetingelsene i q , kommer det

ε′=-(q3)13{\ displaystyle \ varepsilon '= - \ left ({\ frac {q} {3}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}.

Deretter kan vi fortsette beregningen, utvikle punktavviket på kroppen 2 i krefter av ε ' . Vi stiller slik

u=1-q+ε′+xε′2+O(ε′3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {3})}.

Den reduserte grunnlegningen gir da

-1-q(1+ε′+xε′2)2+q(ε′+xε′2)2+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(\ varepsilon '+ x \ varepsilon '^ {2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon' + x \ varepsilon '^ {2} = 0}.

Vi kan faktorisere det andre begrepet med q  /  ε ' 2 , som vi kan erstatte med verdien, det vil si -3  ε' . Vi får da

-(1-q)(1+ε′+xε′2)-2-3ε′(1+xε′)-2+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {- 2} -3 \ varepsilon '(1 + x \ varepsilon') ^ {- 2} +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0}.

Vi utfører deretter en begrenset utvidelse av de to første begrepene, i andre rekkefølge for den første og i første rekkefølge for den følgende, som gir

-(1-q)(1-2ε′-2xε′2+3ε′2)-3ε′(1-2xε′)+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon '-2x \ varepsilon' ^ {2} +3 \ varepsilon '^ {2}) - 3 \ varepsilon' (1-2x \ varepsilon ') +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0},

hvorfra vi utleder at x er verdt en tredjedel, noe som gir

u=1-q+ε′+13ε′2+O(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Utviklingen kan deretter fortsette etter samme prosedyre. I neste rekkefølge har vi altså

u=1-q+ε′+13ε′2-19ε′3+O(ε′4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon '^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {4})}.Punkt L 2

Tilfellet med punkt L 2 løses nøyaktig som i forrige avsnitt, bortsett fra at tegnet på den andre termen til den grunnleggende ligningen er negativt. Så vi spør

u=1-q+ε{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon},

ε å være denne gangen antatt å være liten og positiv, og det har vi altså

-1-q(1+ε)2-qε2+1-q+ε=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon) ^ {2}}} - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0 }.

Den laveste ordreoppløsningen gir

-(1-q)(1-2ε)-qε2+1-q+ε=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon) - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0},

som etter kansellering av vilkårene gir

3ε=qε2{\ displaystyle 3 \ varepsilon = {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}}},

det er

ε=(q3)13=-ε′{\ displaystyle \ varepsilon = \ left ({\ frac {q} {3}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} = - \ varepsilon '}.

Dette tilsvarer nærmeste skilt til samme resultat som før. Videreutvikling av løsningen gjøres som før. Vi starter fra

u=1-q+ε+xε2{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}},

og vi injiserer dette resultatet i den grunnleggende ligningen

-1-q(1+ε+xε2)2-q(ε+xε2)2+1-q+ε+xε2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(\ varepsilon + x \ varepsilon ^ { 2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0}.

Som før transformerer vi dette uttrykket i henhold til

-(1-q)(1-2ε-2xε2+3ε2)-3ε(1-2xε)+1-q+ε+xε2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon -2x \ varepsilon ^ {2} +3 \ varepsilon ^ {2}) - 3 \ varepsilon (1-2x \ varepsilon) + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0},

hva vi løser i

x=13{\ displaystyle x = {\ frac {1} {3}}},

det er

u=1-q+ε+13ε2+O(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Dette uttrykket er identisk med det for det første Lagrange-punktet ved å erstatte ε ' med ε , men disse to punktene er asymmetriske: som tegnet på ε , ε' skifter mellom punkt L 1 og punkt L 2 , korreksjon av andre orden, alltid positiv , tilnærmer punktet L 1 til kroppen 2 mens det holder punktet L 2  : de to punktene er ikke like langt fra kroppen 2 . For jorda er masseforholdet 1 ⁄ 300 000 , og ε er i størrelsesorden 0,01, som plasserer de to punktene i forhold til jorden i en avstand på omtrent en hundredel av avstanden jord-sol, eller innen 1500 000  kilometer . Andreordens ordet er i størrelsesorden en tretti tusen av jord-sol-avstanden, dvs. innen 5.000  km . Punkt L 1 er derfor omtrent 10 000  km nærmere Jorden enn L 2 er .

Til slutt kan vi fortsette utviklingen til høyere orden, som gir alle beregninger gjort

u=1-q+ε+13ε2-19ε3+O(ε4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal { O}} (\ varepsilon ^ {4})}.Punkt L 3

I tilfelle 3, som vil tilsvare punkt L 3 , skrives den grunnleggende ligningen

1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Ettersom poenget antas å være utenfor kropp 1 med hensyn til kropp 2 , er det nærmere den mest massive kroppen, hvis tiltrekning vil være overvektig i forhold til den andre kroppen. I den situasjonen vi er i, har det søkte punktet derfor sin posisjon tilnærmet med

1-q(u+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Den omtrentlige løsningen på denne ligningen er selvfølgelig

u≃-1{\ displaystyle u \ simeq -1}.

For å finne avvikene fra denne verdien skriver vi i den grunnleggende ligningen

u=-1+v{\ displaystyle u = -1 + v},

og vi løser ligningen ved å ta hensyn til de første begrepene i q . Vi oppnår dermed

1-q(-1+v+q)2+q(-1-1+v+q)2-1+v=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} -1 + v = 0}.

Mengdene og q er små foran R , den første termen er skrevet v{\ displaystyle v}

1-q(-1+v+q)2=(1-q)(1-v-q)-2≃(1-q)+2(v+q){\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} = (1-q) (1-vq) ^ {- 2} \ simeq (1-q) + 2 (v + q)}.

Det andre begrepet er ubetydelig sammenlignet med det foregående (det er proporsjonalt med q ), det kan tilnærmes i

q(-1-1+v+q)2≃q4{\ displaystyle {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} \ simeq {\ frac {q} {4}}}.

Ved å kombinere alle disse vilkårene får vi

1-q+2(v+q)+q4-1+v=0{\ displaystyle 1-q + 2 (v + q) + {\ frac {q} {4}} - 1 + v = 0},

Som gir

54q+3v=0{\ displaystyle {\ frac {5} {4}} q + 3v = 0},

det er å si

v=-512m2M+O(m22M2){\ displaystyle v = - {\ frac {5} {12}} {\ frac {m_ {2}} {M}} + {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {m_ {2} ^ { 2}} {M ^ {2}}} \ høyre)}.

Man kan uten problemer fortsette denne beregningen ved å stille nå

u=-1-512q+w{\ displaystyle u = -1 - {\ frac {5} {12}} q + w},

w{\ displaystyle w}er denne gangen proporsjonal med q 2 . Den grunnleggende ligningen blir da

1-q(-1-512q+w+q)2+q(-1-1-512q+w+q)2-1-512q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ left (-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ right) ^ {2}}} + {\ frac {q} { \ left (-1-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ right) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = 0},

det er å si

1-q(1-712q-w)2+q(2-712q-w)2-1-512q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ left (1 - {\ frac {7} {12}} qw \ right) ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ left (2- {\ frac {7} {12}} qw \ right) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​0}.

Ved å utvide dette uttrykket til andre rekkefølge i q , finner vi

w=0+O(q3){\ displaystyle w = 0 + {\ mathcal {O}} (q ^ {3})},

det vil si at det er på det meste i q 3 . Ved å gjøre om beregningen i denne sammenhengen, finner vi endelig w{\ displaystyle w}

w=112720736q3+O(q4){\ displaystyle w = {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ {4})}. Det er sjelden nyttig å ta beregningen så langt: i en Sun-Planet-konfigurasjon er den siste korrigerende termen i beste fall i størrelsesorden 10 -9 , siden det største planet-sol-masseforholdet, i tilfelle Jupiter, er av rekkefølgen på en tusendel. Begrepet q 3 er derfor for Jupiter i størrelsesorden en milliarddel, som, gitt størrelsen på bane, tilsvarer en korreksjon på omtrent femti meter, gitt at faktorfraksjonen av q 3 er i størrelsesorden tyvende . For Earth-Sun-systemet (avstand på rundt 150 millioner kilometer, masseforhold på rundt 1 ⁄ 300 000 ), er den siste korreksjonen en brøkdel av en mikron.  

Stabilitet

Ovennevnte beregning indikerer ikke noe hvis Lagrange-poengene er stabile. Stabiliteten eller ikke av disse punktene er dessuten ikke veldig intuitiv. I referanserammen som roterer med de to legemene, kan en testpartikkel bli sett på som utsatt for et potensial inkludert gravitasjonskompetansen og sentrifugalkraften. Dette potensialet, bemerket Ω, er skrevet som

Ω=-GM1|r-r1|-Gm2|r-r2|-12|r|2ω2{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} - {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |}} - {\ frac {1} {2}} | {\ boldsymbol {r}} | ^ {2} \ omega ^ {2}}.

Alle vilkårene for dette potensialet er negative og avtar når man beveger seg bort fra massene (for de to første begrepene) eller fra tyngdepunktet til systemet (for det tredje). Vi kan dermed vise at Lagrange-punktene L 4 og L 5 er lokale maksimum for potensialet Ω (se nedenfor) og at de andre tre punktene er sadelpunkter . Vanligvis er en likevektsposisjon (bestemt av kanselleringen av potensialets derivater) bare stabil hvis man befinner seg i lokale potensialminima. Men gitt at vi befinner oss i en roterende referanseramme, er referanserammen ikke-treghet . En gjenstand som beveger seg i denne referanserammen, for eksempel i nærheten av en likevektsposisjon, vil bli utsatt for Coriolis-kraften , og dens bevegelse avhenger ikke bare av potensialets form. For å studere stabiliteten til Lagrange-poeng, er det derfor nødvendig å ta hensyn til Coriolis-styrken.

For å beregne stabiliteten til Lagrange-punktene, er det derfor nødvendig å studere bevegelsesligningen til et objekt som ligger i nærheten av et av disse punktene. Ved å merke δR vektoren til koordinatene δX og δY som gir avviket til et slikt objekt på et av Lagrange-punktene (som man antar begrenset til baneplanet), skrives bevegelsesligningen

δR¨=-2ω∧δR˙+δf{\ displaystyle {\ ddot {\ boldsymbol {\ delta R}}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge {\ dot {\ boldsymbol {\ delta R}}} + {\ boldsymbol {\ delta f }}},

hvor δf representerer kraften per masseenhet som utøves på objektet. Denne kraften er liten på grunn av det faktum at ved Lagrange-punktet er kraften (som består av en gravitasjonskomponent og sentrifugalkraften) null, og at man plasserer seg nær et slikt punkt. Denne kraften kan beregnes ut fra en begrenset utvikling. For eksempel, for komponenten X , har vi

δfX=fX(0)+∂fX∂XδX+∂fX∂YδY{\ displaystyle \ delta f_ {X} = f_ {X} (0) + {\ frac {\ partial f_ {X}} {\ partial X}} \ delta X + {\ frac {\ partial f_ {X}} {\ delvis Y}} \ delta Y}.

Den første termen tilsvarer kraften som utøves ved Lagrange-punktet, kraft som er null ved konstruksjon. I tillegg kan kraften som kommer fra et potensial, uttrykke derivatene av kraften i form av andre derivater av potensialet:

δfX=-∂2Ω∂X2δX-∂2Ω∂X∂YδY{\ displaystyle \ delta f_ {X} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega } {\ delvis X \ delvis Y}} \ delta Y}.

Vi kan dermed uttrykke bevegelsesligningen når det gjelder komponentene i henhold til

δX¨=2ωδY˙-∂2Ω∂X2δX-∂2Ω∂X∂YδY{\ displaystyle {\ ddot {\ delta X}} = 2 \ omega {\ dot {\ delta Y}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial X \ partial Y}} \ delta Y}, δY¨=-2ωδX˙-∂2Ω∂X∂YδX-∂2Ω∂Y2δY{\ displaystyle {\ ddot {\ delta Y}} = - 2 \ omega {\ dot {\ delta X}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial X \ partial Y}} \ delta X - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Omega} {\ partial Y ^ {2}}} \ delta Y}.

Denne ligningsgruppen kan settes i form av et system med fire førsteordens differensiallikninger :

∂∂t(δXδYδX˙δY˙)=(00100001-Ω,xx-Ω,xy02ω-Ω,xy-Ω,yy-2ω0)(δXδYδX˙δY˙){\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ { \ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy} & 0 & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {, yy} & - 2 \ omega & 0 \ end { array}} \ høyre) \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ høyre)},

der delderivatene av potensialet Ω er notert som en indeks foran et komma (for eksempel tilsvarer Ω , xx ). ∂2Ω/∂x2{\ displaystyle \ partial ^ {2} \ Omega / \ partial x ^ {2}}

Stabiliteten til det vurderte Lagrange-punktet oppnås ved å se etter løsningene i denne ligningen. For å gjøre dette, er det tilstrekkelig å finne løsninger av den eksponentielle typen , i . Vi vil derfor fortsette til diagonalisering av matrisen ovenfor, som vil bli betegnet A . De egenverdiene som blir funnet, tilsvare de mengdene y ovenfor, avvik fra likevektsposisjonen og deretter blir en viss kombinasjon av høyst fire eksponenter. Systemets stabilitet er sikret av det faktum at eksponensialene ikke øker over tid, det vil si at mengdene either enten er negative eller komplekse med negative reelle deler . Det er faktisk ikke nødvendig å diagonalisere matrisen fullstendig, det er nok å finne egenverdiene, det vil si løsningene til ligningen eΓt{\ displaystyle e ^ {\ Gamma t}}

det(TIL-λJeg)=0{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0}.

Denne determinanten er skrevet

|-λ0100-λ01-Ω,xx-Ω,xy,-λ2ω-Ω,xy-Ωyy-2ω-λ|{\ displaystyle \ left | {\ begin {array} {cccc} - \ lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \ lambda & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy}, & - \ lambda & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {yy} & - 2 \ omega & - \ lambda \ end {array}} \ right |},

og det er verdt

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, åå} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}.

Denne ligningen kan reduseres til en andreordens polynomligning i λ 2 . Løsningene til startligningen er derfor to par motstridende tall to og to. For at to motsatte tall skal være negative eller null eller så ha en negativ eller null reell del, må de nødvendigvis være rene imaginære tall, slik at løsningene til ligningen i λ 2 blir reelle og negative. For at disse løsningene skal være reelle, må diskriminanten derfor være positiv, eller her

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2)>0{\ displaystyle (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, åå} +4 \ omega ^ {2}) ^ {2} -4 (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, åå} - \ Omega _ {, xy} ^ {2})> 0}.

Når dette er oppnådd, må de to virkelige løsningene være negative, noe som innebærer at summen deres samtidig er negativ og deres produkt positive, noe som tilsier

Ω,xx+Ω,yy+4ω2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, åå} +4 \ omega ^ {2}> 0}, Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}> 0}.

Stabiliteten til et Lagrange-punkt utsettes for realiseringen av disse tre begrensningene. Blant disse begrensningene har den siste en enkel tolkning: tegnet på mengden avgjør om posisjonen som er vurdert er en lokal ekstrem eller et sadelpunkt. I dette tilfellet innebærer positiviteten til denne mengden at den må være en lokal ekstremum, en nødvendig tilstand, men ikke tilstrekkelig for stabiliteten til Lagrange-punktet. Når denne mengden er negativ, har vi et sadelpunkt og Lagrange-punktet er ustabilt. På den annen side, mer overraskende, kan et Lagrange-punkt være stabilt hvis det tilsvarer et lokalt maksimum av potensialet, det vil si at Ω , xx  + Ω , yy kan være negativ, forutsatt at denne størrelsen ikke overstiger kritisk verdi på -4  ω 2 . I praksis er dette det som i visse tilfeller forekommer for Lagrange-punktene L 4 og L 5 . Den fysiske tolkningen av denne situasjonen er at stabilitet da blir gitt av Coriolis-styrken. En gjenstand som er litt forskjøvet fra et slikt punkt, vil i utgangspunktet bevege seg radialt, før den ser banen bøyd av Coriolis-styrken. Hvis potensialet overalt synker rundt punktet, er det mulig at Coriolis-kraften tvinger objektet til å dreie seg rundt Lagrange-punktet, som skyene i en depresjon som ikke peker mot depresjonens kjerne, men blir tvunget til en sirkelsti rundt den. Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}

Videre beregning Innledende

For å studere stabiliteten til Lagrange-poengene, må man beregne de påfølgende derivatene av potensialet. Dette potensialet innebærer avstand | r  -  r 1 |. Det er derfor nødvendig å kjenne til derivatene av de forskjellige kreftene til en slik mengde. I kartesiske koordinater skrives denne mengden

|r-r1|=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}}.

Dens derivat med hensyn til en av koordinatene x , y , z , samlet notert x i er derfor skrevet

∂Jeg|r-r1|=122(xJeg-x1Jeg)(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2=xJeg-x1Jeg|r-r1|{\ displaystyle \ partial _ {i} | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ frac {1} {2}} {\ frac {2 (x_ {i } -x_ {1 \; i})} {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}} = {\ frac {x_ {i} -x_ {1 \; i}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}}}.

Derivatet av hvilken som helst kraft p av denne mengden er derfor

∂Jeg(|r-r1|s)=s(xJeg-x1Jeg)|r-r1|s-2{\ displaystyle \ partial _ {i} (| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p}) = p (x_ {i} -x_ {1 \; i }) | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p-2}}.

Ved å tilpasse dette resultatet til de andre derivatene av mengdene som griper inn i potensialet, har vi

∂Jegj(1|r-r1|)=-δJegj|r-r1|3+3(xJeg-x1Jeg)(xj-x1j)|r-r1|5{\ displaystyle \ partial _ {ij} \ left ({\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} \ right) = - {\ frac {\ delta _ {ij}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ { 1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j})} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}}},

som for det fulle potensialet gir

∂JegjΩ=δJegjGM1|r-r1|3-3(xJeg-x1Jeg)(xj-x1j)GM1|r-r1|5+δJegjGm2|r-r2|3-3(xJeg-x2Jeg)(xj-x2j)Gm2|r-r2|5-ω2δJegj{\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ delta _ {ij} {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j}) GM_ {1}} {| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}} + \ delta _ {ij} {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ fettsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {2 \; i}) (x_ {j} -x_ {2 \; j}) Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {5}}} - \ omega ^ {2} \ delta _ {ij}},

hvor δ ij representerer Kronecker-symbolet . Det er verdien av disse delderivatene som det er nødvendig å beregne for å bestemme stabiliteten til de forskjellige punktene i Lagrange. Det er for Lagrange-punktene L 4 og L 5 at denne beregningen er den enkleste.

Sag av Lagrange-punktene L 4 og L 5

Disse punktene er preget av det faktum at deres avstand fra de to kroppene er identisk og lik R  :

|r-r1|=|r-r2|=R{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | = R}.

I tillegg kan man bruke den tredje loven til Kepler til å overføre mengder av typen G M  /  R 3 til ω , og man vet de nøyaktige koordinatene til punktene i Lagrange. Ved å evaluere derivatene av potensialet ved Lagrange-punktene L 4 eller L 5 , har vi

xJeg-x1Jeg=(12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {1 \; i} = \ left ({\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ right )},

og

xJeg-x2Jeg=(-12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {2 \; i} = \ left (- {\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ Ikke sant)},

skiltet + søker om L 5 og skiltet - for L 4 . Til slutt har ønsket matrise for komponenter

∂JegjΩ=ω2(-34∓334(1-2q)∓334(1-2q)-94){\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ omega ^ {2} \ left ({\ begin {array} {cc} - {\ frac {3} {4}} & \ mp {\ frac {3 { \ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) \\\ mp {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) & - {\ frac {9} {4}} \ end {array}} \ right)}.

Det avgjørende for denne matrisen er

det(∂JegjΩ)=Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2=2716(1-(1-2q)2)ω2=274ω2q(1-q){\ displaystyle \ det (\ partial _ {ij} \ Omega) = \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = {\ frac {27} { 16}} \ left (1- (1-2q) ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {27} {4}} \ omega ^ {2} q (1-q)},

som alltid er positivt siden q er begrenset mellom 0 og 1. Denne første stabilitetsbetingelsen er etablert. Den andre stabilitetsbetingelsen er skrevet

Ω,xx+Ω,yy+4ω2=ω2(-34-94+4)=+ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} = \ omega ^ {2} \ left (- {\ frac {3} {4}} - {\ frac {9} {4}} + 4 \ right) = + \ omega ^ {2}},

mengde igjen positiv. Til slutt gir diskriminanten

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2)=ω2(1-27q(1-q))=ω2(27q2-27q+1){\ displaystyle \ left (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} \ right) ^ {2} -4 \ left (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} \ right) = \ omega ^ {2} \ left (1-27q (1-q) \ right) = \ omega ^ {2} (27q ^ {2} -27q + 1)}.

Stabiliteten i tykktarmen bestemmes til slutt av mengdenes positivitet . Nullene q a , q b til dette polynomet er gitt av den vanlige formelen, som her indikerer 27q2-27q+1{\ displaystyle 27q ^ {2} -27q + 1}

qTil,b=12±122327{\ displaystyle q_ {a, b} = {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}}.

Dette polynomet har altså negative verdier over området . Dermed sikres stabiliteten til disse to Lagrange-punktene bare hvis den minste massen ikke overstiger 3,852% av den totale massen, eller på en tilsvarende måte at forholdet mellom de to massene ikke overstiger 4,006%. q∈]12-122327,12+122327[≃]0,03852,0,96148[{\ displaystyle q \ in \ left] {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}, {\ frac {1 } {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}} \ right [\ simeq] 0, \! 03852,0, \! 96148 [}

Denne tilstanden er bekreftet for alle konfigurasjoner av Sun-Planet-typen (der q ikke overstiger omtrent en tusendel for Jupiter), eller for Earth-Moon-systemet (der q er i størrelsesorden 1/80, dvs. 1, 25%).

Sag av Lagrange peker L 1 til L 3

De tre Lagrange-punktene L 1 til L 3 er plassert på aksen som forbinder de to kroppene. I formelen som gir de andre derivatene, er størrelsene y i  -  y 1 i null, mens deres analoger i x er identifisert med avstandene mellom et av legemene og Lagrange-punktet. Følgelig skrives matrisen til andre derivater

∂JegjΩ=(-2GM1|r-r1|3-2Gm2|r-r2|3-ω200GM1|r-r1|3+Gm2|r-r2|3-ω2){\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ left ({\ begin {array} {cc} -2 {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} - 2 {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3} }} - \ omega ^ {2} & 0 \\ 0 & {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3} }} + {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - \ omega ^ {2} \ end { array}} \ høyre)}.

Begrepet Ω , xx er tydelig negativt. Tegnet på matrixens determinant bestemmes av Ω , yy  : hvis sistnevnte er positivt, er Lagrange-punktet et sadelpunkt og det er ustabilt. Vi kan omskrive dette begrepet ved hjelp av Keplers tredje lov:

Ω,yy=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3 }}} - 1 \ høyre)}. Saken til L 1

Lagrange-punktet  L 1 ligger mellom de to kroppene. Dens avstand til dem, | r  -  r 1 | og | r  -  r 2 | derfor, hver gang strengt mindre enn R . Det har vi altså

Ω,yy|DE1=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1)>ω2((1-q)+q-1)=0{\ displaystyle \ left. \ Omega _ {, yy} \ right | _ {L_ {1}} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ fet symbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 1 \ høyre)> \ omega ^ {2} \ venstre ((1-q) + q-1 \ høyre) = 0}.

Denne mengden er derfor strengt positiv, noe som sikrer at determinanten er negativ, det vil si at L 1 er et sadelpunkt, noe som gjør det til et ustabilt punkt.

Saken til L 2 og L 3

Vi stiller for å forenkle notasjonene,

u1=|r-r1|R{\ displaystyle u_ {1} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |} {R}}}, u2=|r-r2|R{\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |} {R}}}.

Vi er derfor interessert i kvantitetstegnet

Ω,yyω2=(1-q)1u13+q1u23-1{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} + q { \ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1},

det er

Ω,yyω2=(1-q)(1u13-1)+q(1u23-1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} -1 \ høyre) + q \ venstre ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1 \ høyre)},

å vite at u 1 og u 2 er koblet til hverandre ved at forskjellen er lik 1 og at de definerer et Lagrange-punkt, dvs. forholdet

-(1-q)1u12-q1u22+|r|R=0{\ displaystyle - (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - q {\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} + {\ frac { | {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = 0}.

Avstanden fra Lagrange-punktet til systemets tyngdepunkt kan skrives, for punktet L 2 ,

|r|R=u2+(1-q)=u1-q{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = u_ {2} + (1-q) = u_ {1} -q},

relasjoner som kan kombineres til

|r|R=qu2+(1-q)u1{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = qu_ {2} + (1-q) u_ {1}}.

Posisjonen til punkt L 2 er derfor gitt av

-(1-q)(1u12-u1)-q(1u22-u2)=0{\ displaystyle - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ right) = 0}.

Vi spør da

TIL=(1-q)(1u12-u1){\ displaystyle A = (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right)}, B=q(1u22-u2){\ displaystyle B = q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ right)}.

Så det har vi på den ene siden

TIL+B=0{\ displaystyle A + B = 0},

Og på den annen side

Ω,yyω2=TILu1+Bu2{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {2} }}}.

Med andre ord,

Ω,yyω2=TILu1+Bu1+B(1u2-1u1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {1} }} + B \ venstre ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ høyre)}.

Den første termen på høyre side er null i kraft av forholdet A  +  B  = 0. Den forblir derfor

Ω,yyω2=B(1u2-1u1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = B \ venstre ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} { u_ {1}}} \ høyre)}.

For punkt L 2 er vi imidlertid nærmere kropp 2 enn kropp 1 . Derfor er u 2 mindre enn u 1 , og er derfor positiv. Tegnet på det andre derivatet tilsvarer derfor det til B , som i seg selv bestemmes av verdien av u 2  : hvis denne størrelsen er større enn 1, er B negativ, mens ellers B er positiv, noe som innebærer at poenget er ustabil. Lagrange-punktet L 2 ligger utenfor kroppen 2 . Den totale kraften (gravitasjon pluss sentrifugal) som utøves i dette området, blir først dreid mot kroppen 2 når en er nær denne, blir deretter kansellert i L 2 og blir deretter rettet motsatt L 2 . På det punktet slik at u 2 er lik 1, blir komponenten av denne kraften, langs aksen som forbinder de to legemene, gitt (opp til en positiv multiplikasjonskonstant) av (1u2-1u1){\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ høyre)} 

δf∝-(1-q)(1u12-u1)-q(1u22-u2){\ displaystyle \ delta f \ propto - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ høyre)},

med, her,

u2=1{\ displaystyle u_ {2} = 1}, u1=2{\ displaystyle u_ {1} = 2},

det er

δf|u2=1∝74(1-q){\ displaystyle \ left. \ delta f \ right | _ {u_ {2} = 1} \ propto {\ frac {7} {4}} (1-q)}. Denne størrelsen er strengt positiv, punktet u 2  = 1 på aksen ligger utenfor punktet L 2 . Følgelig, ved punktet L 2 , u 2 er mindre enn 1, er derfor B er positiv, således at punktet er faktisk et sadelpunkt, noe som sikrer dens ustabilitet. En strengt analog demonstrasjon kan gjøres for punkt L 3 , som fullfører demonstrasjonen av ustabilitet på grunn av deres sadelpunktkarakter.  

Karakteristiske tider i L 1 og L 2 for systemer med stor masse heterogenitet

En av de viktigste anvendelsene av ustabiliteten til Lagrange-punktene, L 1 og L 2 , er at kunstige satellitter kan sendes til disse punktene i Earth-Sun-systemet (se nedenfor). For slike satellitter må regelmessige kurskorrigeringer brukes for å holde satellitten i nærheten av punktet. Denne karakteristiske tiden kan evalueres i tilfelle der masseforholdet til de to kroppene i systemet er høyt. I dette tilfellet er den karakteristiske ustabilitetstiden γ -1 gitt av

1γ=T2π1+27{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}},

hvor T er omløpsperioden i systemet. I tilfelle av Earth-Sun-systemet, der T er litt større enn 365 dager, er den karakteristiske tiden for ustabilitet da 23 dager og 4 timer.

I tillegg oppstår den stabile komponenten av banen ved pulsasjonen

ωTrTilj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

eller på en tilsvarende måte med perioden

TTrTilj=T27-1{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}}},

som i samme tilfelle som ovenfor gir en periode på 176 dager.

Demonstrasjon

Ligningen som gir systemets egenverdier er alltid

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, åå} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = 0},

med, for punktene L 1 og L 2 ,

Ω,xy=0{\ displaystyle \ Omega _ {, xy} = 0}, Ω,xx=-2Ω,yy-3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 2 \ Omega _ {, åå} -3 \ omega ^ {2}}, Ω,yy=ω2(qu23+1-qu13-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ({\ frac {q} {u_ {2} ^ {3}}} + {\ frac {1-q} {u_ {1 } ^ {3}}} - 1 \ høyre)}.

å begrense oss til de laveste ordrebetingelsene i q , u 1 er 1, og u 2 bestemmes av forholdet gitt av den første tabellen på denne siden. Det har vi altså

Ω,yy=ω2(3+1-1)=3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left (3 + 1-1 \ right) = 3 \ omega ^ {2}}, Ω,xx=-9ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 9 \ omega ^ {2}}.

Polynomligningen blir da

λ4-2ω2λ2-27ω4=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} -2 \ omega ^ {2} \ lambda ^ {2} -27 \ omega ^ {4} = 0},

hvis løsninger er

λ±2=(1±27)ω2{\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} ^ {2} = \ left (1 \ pm 2 {\ sqrt {7}} \ right) \ omega ^ {2}}.

Den positive løsningen på denne ligningen indikerer at avvikene i likevektspunktet vokser eksponentielt over tid i henhold til forholdet

δX∝eλ+t{\ displaystyle \ delta X \ propto e ^ {\ lambda _ {+} t}},

med

λ+=ω1+27=2πT1+27{\ displaystyle \ lambda _ {+} = \ omega {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}} = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}.

Den tilhørende karakteristiske tiden er derfor

1γ=1λ+=T2π1+27≃0,0635T{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {+}}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}} \ simeq 0, \! 0635 \; T},

eller, som kunngjort, en karakteristisk tid i størrelsesorden 23 dager for Lagrange-punktene på jorden.

På samme måte eksisterer det periodiske baner hvis pulsasjon er gitt av ligningens komplekse røtter, det vil si

ωTrTilj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

det vil si en periode på

TTrTilj=T27-1≃0,4827T{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}} \ simeq 0, \! 4827 \; T}, som tilsvarer en tid på nesten seks måneder for Lagrange-punktene på jorden.  

Banenes struktur i nærvær av ustabilitet

Når egenverdiene til et ustabilt punkt er kjent, vil en bane i nærheten av et Lagrange-punkt være en lineær kombinasjon av egenvektorene som er knyttet til egenverdiene. Ved å merke λ i en av disse egenverdiene, har den tilknyttede egenvektoren som komponenter

VJeg=(1μJegλJegλJegμJeg){\ displaystyle V_ {i} = \ left ({\ begin {array} {c} 1 \\\ mu _ {i} \\\ lambda _ {i} \\\ lambda _ {i} \ mu _ {i } \ end {array}} \ right)},

med

μJeg=-12ω(Ω,xxλ+λ){\ displaystyle \ mu _ {i} = - {\ frac {1} {2 \ omega}} \ left ({\ frac {\ Omega _ {, xx}} {\ lambda}} + \ lambda \ right)},

og en bane er av formen

(δXδYδX˙δY˙)=∑JegαJegVJeg{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {array} } \ right) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} V_ {i}},

hvor mengdene er noen tall bestemt av verdien av δX , δY og deres derivat på et gitt tidspunkt. Når det gjelder de tre ustabile Lagrange-punktene, er determinanten for den andre derivatmatrisen negativ, noe som innebærer at diskriminanten av den kvadratiske ligningen i λ 2 har reelle røtter av motsatte tegn, og at på slutten av egenverdier som er søkt er to motsatte rene imaginære tall og to motsatte reelle tall. En generisk bane omfatter derfor i baneplanet en periodisk komponent (knyttet til de rene imaginære røttene), en dempet komponent (knyttet til den virkelige positive roten) og en ustabil komponent. For en gitt posisjon δX , δY er det alltid mulig å velge en hastighet slik at de to egenvektorene ved de virkelige røttene ikke bidrar til den tilsvarende løsningen. Den oppnådde banen er deretter periodisk, perioden blir gitt av den komplekse roten. En slik løsning er imidlertid ikke stabil. Et lite avvik fra banen vil faktisk legge til en ustabil komponent i banen, som gradvis vil flytte banen bort fra den periodiske komponenten. Vi sier at den oppnådde banen ikke er dynamisk stabil. Dette er en generalisering av det faktum at et objekt som ligger nøyaktig på et ustabilt Lagrange-punkt, er i en ustabil situasjon: et lite avvik fra denne likevektsposisjonen, uunngåelig generert av forstyrrelser forårsaket av de andre kroppene i systemet, vil ende opp med å bevege seg bort objektet til utgangsposisjonen. Det samme skjer for baner rundt punktet med ustabil likevekt. αJeg{\ displaystyle \ alpha _ {i}}

Konseptets relevans

Ovennevnte beregning refererer til en konfigurasjon der de to kroppene i systemet er i en sirkulær bane. Likevel er begrepet Lagrange-punkt gyldig for alle typer bane, inkludert elliptisk. Vi kan derfor definere disse punktene i ethvert system med to gravitasjonskoblede kropper. På den annen side avhenger banene, stabile eller ustabile, rundt de forskjellige Lagrange-punktene eksplisitt av sirkulæriteten eller ikke av banen til de to kroppene i systemet.

Bruk i romoppdrag

Den matematiske studien av Lagrange-punkter, så vel som deres matematiske egenskaper, som de tilknyttede invariante manifoldene, har blitt utnyttet til å utforme romfartoppdrag i solsystemet. For oppdrag som Rosetta , Voyager eller Galileo er den relative hastigheten til sonden sammenlignet med de ansett kroppene høy nok til tilnærming, med tanke på at de Keplerian-banene bare blir litt forstyrret av de andre kroppene innenfor innflytelsessfæren, være gyldige. Så snart vi vurderer lave hastigheter og lave trykk, er det imidlertid nødvendig med en finere tilnærming. Teoremet Liapounov-Poincaré forsikrer oss om eksistensen av en familie med periodiske baner rundt disse likevektspunktene. De periodiske plane banene kalles da Liapunov- baner , mens de i 3D-tilfelle kalles i henhold til deres topologiske egenskaper, enten Halo-baner eller Lissajous-baner. Det kan bemerkes at denne typen periodisk bane rundt Lagrange-punkter allerede har blitt brukt i konstruksjonen av virkelige oppdrag som SoHO- oppdraget .

Fra disse periodiske banene rundt Lagrange-punktene kommer uendelige manifolder ( Conley-McGee-rør ) som er separatorer av dynamikken, og som i denne forstand kan betraktes som gravitasjonsstrømmer . Mer og mer brukes disse strømningene til utforming av oppdrag, spesielt med Interplanetary Transport Network (ITN) .

Lagrange-poeng brukes til å dekke de spesifikke behovene til visse romoppdrag:

• Lagrange-punktet  L 1 i jorden-solsystemet, som ligger mellom jorden og solen (selv om det er mye nærmere planeten vår), gjør at solen kan observeres uten forstyrrelser eller skyggelegging fra jorden og månen. Det er derfor mulig å måle solaktivitet (utbrudd, sykluser, solvind) uten at den påvirkes av den jordiske magnetosfæren . Dette er den ideelle posisjonen for romværoppdrag som den som utføres av SoHO og ACE .
• Lagrange-punktet  L 2 i Earth-Sun-systemet gir god termisk stabilitet mens den ligger nær nok til jorden (1,5 millioner km) slik at de innsamlede dataene kan overføres i høy hastighet. Den brukes spesielt av de store astronomiske observatoriene som ble lansert de siste to tiårene: Planck , James-Webb , Gaia , Euclide . Dette Lagrange  L 2-punktet ble brukt for første gang i 2018 som en Earth-Moon mellommann av den kinesiske satellitten Queqiao . Denne telekommunikasjonssatellitten kan dermed overføre dataene som er samlet inn av Chang'e 4 romføler plassert på den andre siden av Månen til jorden .

I solsystemet

Trojanere

Punktene L 4 og L 5 er generelt stabile, så det er mange naturlige kropper, kalt trojanere  :

• i Sun- Jupiter- systemet er det (i 2011) rundt 5000 asteroider ved punktene L 4 og L 5  ;
• i Sun- Neptune- systemet , åtte;
• i Sun- Mars- systemet , fire;
• i Saturn - Tethys-systemet er punkt L 4 og L 5 okkupert av henholdsvis Telesto og Calypso ;
• i Saturn- Dione- systemet okkuperer Hélène og Pollux disse punktene.

Merkelig nok ser det ut til at Sun-Saturn-systemet ikke er i stand til å akkumulere trojanere på grunn av de joviske forstyrrelsene .

I Sun- Earth- systemet har vi kjent det siden1 st oktober 2 010en trojan ved punkt L 4 , asteroiden 2010 TK7 , som måler 300 meter i diameter. Noen astronomer påpeker at dette objektet kan representere en risiko som kan sammenlignes med NEO. Disse forfatterne foreslår også at støtlegemet antatt ved månens opprinnelse ( Théia ) ville ha stasjonert en tid på punktet L 4 eller L 5 og akkumulert masse før de ble kastet ut fra det under handling av de andre planetene.

applikasjoner

Punktene L 1 og L 2 er ustabile likevekt, noe som gjør dem brukbare innenfor rammen av romoppdrag: det er ingen naturlige kropper, og en dynamisk likevekt kan opprettholdes der for et rimelig drivstofforbruk (gravitasjonsfeltet er svakt i nærheten ).

Sun-Earth System

De viktigste fordelene med disse posisjonene, sammenlignet med bakker i bakken, er deres avstand fra jorden og deres konstante eksponering for solen over tid. Punkt L 1 er spesielt godt egnet til å observere solen og solvinden . Dette punktet ble først okkupert i 1978 av ISEE-3- satellitten , og er for tiden okkupert av SoHO- , DSCOVR- , Advanced Composition Explorer- og Lisa Pathfinder- satellittene .

På den annen side er punkt L 2 spesielt interessant for kosmos observasjonsoppdrag, som legger inn svært følsomme instrumenter som må avledes fra jorden og månen, og fungerer ved veldig lav temperatur. Det er for tiden okkupert av Herschel , Planck , WMAP , Gaia- satellittene og bør også okkuperes av JWST i 2021, Euclid i 2022 og Nancy-Grace-Roman rundt 2025.

Earth-Moon System

Som en del av det kinesiske Chang'e 4- oppdraget , en månesonsonde som landet i 2019 på den skjulte fasen av månen, ble en Quequio-relésatellitt plassert ved punkt L 2 for å sikre kommunikasjon mellom jorden og sonden.

Det ble en stund vurdert å plassere et romteleskop ved punkt L 4 eller L 5 i Earth-Moon-systemet, men dette alternativet ble forlatt etter at støvskyer hadde blitt observert der.

I science fiction

I science fiction, på grunn av deres stabilitet, beskytter punkt L 4 og L 5 i Earth-Moon-systemet ofte gigantiske romkolonier. Forfatterne av science fiction og tegneserier liker å plassere et Anti-Earth- punkt L 3 . Denne ideen er forut for Newtons fysikk, som viser at den er ganske urealistisk. Lagrange-punktet er bare av interesse for et objekt med ubetydelig masse sammenlignet med de to elementene i systemet, noe som ikke er tilfelle for en tvillingplanet.

Blant forfatterne som har brukt disse punktene i sine beretninger, ser John Varley for seg i flere av sine romaner og noveller installasjon av kolonier på Lagrange-punktene i Earth-Moon-ensemblet, og utnytter det faktum at et objekt med lav masse n ' trenger ingen energi for å opprettholde sin posisjon i forhold til de to stjernene. Dette er spesielt tilfelle i serien hans kalt Trilogien om Gaïa der visse hovedpersoner i de to siste bindene kommer fra en av disse koloniene, "The Covent",

De finnes også, ofte på en sekundær måte, i historiene (romaner og noveller) som er satt i sammenheng med serien Les Huit Mondes . Spesielt i romanen Gens de la Lune er punkt L 5 samlingsstedet for romfartøyet Robert Anson Heinlein som skal ut på en interstellar reise, før prosjektet blir forlatt og kadaveret av fartøyet lagret på et deponi på Månen .

I de forskjellige verkene til Gundam- universene er romkolonier ofte lokalisert på Lagrange-punkter, noe som gjør dem til viktige strategiske posisjoner i disse banekonfliktene.

I filmen 2010: The Year of First Contact av Peter Hyams (1984) (som følger videre fra 2001, A Space Odyssey ), presenteres den gigantiske monolitten hvis natur forblir mystisk plassert på et Lagrange-punkt mellom Jupiter og et av dets måner. , Io.

Merknader og referanser

1. Essay on the Three Bodies Problem [PDF] , ltas-vis.ulg.ac.be.
2. Geometry of Roche, Jean-Marie Hameury, Strasbourg Observatory [PDF] , astro.u-strasbg.fr.
3. Bernard Bonnard , Ludovic Faubourg og Emmanuel Trélat , Celestial Mechanics and Space Vehicle Control , Berlin, Springer, coll.  "Matematikk og applikasjoner",2005, XIV -276  s. ( ISBN  978-3-540-28373-7 , merk BnF n o  FRBNF40153166 , les online ), s.  73 ( leses online ) på Google Bøker (åpnet 25. juli 2014).
4. http://www.esa.int/Enabling_Support/Operations/What_are_Lagrange_points
5. Hvis vi definerer q som forholdet mellom den minste massen og totalen, er det bare verdier på q mindre enn 0,5 som gir mening, siden de større verdiene tilsvarer forholdet mellom den største massen og den totale massen.
6. (in) Martin Connors et al. , "  Earth's trojan asteroid  " , Nature , vol.  475, n o  7357,28. juli 2011, s.  481-483 ( DOI  10.1038 / nature10233 , Bibcode  2011Natur.475..481C , les online [PDF] , åpnet 3. desember 2014 ) Medforfatterne av artikkelen er, i tillegg til Martin Connors, Paul Wiegert og Christian Veillet.
   Artikkelen ble mottatt av tidsskriftet Nature on11. april 2011, akseptert av sin leseutvalg den 27. mai 2011 og lagt ut på hjemmesiden sin på 27. juli 2011.
7. (i) Whitney Clavin og Trent J. Perrotto , "  NASAs WISE Mission finner den første trojanske asteroiden som deler jordens bane  " på NASA , postet 27. juli 2011 (åpnet 3. desember 2014 ) .
8. Philippe Ribeau-Gésippe , "  En ny satellitt for jorden: Jordens første trojanske satellitt er blitt oppdaget  ", Pour la Science , nr .  407,september 2011, s.  6 ( les online , konsultert 3. desember 2014 ) Artikkelen ble lastet opp den 8. august 2011, på tidsskriftets nettsider.
9. (in) Har gravitasjonshull planetariske leiemordere? , newscientist.com.
10. (in) "  LISA Pathfinders reise gjennom verdensrommet - kommentert  " på sci.esa.int (åpnet 29. februar 2016 ) .
11. (in) "  NASAs Webb Observatory krever mer tid for testing og evaluering; New Launch Window Under gjennomgang  " på nasa.gov (tilgjengelig på en st april 2018 ) .
12. (in) "  Lagrange Points  " , The Gundam Wiki ,12. september 2016( les online , konsultert 14. desember 2016 ).

• Grégory Archambeau , Studie av dynamikken rundt Lagrange-punktene , Orsay, University of Paris XI ,2008, X -114  s., les online [PDF] på [1]
• Maxime Chupin , interplanetære overføringer med lavt forbruk ved bruk av egenskapene til det begrensede tre kroppsproblemet , Paris, Université Pierre-et-Marie-Curie ,2016, XXVIII -171  s., les online [PDF] på [2]
• (no) Richard Fitzpatrick, Analytical Classical Dynamics , kurs gitt ved University of Texas i Austin Se online (pdf og html versjoner) .

Se også

Relaterte artikler

• Liste over solsystemobjekter som ligger ved et punkt i Lagrange
• Théia

Eksterne linker

• (i) Autoritetsjournaler  :
  • Nasjonalbiblioteket i Frankrike ( data )
  Kongres bokhandel

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">