I matematikk , og nærmere bestemt i kombinatorisk analyse , er en Sheffer-sekvens , oppkalt etter Isador Sheffer (en) , en sekvens av polynomer som tilfredsstiller forhold som tillater ombral beregning .
La p n være en sekvens av polynomer (av variabelen x ) slik at deg ( p n ) = n . Vi definerer en lineær operator Q ved: Q p n ( x ) = np n –1 ( x ) ; da familien til p n er grunnlag, definerer dette Q for alle polynomer.
Sekvensen p n er en Sheffer-sekvens hvis Q er "uforanderlig ved oversettelse", det vil si om f ( x ) = g ( x + a ) (for alle x ) innebærer ( Qf ) ( x ) = ( Qg ) ( x + a ) , med andre ord hvis Q pendler med alle oversettelsesoperatører (vi sier at slik Q er en deltaoperatør (en) ).
Settet med Sheffer's suiter er en gruppe for operasjonen av ombralsammensetning , definert som følger: la { p n ( x ): n = 0, 1, 2, 3,…} og { q n ( x ): n = 0, 1, 2, 3, ...} to polynomiske sekvenser , med
Deretter er paraplyforbindelsen den polynomiske sekvensen hvis n- th sikt er
.Det nøytrale elementet i denne gruppen er det kanoniske grunnlaget for monomer (hvor er Kronecker-symbolet ).
To viktige undergrupper er sekvensene av Call (in) (som for eksempel inneholder polynomene til Call ), som operatøren Q er den vanlige differensieringen for, og sekvensene av binomial type (in) , som er de som bekrefter identiteten
En Sheffer-sekvens { p n ( x ): n = 0, 1, 2, ...} er av binomial type hvis og bare hvis og
Gruppen av sekvensene til Appell er abelsk , og det er en normal undergruppe ; gruppen av sekvenser av binomial type er verken abelsk eller normal. Gruppen av Sheffer-sekvenser er det semi-direkte produktet av disse to undergruppene; det følger at hver klasse av Sheffer-sekvenser som følger gruppen av Appell-sekvenser inneholder nøyaktig en sekvens av binomial type. Hvis s n ( x ) er en Sheffer-sekvens og p n ( x ) er binomialtypesekvensen i samme klasse,
Spesielt hvis { s n ( x )} er en sekvens av samtale,
Suitene til Hermite-polynomer og Bernoulli-polynomer er eksempler på suiter Appell.
En Sheffer-sekvens p n er preget av sin eksponensielle generatorserie
hvor A og B er formelle maktserier av t . Sheffer-sekvenser er altså eksempler på generaliserte Call-polynomer og tilfredsstiller derfor en tilknyttet gjentakelsesrelasjon .
Blant sekvensene av polynomer som er Sheffer-sekvenser, finner vi sekvensen av monomier , men også:
samt Mahler-polynomer, Mott-polynomer osv.